2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1.2空间中直线与直线之间的位置关系5作业含解析新人教版必修220220226110

PAGEPAGE6空间中直线与直线之间的位置关系[基础巩固]1．(2016·台山一中)用M表示平面，a表示一条直线，则M内至少有一条直线与a()A．平行 B．相交C．异面 D．垂直解析：如果a表示一条与平面相交的直线，则A不正确；如果a表示一条与平面平行的直线，则B不正确；如果a表示一条平面内的直线，则C不正确，故选D.答案：D2．已知空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，则下列判断中正确的是()A．MN≥eq\f(1,2)(AC＋BD) B．MN≤eq\f(1,2)(AC＋BD)C．MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD) D．MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)解析：如图，取BC的中点E，连接ME、EN，则ME綊eq\f(1,2)AC，EN綊eq\f(1,2)BD，且ME＋EN>MN，∴MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)．答案：D3．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝eq\r(3)，且AD⊥BC，BD＝eq\f(\r(13),2)，AC＝eq\f(\r(3),2)，求AC和BD所成的角的大小．

解：如图，取AB，CD，AD，AC的中点E，G，F，H连接EF，FG，GE，EH，HG，由中位线的性质，得EF綊eq\f(1,2)BD，FG綊eq\f(1,2)AC，则∠EFG为BD与AC所成的角(或其补角)，又EH∥BC，HG∥AD，且AD⊥BC，所以EH⊥HG，所以EG2＝EH2＋HG2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AD))2＝eq\f(1,4)×(eq\r(3))2＋eq\f(1,4)×12＝1.在△EFG中，EG2＝EF2＋FG2＝1，所以∠EFG＝90°，即AC和BD所成的角为90°.[能力提升]1．空间中，垂直于同一条直线的两条直线()A．平行 B．相交C．异面 D．以上都有可能解析：可能平行，可能相交，也可能异面，故选D.答案：D2．(2016·巴东一中)给出下列两个关于异面直线的命题：命题(1)：若平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a，b中的一条相交；命题(2)：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线．那么()A．命题(1)正确，命题(2)不正确B．命题(2)正确，命题(1)不正确C．两个命题都正确D．两个命题都不正确解析：如图所示，当c与a，b都相交，但交点不是同一个点时，平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，因此命题(1)不正确；(2)可以取无穷多个平行平面，在每个平面内取一条直线，且使这些直线两两不平行，则这些直线中任意两条都是异面直线，因此命题(2)不正确．故答案为D.答案：D3．E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为()A．2 B．4C．6 D．8解析：如图，在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH綊eq\f(1,2)BD；在△CBD中，同理，FG綊eq\f(1,2)BD，从而EH綊FG.同理可得EF＝GH＝eq\f(1,2)AC，所以四边形EFGH为平行四边形，周长为2(EH＋EF)＝6.答案：C4．(2015·吉林扶余一中期末考试)如图，在三棱锥S­ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BCA．相交 B．平行C．异面 D．以上都有可能解析：∵G1，G2是重心，∴G1G2∥MN，而MN∥BC，∴G1G2∥答案：B5.(2015·浙江省镇海中学期末考试)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为A1CC1的中点，则异面直线BC1与AEA.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(30),10)C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(3\r(10),10)解析：连接AD1，D1E，因为AD1∥BC1，所以∠D1AE是异面直线BC1与AE所成的角．在△D1AE中，可以求得AD1＝eq\r(5)，AE＝eq\r(6)，D1E＝eq\r(5)，所以△D1AE为等腰三角形，从而求得∠D1AE的余弦值为eq\f(\r(30),10)，故选B.答案：B6．如图，若G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．解析：①中HG∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，故HG、NM必相交，②④正确．答案：②④7．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1(1)AC与DD1所成的角为________；(2)AC与D1C1(3)AC与B1D1所成的角为________；(4)AC与A1B所成的角为________；(5)A1B与B1D1所成的角为________；(6)A1B与CC1所成的角为________．解析：(1)DD1和AC是异面直线，因为AA1∥DD1，AA1⊥AC，∠A1AC＝90°，所以DD1和AC所成的角是90°；(2)因为DC∥D1C1，所以∠ACD是AC和D1C1所成的角，又因为∠ACD＝45°，所以AC和D1C1所成的角是45°；(3)连接BD，因为BD∥B1D1，所以AC与BD所成的角就是AC和B1D1所成的角，又因为AC⊥BD，所以AC与B1D1所成的角是90°；(4)连接A1C1，BC1，则△A1BC1是等边三角形，又因为A1C1∥AC，所以∠BA1C1是AC和A1B所成的角，又因为∠BA1C1＝60°，所以AC和A1B所成的角是60°；(5)连接A1D，则△A1BD是等边三角形，∠A1BD＝60°，又因为BD∥B1D1，所以∠A1BD是A1B和B1D1所成的角，即A1B和B1D1所成的角是60°；(6)因为BB1∥CC1，所以∠A1BB1是A1B和CC1所成的角．又因为∠A1BB1答案：(1)90°(2)45°(3)90°(4)60°(5)60°(6)45°8．(2016·如东高级中学)已知a，b为异面直线，且a，b所成的角为40°，过空间一点作直线c，直线c与a，b均异面，且所成的角均为θ，若这样的直线c共有四条，则θ的取值范围为________．解析：设平面α上的两条直线m，n分别满足m∥a，n∥b，则m，n相交，且夹角为40°.若直线c与a，b均异面，且所成的角均为θ，则直线c与m，n所成的角均为θ.当0°＜θ＜20°时，不存在这样的直线c；当θ＝20°时，这样的直线c只有一条；当20°＜θ＜70°时，这样的直线c有两条；当θ＝70°时，这样的直线c有三条；当70°＜θ＜90°时，这样的直线c有四条；当θ＝90°时，这样的直线c只有一条．故θ的取值范围为(70°，90°)．答案：(70°，90°)9．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(CO,OC′)＝eq\f(2,3).(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值．解：(1)∵AA′∩BB′＝O，且eq\f(AO,A′O)＝eq\f(BO,B′O)＝eq\f(2,3)，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.又∵eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)，∠AOB＝∠A′OB′，∴△AOB∽△A′OB′.∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AO,A′O).同理可证eq\f(AO,A′O)＝eq\f(AC,A′C′)，∴△ABC∽△A′B′C′.∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AO,A′O)))2＝eq\f(4,9).10