材料力学第三章

剪切与挤压的实用计算

一、连接件螺栓连接铆钉连接销轴连接平键连接剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。二、剪切的实用计算得剪应力（名义剪应力）计算公式：剪应力强度条件：假设剪应力在剪切面（m-m截面）上是均匀分布的剪切面上的剪力：FS

=F常由实验方法确定在计算中，要正确确定有几个剪切面，以及每个剪切面上的剪力。单剪双剪例

钢板厚度t=5mm，剪切强度极限=320MPa，若用直径d=15mm的冲头在钢板上冲孔，求冲床所需的冲压力。分布于此圆柱面上的剪力为可得冲压力：解：冲孔的过程就是发生剪切破坏的过程。剪切面面积是直径为d，高为t的圆柱面面积F三、挤压的实用计算1、挤压力—Fbs：接触面上的合力2、挤压面积：接触面在垂直Fbs方向上的投影面3、挤压强度条件（准则）：常由实验方法确定实际挤压面Fbs计算挤压面FbsFbs四、应用

为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足例２

图示接头，受轴向力F作用。已知F=50kN，b=150mm，δ=10mm，d=17mm，a

=80mm，[σ]=160MPa，[τ]=120MPa，[σbs]=320MPa，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。解：(1)板的拉伸强度ＦＦＮx(2)铆钉的剪切强度(3)板和铆钉的挤压强度故强度足够。若板与铆钉材料不同呢？问题：指出下图中的剪切面和挤压面位置，写出各剪切面面积和计算挤压面面积。taFbq正方形板正方形柱FFSqFFbS挤压面剪切面问题：指出下图中的剪切面和挤压面位置，写出各剪切面面积和计算挤压面面积。aaaabthFaFbFaFbS挤压面剪切面第三章扭转3.1扭转的概念及实例3.2外力偶矩的计算·扭矩及扭矩图3.3纯剪切3.4圆轴扭转时的应力3.5圆轴扭转时的变形3.6*密圈螺旋弹簧的应力和变形3.7非圆截面杆扭转的概念3.8*薄壁杆件的自由扭转机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等,扭转是其主要变形之一。3.1扭转的概念及实例3.1扭转的概念及实例在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶,致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动,这就是扭转变形。3.1扭转的概念及实例轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆横截面绕轴线发生相对转动，这样的变形为扭转变形。

mmOB’AB扭转角（）：任意两截面绕轴线相对转动而发生的角位移。剪应变（）：纵向线倾斜的角度（直角的改变量）。ABO3.2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图3.2.1传动轴的外力偶矩从动轮主动轮从动轮nMe1Me2Me3一传动轴,转速为n,轴传递的功率由主动轮输入,然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为P,

则作用在该轮上的外力偶矩Me可按以下方法求得。GB3101-93中规定的数值方程式的表示方法。3.2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图从式中可以看出,轴所承受的力偶矩与传递的功率成正比,与轴的转速成反比。因此,在传递同样的功率时,低速轴所受的力偶矩比高速轴大。所以在一个传动系统中,低速轴的直径要比高速轴的直径粗一些。3扭矩的符号规定：1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。mxmm3.2.2扭矩及扭矩图2截面法求扭矩右手螺旋法则:右手四指的方向顺着扭矩的旋转方向，大拇指指向截面外法向时，扭矩为正；反之为负。T4扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图形。

目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT截面上的扭矩T等于保留截面一侧所有扭转外力偶矩的代数和，外力偶矩正负号用右手螺旋法则确定：四个手指表示转向，大拇指代表方向，与保留侧端面外法线一致为正。补充说明:内力方程法求扭矩：

3.2.2扭矩及扭矩图例：一传动轴如图所示,其转速n＝300r/min,主动轮输入的功率为有P1=500kW。若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为P2＝150kW、P3＝150kW及P4＝200kW。试做扭矩图。ABCDM1M2M3nM4ABCDM1M2M3nM4M2M1M3M4ABCD解:计算外力偶矩M3M222BCM2M1M3M4ABCD计算CA段内任横一截面2-2截面上的扭矩。假设T2为正值。221133T2x由平衡方程结果为负号,说明T2是负值扭矩。同理,在BC段内在AD段内M211BT1xM433BT3M3M222BCM2M1M3M4ABCD221133T2x作出扭矩图M211BT1x9.564.786.37T图(kN·m)从图可见,最大扭矩发生在CA段内,其值为9.56kN·m。EDCBAm4

m3

m2m111223344解：AB段:BC段:CD段:DE段:10kNm15kNm30kNm5kNmT扭矩图一薄壁圆筒扭转的切应力薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）1、实验：实验前：①绘纵向线、圆周线；②施加一对外力偶m。3.3纯剪切加载后发现：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。①横截面上无正应力;②横截面上各点处，只产生垂直于半径方向的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面上的扭矩方向一致。结论:T薄壁圆筒剪应力

大小：A0：平均半径所作圆的面积。与的关系：Tacddxbdy´´微小矩形单元体如图所示：二、剪应力互等定理：

上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´δz单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。剪切虎克定律：

剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。

剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：

可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因

无量纲，故G的量纲与

相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。三纯剪切应力状态下的应变能密度假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动dx。因为变形很小,所以在变形过程中,认为上、下两面上的外力将不作功。只有右侧面的外力(dydz)对相应的位移dx上作了功。xydydzabdzdxcttt't'c'g

应变能密度为当材料在线弹性范围内内工作时,上述力与位移成正比,因此,单元体上外力所作的功为xydydzabdzdxcttt't'c'g等直圆杆在扭转时积蓄在杆中的应变能可由下式计算由剪切胡克定律t＝Gg代入得3.4圆轴扭转时的应力1变形几何关系在小变形条件下,等直圆杆在扭转时横截面上也只有切应力。为求得此应力,需从几何关系、物理关系和静力关系三个方面着手。为研究横截面上任一点处切应变随点的位置而变化的规律,先观察一个实验。实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外力偶矩Me。现象:①两圆周线绕杆轴线相对旋转了一个角度,圆周线的形状和大小均未改变;MeMe②在变形微小的情况下,圆周线的间距也未变化,纵向线则倾斜了一个角度g。g3.4圆轴扭转时的应力根据圆周线形状大小不变,两相邻圆周线发生相对转动的现象,可以设想,圆轴扭转时各横截面如同刚性平面一样绕轴线转动,即假设圆轴各横截面仍保持为一平面,且其形状大小不变；横截面上的半径亦保持为一直线,这个假设称平截面假设。根据实验结果,在杆扭转变形后只有等截面的直圆杆的圆周线才仍在垂直于杆轴的平面内,所以平截面假设只适用于等直圆杆。根据上述实验现象还可推断,与薄壁圆筒扭转时的情况一样,圆轴扭转时其横截面上不存在正应力s,仅有垂直于半径方向的切应力t作用。3.4圆轴扭转时的应力倾角g是横截面圆周上任一点A处的切应变,dj是b-b截面相对于a-a截面象刚性平面一样绕杆轴转动的一个角度。(相对扭转角)TTdxO2O1abbaAD截取长为dx的杆段进行分析。djD'g3.4圆轴扭转时的应力作一条与轴线平形且距离为r的纵向线EG。纵向线EG

也倾斜了一个角度gr。gr是横截面半径上任一点E处的切应变。TTdxO2O1abbadjAEDD'GG'ggrr3.4圆轴扭转时的应力这就是圆轴扭转时切应变沿半径方向的变化规律。此式说明：同一半径r圆周上各点切应变gr均相同,且其值与r成正比。TTdxO2O1abbadjAEDD'GG'ggrrdj/dx是相对扭转角沿杆长度的变化率,是个待定参数。由剪切胡克定律这就是圆轴扭转时横截面上切应力的分布规律。同一圆周上各点切应力tr均相同,且其值与r成正比,tr垂直于半径。2物理关系TTdxO2O1abbadjAEDD'GG'ggrrOrtmax3.静力关系OrrrtrdAtrdA由于在横截面任一直径上距圆心等远的两点处的内力元素trdA等值而反向,整个横截面上的内力元素trdA的合力必等于零,并组成一个力偶,即为横截面上的扭矩T。令称为横截面的极惯性矩。极惯性矩仅与横截面的几何量有关,单位是m4。上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式。3.4圆轴扭转时的应力横截面周边各点处,切应力将达到最大值。圆心处的切应力为零。切应力与成正比。且垂直于半径。指向与T的转向一致。分布图如图所示。OrtmaxTWp

称作抗扭截面系数,单位为m3。3.4圆轴扭转时的应力推导切应力计算公式的主要依据为平面假设,且材料符合胡克定律。因此公式仅适用于在线弹性范围内的等直圆杆。3.4圆轴扭转时的应力抗扭截面模量公式极惯性矩公式4极惯性矩及抗扭截面系数3.4圆轴扭转时的应力实心圆截面杆rdrdOdOD空心圆截面杆rdrTtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度,节约材料,重量轻,结构轻便,应用广泛。5应力分布例：试验算薄壁圆筒横截面上切应力公式的精确度。已知圆筒的壁厚d和平均直径d0。dd0＝2r0TTtmaxtmin解：按精确公式计算,薄壁圆筒横截面上切应力沿壁厚d的变化情况如图。最大切应力在截面最外层,按近似公式计算,薄壁圆筒横截面上切应力沿壁厚不变,算式为dd0＝2r0TTtmaxtmin以tmax为基准分析误差的大小式中dd0＝2r0TTtmaxtmin以tmax为基准的误差为越小,即筒壁薄时误差Δ越小。b＝5%时,Δ仅为4.52%。例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴,受扭矩T＝1kN·m作用,计算横截面上A点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。解：例：一直径为D1的实心轴,另一内外径之比a＝d2／D2＝0.8的空心轴,若两轴横截面上的扭矩相同,且最大切应力相等。求两轴外直径之比D2/D1。解：由得：例:在强度相同的条件下,用d/D＝0.5的空心圆轴取代实心圆轴,可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为d1,由得：例:一厚度为30mm、内直径为230mm的空心圆管,承受扭矩T=180kN·m。试求管中的最大切应力,使用：(1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得(2)利用精确的扭转理论可求得例：一空心圆轴,内外径之比为a＝0.5,两端受扭转力偶矩作用,最大许可扭矩为Ｔ,若将轴的横截面面积增加一倍,内外径之比仍保持不变,则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D,面积增大一倍后内外径分别变为d1、

D1,最大许可扭矩为Ｔ16强度条件圆轴扭转时,杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强度条件应该是横截面上的最大工作切应力max不超过材料的许用切应力[]。圆轴扭转时的最大工作切应力max发生在最大扭矩所在横截面(危险截面)的周边上的任一点处(危险点),强度条件为6强度条件根据上述条件,可以解决三个方面的问题:①校核强度：②设计截面尺寸：③确定许可载荷：例:已知解放牌汽车主传动轴传递的最大扭矩T＝1930N·m,传动轴用外径D=89mm、壁厚d＝2.5mm的钢管做成。材料为20号钢,其许用切应力[t]＝70MPa。校核此轴的强度。解:(1)计算抗扭截面系数MeMe(2)强度校核可知轴满足强度条件。如果传动轴不用钢管而采用实心圆轴,并使其与钢管有同样的强度(即两者的最大应力相同),则可见,采用钢管时,其重量只有实心圆轴的30％,耗费的材料要少得多。例:图示阶梯圆轴,AB段的直径d1＝120mm,BC段的直径d2=100mm,扭转力偶矩为MA＝22kN.m,MB＝36kN.m,MC＝14kN.m,已知材料的许用切应力[]=80MPa,试校核该轴的强度。解:作轴的扭矩图ABCMAMBMC2214因此,该轴满足强度要求。分别校核两段轴的强度1扭转时的变形等直圆轴扭转时的变形是用相对扭转角j来度量的。长为l的一段杆两端面间的相对扭转角j可按下式计算是计算等直圆杆相对扭转角的依据。其中dj代表相距为dx的两横截面间的相对扭转角。3.5圆轴扭转时的变形对于同一材料制成的等直圆轴(G,Ip为常量),当只在两端受一对外力偶作用时(T为常量),从上式可得GIp

称作

抗扭刚度或3.5圆轴扭转时的变形由于杆在扭转时各横截面上的扭矩可能并不相同,且杆的长度也各不相同,因此对于扭转杆的刚度用相对扭转角沿杆长度的变化率dj/dx来度量。用j'来表示这个量,称为单位长度扭转角。注意：以上公式都只适用于材料在线弹性范围内的等直圆杆。3.5圆轴扭转时的变形例:图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知:M1＝1592N·m,M2＝955N·m,M3＝637N·m。截面A与截面B、C之间的距离分别为lAB＝300mm和lAC＝500mm。轴的直径d＝70mm,钢的切变模量为G＝80GPa。试求截面C对截面B的对扭转角。lABlACBCAM1M2M3III解:由截面法求得I、II段内的扭矩分别为T1＝955N·m,T2＝-637N·m。jABjAC解法1,假设A截面不动,先分别计算截面B、C对截面A的相对扭转角jAB和jAC。lABlACBCAM1M2M3IIIjABjAC与M2的转向相同与M3的转向相同lABlACBCAM1M2M3IIIjABjAC与M3的转向相同截面C对截面B的相对扭转角jBC

为BCBCAM1jAB解法2:设截面B固定不动,先分别计算M1、M3单独作用下截面C对截面B的相对扭转角jCB1和jCB2,然后叠加,即采用叠加法。jCB1M1单独作用下截面C对截面B的相对扭转角M3jCB2M3单独作用下截面C对截面B的相对扭转角C截面对截面B的相对扭转角2刚度条件扭转构件除需满足强度条件外,还需满足刚度方面的要求,否则将不能正常地进行工作。例如机器中的轴如扭转变形过大,就会影响机器的精密度,或者使机器在运转过程中产生较大的振动。因此对圆轴的扭转变形需要有一定的限制。通常要求单位长度的扭转角不能超过某一许用值,即扭转构件应满足刚度条件式中j'是单位长度的扭转角,[j']为单位长度的许用扭转角,两者的单位皆为rad／m(弧度／米)。

3.5圆轴扭转时的变形在工程实际中[j']的常用单位为(º)/m(度/米)。如果使j'也采用(º)/m,则上述的刚度条件又可写成

单位长度的许用扭转角[j']是根据载荷性质和工作条件等因素决定的。在精密、稳定的传动中,[j']常取0.15～0.3(º)/m之间；对于一般的传动轴,则可放宽到2(º)/m左右。各种轴的许可单位长度扭转角的具体数值可由有关的机械设计手册中查出。3.5圆轴扭转时的变形例：某汽车的主传动轴是用40号钢的电焊钢管制成,钢管外径D＝76mm,壁厚d＝2.5mm,轴传递的转矩Me＝1.98kN·m,材料的许用切应力[]＝100MPa,切变模量G＝80GPa,轴的许可扭角[']＝2º/m。试校核轴的强度和刚度。dMedD解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内,外径之比MedMedD由刚度条件由强度条件

Me将空心轴改为同一材料的实心轴,仍使max=96.1MPa实心轴的直径为d＝47.2mm实心轴的截面面积为空心轴的截面面积为两轴材料、长度均相等同,故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比在最大切应力相等的情况下空心轴比实心轴轻,即节省材料。例:轴上有三个齿轮。轴的转速为n＝183.5r/min,G＝80GPa。齿轮II的传动功率P2＝0.756kW,齿轮IV的传动功率P4＝2.98kW。轴的[]＝40MPa,[']＝1.5(º/m)。设计轴的直径。M3M2M4M3M2M4解:求扭矩,画轴的扭矩图39.3N·m155N·mn＝183.5r/minP2＝0.756kWP4＝2.98kW由强度条件39.3N·m155N·m由刚度条件取D＝30mm39.3N·m155N·m例：圆轴如图所示。已知d1＝75mm,d2＝110mm。材料的许用切应力[]＝40MPa,轴的许用单位扭转角[]＝0.8º/m,剪切弹性模量G＝80GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m8kN·m3kN·m解：画扭矩图d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m8kN·m3kN·m例6-8长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度40NmxT满足刚度要求③右端面转角为：40NmxT某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率P1=500马力，输出功率分别P2=200马力及P3=300马力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m，试确定：

①AB段直径d1和BC段直径d2？

②若全轴选同一直径，应为多少？

③主动轮与从动轮如何安排合理？解：

500400m1m3m2ACBTx7.024kNm4.21kNm①轴的扭矩图:500400m1m3m2ACBTx7.024kNm4.21kNm由强度条件：得：由刚度条件得：500400m1m3m2ACBTx7.024kNm4.21kNm综上：②全轴选同一直径时③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示。Tx

4.21kNm2.814kNm500400m1m3m2ACBTx7.024kNm4.21kNmm２B500400m3Cm１A此时，轴的最大直径为75mm。3.6密圈螺旋弹簧的应力和变形1弹簧丝横截面上的应力3.6密圈螺旋弹簧的应力和变形1弹簧丝横截面上的应力密圈螺旋弹簧,它受轴向拉(压)力作用。设弹簧圈的平均半径为R,簧丝的直径为d,材料的切变模量为G。弹簧圈的有效圈数为n,试在弹簧的斜度5º,且簧圈的直径比簧丝的直径大得多的情况下,推导这种弹簧的应力与变形的计算公式F近似地认为簧丝横截面与弹簧轴线(力F)在同一平面可以略去簧杆曲率的影响F先用截面法求得簧杆横截面上的内力。将簧杆的斜度视为零度。簧杆的横截面上有两个内力分量即T＝FR(扭矩)FS＝F(剪力)FFSTFd与剪力FS对应的切应力,按实用计算方法,可认为均匀分布在横截面上FFSTF与扭矩对应的簧丝横截面上最大切应力为dAFFSTFdA在靠近轴线的内侧点A处,总应力达到最大值。dFFSTF总应力最大值为当时,可略去剪力的影响弹簧的强度条件为由上式算出的最大切应力是偏低的近似值。若d与2R之比并不很小,则需考虑剪力及簧丝曲率的影响,一般将上式左端乘以修正系数,弹簧的强度条件为FFSTF承受拉、压力的弹簧,修正系数为式中由能量守恒弹簧的弹性能Ve与外力作功W相等在弹性范围内,弹簧的轴向变形与所受的力成正比,故在变形过程外力所作的功为ODDFF若只考虑簧杆扭转的影响,则簧杆内的应变能为2弹簧的变形由于在计算应变能Ve时略去了剪力的影响,并应用直杆扭转的公式,所得的Ve值是近似的,且比实际值为小,因而,算出的变形Δ也较实际值略小,但其相对误差小于应力计算式。k代表弹簧的刚度系数(通常称为“弹簧常数”)。令例：圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直径为：d=18mm，受拉力P=500N的作用，试求最大剪应力的近似解和修正解；若G=82GPa，欲使弹簧变形等于6mm，问：弹簧至少应有几圈？解：①最大剪应力的近似值：②最大剪应力的修正解：③弹簧圈数：（圈）3.7非圆截面杆扭转的概念等直非圆杆,如图所示矩形截面杆扭转后横截面将发生翘曲而不再是平面。等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲,但当等直杆在两端受外力偶作用,且端面可以自由翘曲时,其相邻两横截面的翘曲程度完全相同。横截面上仍然只有切应力而没有正应力。这一情况称为纯扭转。或自由扭转3.7等直非圆杆扭转时的应力和变形若由于约束条件或受力条件的限制,造成杆件各横截面的翘曲程度不同,这势必引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变。于是横截面上除切应力外还有正应力。这种情况称为约束扭转。图示即为工字钢约束扭转的示意图。

像工字钢、槽钢等薄壁杆件,约束扭转时横截面上的正应力往往是相当大的。但一些实体杆件,如截面为矩形或椭圆形的杆件,因约束扭转而引起的正应力很小,与自由扭转并无太大差别。3.7等直非圆杆扭转时的应力和变形杆件扭转时,横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切。因为,边缘各点的切应力如不与边界相切,总可分解为边界切线方向的分量tt和法线方向的分量tn。根据切应力互等定理,tn应与杆件自由表面上的切应力tn'相等。但在自由表面上不可能有切应力tn',即,tn'＝tn＝0。这样,在边缘各点上,就只可能有沿边界切线方向的切应力