【课件】人教版高中数学新教材必修第二册8.6.1 直线与直线垂直-课件(共26张PPT)

8.6.1直线与直线垂直不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线：有一个公共点

平行直线：无公共点异面直线：无公共点空间两直线的位置关系基本事实４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．等角定理：复习引入异面直线的画法αbaαβba注意：作图时，需要一个或二个平面衬托异面直线所成的角

在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,用以刻画两直线的错开程度,如图.在空间,如图所示,正方体ABCD－EFGH中,异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?ABGFHEDCO问题提出复习引入abb′a′O思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题思考:

这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?异面直线所成的角的范围(0,90]oo如果两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥b注2a

″学习新知异面直线所成角的定义:

如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线

则把

与

所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).思考:

这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?∵a′∥a,a″∥a∴a′∥

a″

(基本事实4),解答：

如图设a′与b′相交所成的角为∠1,a

″与b

所成的角为∠2,同理b′∥b″,∴∠1=∠2

(等角定理)b′a′O∠1aa″b∠2

答:这个角的大小与O点的位置无关.学习新知（1）异面直线所成角的大小只和两条异面直线的位置有关，而和点O的位置无关（2）异面直线所成的角的范围是：（0°＜θ≤90°）（3）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b这个很重要哦说明空间的垂直有相交垂直和异面垂直，区别在于一个是相交，一个是异面.学习新知求异面直线所成的角的步骤是:

一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。三计算：在一恰当的三角形中求出角学习新知ABGFHEDC

如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心求(1)BE与CG所成的角？(2)FO与BD所成的角？

解:

(1)如图:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又

BEF中∠EBF=45°，所以BE与CG所成的角是45°O连接HA、AF，依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30o(2)连接FH，所以FO与BD所成的夹角是30o∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=则AH=HF=FA∴△AFH为等边△典型例题例1、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在的直线与直线AA'

垂直？（2）直线BA'

和CC'

所成的角是多少？（3）直线BA'

和AC

所成的角是多少？例题选讲解:(1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A',所在直线分别与直线AA'

垂直（2）由

可知，

（或其补角）是异面直线

与所成的角,所以异面直线与所成的角为450。

例1、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在的直线与直线AA'

垂直？（2）直线BA'

和CC'

所成的角是多少？（3）直线BA'

和AC

所成的角是多少？例题选讲

在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上

(如线段的端点,线段的中点等)注3学习新知

如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60oABGFHEDC2巩固练习例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.分析先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最后在三角形中求角.法一如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1(或其补角)为异面直线DB1与EF所成的角.∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.OG例题选讲例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.例题选讲H1.作出角;2;证明角(或其补角);3.求角.法二如图,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE∥DB1,且HE=DB1.于是∠HEF(或其补角)为异面直线DB1与EF所成的角.∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.例题选讲法三如图,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1Q∥EF.于是∠DB1Q（或其补角）为异面直线DB1与EF所成的角.通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.求两条异面直线所成的角是立体几何中的重要题型之一,而求它的常用方法是空间问题平面化.(1)具体地,求两条异面直线所成角的一般步骤是:①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角;②证明:证明①中所作出的角或其补角就是所求异面直线所成的角;③计算:通过解三角形等知识,求出①中所构造的角的大小;④结论:假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即为所求.总结方法(2)作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).【例3】空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为50°，E，F分别是BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为________.

分析：先构造出已知两条异面直线所成角,寻求要求的角与已知角的关系.【解】取BD中点G,连接EG,FG,则由三角形中位线定理得EG∥CD，EG=CD，FG∥AB，FG=AB，所以EG=FG，EF与AB所成角为∠EFG，因为AB与CD所成的角为50°，所以∠EGF=50°或∠EGF=130°，所以EF与AB所成角的大小为25°或65°.典型例题练.(2019·南京高一检测)在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为 (

)A.150°B.60°C.120°D.30°取AC的中点M，连接EM，FM.M则EM∥BC，FM∥AD，EM=FM=1，所以∠EMF或其补角即为异面直线AD与BC所成角.在△MEF中，cos∠EMF=所以∠EMF=150°.所以异面直线AD与BC所成角的大小为30°.巩固练习D分析：要证明AO1⊥BD，应先构造直线AO1与BD所成的角，若能证明这个角是直角，即得AO1⊥BD.【证明】如图，连接B1D1.∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴BB1//DD1,BB1=DD1.∴四边形BB1D1D是平行四边形．∴B1D1∥BD.∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．典型例题F巩固练习巩固练习90度当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论.典型例题

【练】(2019·白城高一检测)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB=BC=2，∠ABC=120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是________.

巩固练习课堂小结1、异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥