【高三理科数学第一轮复习】第九章-第9节-第2课时-定点、定值、探索性问题

第2课时定点、定值、探索性问题考点一定点问题(1)求动点C的轨迹方程；(2)(一题多解)设直线l与(1)中轨迹相切于点P，与直线x＝4相交于点Q，判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.(2)法一易知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋m.依题意得Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即3＋4k2＝m2.又Q(4，4k＋m)，综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).得(x0－t)·(4－t)＋3－3x0＝0，即x0(1－t)＋t2－4t＋3＝0.由x0的任意性，得1－t＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1.综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).规律方法

圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练1】

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点. (1)求抛物线C的方程； (2)若点B(1，－2)在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ，如kBP·kBQ＝－2，求证：直线PQ过定点.(1)解若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，代入点A(1，2)，可得a＝4，所以抛物线方程为y2＝4x.(2)证明因为点B(1，－2)在抛物线C上，所以由(1)可得抛物线C的方程是y2＝4x.易知直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y＋2＝k(x－1)，将直线BP的方程代入y2＝4x，消去y，得k2x2－(2k2＋4k＋4)x＋(k＋2)2＝0.在上述方程中，令x＝3，解得y＝2，所以直线PQ恒过定点(3，2).考点二定值问题(1)证明∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0.(2)解①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b.其中Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2.综合①②，△POQ的面积S为定值1.规律方法

圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引起变量法：其解题流程为【训练2】

(2019·长春质量监测)已知直线l过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若点P(2，2)，过点(－2，4)的直线m与抛物线C相交于A，B两点，设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证：k1k2为定值，并求出此定值.(1)解由题意可知，2p＝2，解得p＝1，则抛物线的方程为x2＝2y.(2)证明由题易知直线m的斜率存在，设直线m的方程为y－4＝k(x＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立抛物线x2＝2y与直线y－4＝k(x＋2)的方程消去y得x2－2kx－4k－8＝0，其中Δ＝4(k2＋4k＋8)>0恒成立，可得x1＋x2＝2k，x1x2＝－4k－8，则k1k2＝－1.因此k1k2为定值，且该定值为－1.考点三探索性问题(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称.当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t，0)满足条件，设l的方程为y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2).其中Δ>0恒成立，由TS与TR所在直线关于x轴对称，得kTS＋kTR＝0(显然TS，TR的斜率存在)，因为R，S两点在直线y＝k(x－1)上，所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，③将①代入③得则t＝4，综上所述，存在T(4，0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称.规律方法

此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.当m＝0时，显然不合题意.当m≠0时，∵直线l与圆x2＋y2＝1相切，[思维升华]1.求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法

求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法 (1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.