第6章混沌与分岔

混沌与分岔

第六章Content混沌与分岔的起源与发展混沌的概念混沌的特点混沌现象举例分岔的概念分岔现象举例混沌的研究方法分岔的研究方法混沌在现代科技领域的应用混沌与分岔的起源与发展公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性。直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。混沌与分岔的起源与发展分岔现象最早来源于1729年Musschenbrock对压杆失稳实验的观察，这种分岔现象在固体力学中称屈曲。1834年雅可比首次提出分岔这个术语。1885年，庞卡莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的分岔理论。固体力学的屈曲和流体力学的转捩一直是分岔研究的重要动力。20世纪30年代，范德波、安德罗诺夫等在非线性振动研究中发现大量的分岔现象。以后在很长时间内，分岔的研究主要集中在应用领域，直到20世纪60年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线性分析等方面逐渐形成了现代数学理论。混沌与分岔的起源与发展混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的研究得到迅速发展，如Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌；Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌；Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。混沌的概念混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一词由李天岩（Tian-yanLi）和约克（Yorke）于1975年首先提出。混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏感初始条件的非周期行为”。混沌的概念n周期点的定义：如果对于某x0，有f(n)(x0)=x0，但对于小于n的自然数k，有f(k)(x0)≠x0，则称x0为f的一个n周期点。n周期轨道的定义：当x0为f的一个n周期点时，称{x0,f(1)(x0),f(2)(x0),…,f(n-1)(x0)}为f的n周期轨道。Li-Yorke定理：设连续自映射，I是R的一个闭区间，如果：①存在一切周期的周期点；②存在不可数子集S，S不含周期点，使得则称f在S上是混沌的。混沌的概念Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系统应该具有三种性质：存在所有周期的周期轨道；存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现；任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。混沌的特点对初值的敏感性

混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千里”。1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik

AntoonLorenz)在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动流体块中的对流为模型，提出了著名的Lorenz方程。Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。混沌的特点内在随机性

确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方程产生的随机性称之为内在随机性。混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重要特征之一。混沌的特点长期不可预测性由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。

混沌的特点分形性分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质，它们具有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点集叫分形体。分维就是用非整数维-分数维来定量地描述分形的基本特性。混沌的特点普适性普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。

混沌的特点遍历性

遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够到达混沌区域内任何一点。

混沌的特点奇怪吸引子相对于简单吸引子（不动点、极限环、环面）又称混沌吸引子。由无限层的条带经过伸长和折叠的几何图像。它表示系统的状态随时间呈无规则的非周期变化;具有混沌的一切特征，对初始条件的敏感性，具有非整数的维数，即使原来的微分方程连续的依赖于参数，奇怪吸引子的结构也不是连续随参数变化，而往往是在参数变化的过程中其整体结构会发生突变，奇怪吸引子具有无穷嵌套的自相似结构。混沌的特点几种典型的混沌吸引子Chen’s吸引子

Lorenz吸引子

Rossler吸引子

混沌现象举例

机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的混沌振动正常的脑电波则近乎随机讯号，其脑电图曲线代表的就是典型的混沌现象单摆是我们熟知的确定性运动的典型，但当角度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能够进入混沌状态湍流、三体问题、蝴蝶效应、昆虫繁衍混沌现象举例--蝴蝶效应

1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。混沌现象举例--昆虫繁衍

假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。很显然，若产卵数大于1，则虫口就会迅速增加，“虫满为患”。但在虫口数目增大的同时又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接触感染而导致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。综合考虑正增长和负增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学抽象和变换后，在1976年生物学家罗伯特.梅最终得到虫口方程如下：Xn+1=λXn(1—Xn)式中各量的取值范围为n：1，2，3，···∞；Xn：[0，1]；λ：[0，4]混沌现象举例--昆虫繁衍

假定虫口环境所能支撑和供应的最大虫口限额为N0，且N0>>1。第n代虫口数为Nn，则Xn=Nn/N0，是为第n代的相对虫口数。显然，1就是最大虫口数目，故Xn的值不能超过1。λ是控制参量，虫口模型要求λ取值[0，4]，这是因为在λ>4时会出现发散现象，方程就将失去意义。如对Xn+1=5Xn(1—Xn)，当代入Xn=0.5后会得到Xn+1=1.25，而最大相对虫口数只能为1，Xn+1=1.25显然没有意义。混沌现象举例--昆虫繁衍下面取λ为不同值对虫口方程进行迭代求解：取λ：0—1迭代容易验证，λ在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程Xn+1=λXn(1—Xn)迭代归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳定态。取λ：1—3迭代迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非零的1周期解，同样对应系统的稳定状态。对方程Xn+1=2Xn(1—Xn)作迭代，取X1=0.1则有X2=0.18，X3=0.2952，X4=0.416111392，X5=0.485924299，X6=0.4999604721，X7=0.499999687，X8=0.499999999······可见很快收敛于X*=0.5。又对方程Xn+1=2.5Xn(1—Xn)作迭代，取X1=0.1也只须十几次迭代就收敛于X*=0.6了。不过与上一迭代趋近方式有所不同，几次迭代后结果就在X*值上下产生小幅振荡，并最终收敛于X*=0.6。混沌现象举例--昆虫繁衍取λ：3—3.569迭代迭代结果开始出现跳跃情况，倍周期分岔开始。其中在3—3.449之间为2周期，在3.449—3.544间为4周期······随着λ的增加，分岔越来越密，混沌程度越来越高，直至λ=3.569时分岔周期变为∞，最后“归宿”可取无穷多的不同值，表现出极大的随机性。而周期无穷大就等于没有周期，此时系统开始进入完全的混沌状态。混沌区对应λ取值3.569—4。分岔的概念

分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。分岔现象是非线性问题中所特有现象，失稳是其发生的前提。分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌。由此可见分岔在许多非线性现象中起着桥梁作用。分岔问题可以分成静态分岔和动态分岔。静态分岔指系统的平衡点的稳定性在分岔值附近发生变化，如鞍结分岔、跨临界分岔、叉形分岔等；动态分岔是相轨迹的拓扑结构也发生变化，如Hopf分岔、环面分岔、同宿或异宿分岔等。叉形分岔、Hopf分岔和鞍结分岔为三种分岔原型。分岔的概念叉形分岔其典型方程为：方程的平衡点有三个：x=0和平衡态的稳定性由雅可比矩阵的特征值决定：对于平衡点x=0，雅可比矩阵的特征值为μ。当μ<0时，平衡点x=0是稳定的；当μ>0时，它是不稳定的。对于平衡点，雅可比矩阵的特征值为-2μ。此时μ取正值，这两个平衡点都是稳定的。这就是叉形分岔，又称为倍周期分岔。

分岔的概念Hopf分岔在动态分岔中，比较重要的是由于平衡点稳定性突然变化而出现极限环的霍普分岔。Hopf分岔是指从平衡点的失稳分岔出极限环，即产生周期性振荡的现象。其典型的方程为引入极坐标(r,θ)，其中分岔的概念代入典型方程并化简得方程组的第二式，说明了轨线以一常角速度旋转，而第一式，则说明了极坐标系在μ>0时还存在另一平衡点由此看到，与叉形分岔非常相似。由分析得知，当μ<0时，r=0为稳定的，而当μ>0时，r=0就变的不稳定了，从而分岔出半径为的极限环，这种由于失稳后出现极限环的分岔通常称为Hopf分岔，此时的分岔点为x=0，y=0，μ=0。分岔的概念鞍结分岔又称折叠分岔。试考察单变量非线性方程很明显，当μ>0时则存在两平衡点：根据雅可比矩阵计算得知，x1是稳定的平衡点，x2是不稳定的平衡点。μ=0是分岔点，此分岔称为鞍结分岔。

分岔现象举例

Euler杆在轴向压力作用下的弯曲问题这是Euler在1744年研究的一个问题，它是一个最简单的分岔现象。考虑一端固定，另一端为自由的均匀直杆。Euler杆受到轴向压力μ（即问题的控制参数）。例子中，采用θ表示杆的切线与实轴之间的夹角。Euler直杆弯曲满足下列非线性微分方程及边值当θ<<1时，其对应的线性方程是

分岔现象举例其解的一般表示是当时，θ≡0，表示Euler杆不弯曲状态当时，这时μ=π2，原来的平衡状态即失去了稳定性，于是杆发生了弯曲。这时，θ≠0。混沌的研究方法

针对混沌现象目前主要采用的方法有：定性分析法和定量分析法。定性分析法有庞加莱截面法，功率谱法等；定量分析法有饱和关联维数法和李亚普诺夫指数法等。庞加莱截面法：在多维相空间中适当（要有利于观察系统的运动特征和变化，如截面不能与轨线相切，更不能包含轨线面）选取一个截面，这个截面可以是平面也可以是曲面，然后考虑连续的动力学轨道与此截面相交的一系列点的变化规律，这样就可以抛开相空间的轨道，借助计算机画出庞加莱截面上的截点，由此得到关于运动特征的信息。不同的运动形式通过截面时，与截面的交点有不同的分布特征：①周期运动在此截面上留下有限个离散的点；②准周期运动在截面上留下一条闭合曲线；③混沌运动在庞加莱截面上是沿一条线段或一曲线弧分布的点集，而且具有自相似的分形结构。混沌的研究方法功率谱法：谱分析是识别混沌的一个重要手段。根据傅立叶变换分析得到周期运动的频谱是离散的谱线，而对非周期运动，其不能展开成傅立叶级数只能展开成傅立叶积分，故非周期运动的频谱是连续的。也就是说，若谱图具有单峰或几个峰，则对应于周期序列，若无明显的峰值且频谱是连续的，则可确定该系统可能存在混沌解。饱和关联维数法：根据传统的定义，维数是整数的，而混沌轨道在相空间内由于无限次的拉伸、压缩和折叠，构成了无穷嵌套的自相似结构，形成混沌奇怪吸引子。这奇怪吸引子的形状极为复杂，既像线又像面，在维数上表现为非整数维数，即分数维。混沌的研究方法李亚普诺夫指数法：李亚谱诺夫指数是用来刻画混沌行为对初始条件的高度敏感性，是用来度量从两个相邻初始点出发的两条轨道，经过一段时间演化后，他们之间的距离随时间按指数形式吸引或分离的程度。可以区分奇怪吸引子和其他的吸引子。1983年，格里波基证明只要最大李指大于0，就可以肯定混沌性的存在。混沌的研究方法相空间重构相空间重构是分数维计算，李雅普诺夫指数计算关键。一般来说，非线性系统的相空间可能维数很高，甚至无穷，但在大多数情况下维数并不知道。在实际问题中，对于给定的时间序列x1,x2,…,xn，我们通常是将其扩展到三维甚至更高维的空间中去，以便把时间序列中蕴藏的信息充分地显露出来，这就是延迟坐标状态空间重构法。Takens嵌入定理：只要嵌入维数足够大，也就是延迟坐标的维数M≥2D+1（D是动力系统的维数），在该嵌入维空间里可把有规律的轨道（吸引子）恢复出来，即在重构的空间中的轨道上与原动力系统保持微分同胚，与原吸引子的拓扑结构完全相同。

混沌的研究方法对于混沌时间序列x1,x2,…,xn，若嵌入维数为m，延迟时间为τ，则相空间重构为：上式中任一相点都包含有m个分量（或状态点），对N个相点在m维的相空间中构成一个相型，相点间的连线是描述系统在维相空间中的演化轨迹。重构后的样本个数为N。在重构相空间中，时间延迟和嵌入维数的选取具有十分重要的意义，同时这种选取也是很困难的。两者的恰当选取直接影响到相空间重构的质量，进而影响到预测的精度。嵌入维数太低，会出现吸引子的自交性；太高使点与点之间距离太远。时间延迟太低，重构空间中各点坐标的相关性太强，相空间轨迹沿同一方向挤压，信息不容易泄漏；太大，本来较近的向量也会拉远，而导致不确定的系统性态。两者的选取可以独立也可以不独立。

混沌的研究方法时间延迟的选取方法：时间序列相关法：让相空间中各元素的相关性减弱，同时各元素所包含的原动力学系统的信息不丢失。自相关函数法：适用于低维；延迟时间τ取为自相关函数下降到初始值的1-1/e时的值。混沌的研究方法互信息量法：互信息越大，表明相关性越强。此时间延迟取为互信息函数第一次达到极小值时刻的点。其中Q，S分别为两个离散变量，I(Q,S)表示互信息，H(*)表示信息熵，信息熵越大，不确定性越强，H(Q,S)是联合信息熵，H(Q|S)是条件熵，表示已知S的情况下Q的不确定性，P(qi)为Q在qi状态出现的概率，P(sj)为S在sj状态出现的概率，P(qi,sj)为Q在qi状态出现同时S在sj状态出现的联合概率。此公式能够说明：S和Q的相关程度越大，已知S确定Q的不确定性越小，即H(Q|S)越小，则互信息I(Q,S)越大，反之，S和Q的相关程度越小，互信息I(Q,S)越小。混沌的研究方法时间延迟的选取方法：相空间扩展法：重构相空间轨迹应从相空间的主对角线尽可能的扩展，但又不出现折叠——平均位移法，摆动量法，填充引子法；复自相关法和去偏复自相关法是时间序列相关法和相空间扩展法的综合。具有很强的理论依据，计算复杂度不大，对数据长度依赖性不强，具有很强的抗噪能力。混沌的研究方法嵌入维数的选取方法：关联维数饱和法，虚假最小临近法，奇异值分解法——与延迟时间的选取不相关的方法；Cao方法——与时间延迟有关的方法。对于时间序列x1,x2,…,xn，若嵌入维数为m，延迟时间为τ，则相空间重构为：定义：混沌的研究方法其中Ym+1(n(i,m))是Ym+1(i)的最邻近的点，Ym(n(i,m))是Ym(i)的最邻近的点。如果嵌入维数满足嵌入式定理，那么在m维空间中离得近的两个点在m+1维空间中也离得最近。当m大于某个值的时候，E1(m)不再变化，这时的m就是饱和嵌入维数。

混沌的研究方法关联维数的求取：先给一个较小的嵌入维数值m0，对应一个重构的相空间；计算累积分布函数其中：|Y(i)-Y(j)|表示重构的相空间中两个相点之间的距离；θ是Heaviside函数：C(r)是一个累积分布函数，表示相空间中吸引子上两点之间的距离小于r的概率。混沌的研究方法关联维数的求取：对于r的某个适当范围，吸引子的维数D与累积分布函数C(r)应满足对数线性关系，即lnr-lnC(r)在r的适当范围内是一条直线，直线的斜率即为吸引子的维数即关联维数。从而由拟合求出对应于m0的关联维数估计值D(m0)。增加嵌入维数的值，重复计算步骤2和3，直到相应的维数估计值不随m的增长在一定误差范围内不变为止。此时得到的D即为吸引子的关联维数。如果D随着m的增长而增长，并不收敛于一个稳定的值，则表明所考虑的系统是一个随机时间序列。混沌的研究方法Wolf法计算最大李亚普诺夫指数：先求取延迟时间和嵌入维数，进行相空间重构；选取相空间中相距比较近的两个点，在一个固定的时间间隔之后，此两点演化成新的两点。计算新得到的两点之间的距离，用此距离与新开始时两点之间的距离的比值代表轨道的发散程度；混沌的研究方法Wolf法计算最大李亚普诺夫指数：要保证每次演化之后要找到新的替代点，使得替代点与另外一点的连线和原来的点与另外一点的连线的夹角尽可能的小。再求出经过下一步时间的演化得到的两点之间的距离与刚才两点之间距离的比值，又得到了发散程度的一个新的描述值；如此继续下去，直至到达时间序列的终点，把每一个求出的值取对数再平均就得到了时间序列的最大李亚普诺夫指数。最大李亚普诺夫指数为：

分岔的研究方法

目前在研究分岔时主要用到的方法有：状态空间平均法、频闪映射法和采样数据法。状态空间平均法：状态空间平均法就是先分别写出各系统工作在各模态的状态空间模型，然后进行平均。频闪映射法：频闪映射的主要思路是确定一个初值，以此初值为变量求解下一周期的解，如此不断的反复，最终得到所需精度解Xn+1。只要求得Xn+1和Xn之间的关系，就能采用连续代入的方法求出Xn+1。分岔的研究方法采样数据法：通过列写出系统在不同工作阶段的微分方程得出系统的动力学迭代方程，这就是采样数据法。以上3种建模方法各有特点：状态空间平均法计算简便，但只能分析低频性能；频闪映射法适用于数值求解；采样数据法能够得到解析解，是一种系统