【学海导航】高考数学第一轮总复习 2.5函数的奇偶性、周期性（第2课时）课件 理 （广西专）

第讲5函数的奇偶性、周期性（第二课时）第二章函数1

题型四：函数周期性的定义1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，则f(x)的周期是()A.1B.2C.4D.62由已知，f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，显然，f(x)的周期为4，选C.点评：由本题可知，若定义域为R的函数f(x)满足：f(x+a)=-f(x)(a>0)，则f(x)是周期为2a的周期函数.相应地还有：若或则f(x)是周期为2a的周期函数.答案：C3已知定义在R上的奇函数f(x)满足：对任意实数x都有f(x+2)+f(x)=0，且当x∈［0，1］时，f(x)=3x，则的值为()A.1B.-1C.D.4由已知f(x+2)=-f(x)f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数.又f(x)为奇函数，所以故选B.5题型五：抽象函数奇偶性、周期性的判定与证明2.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0.(1)证明：这个函数既是奇函数，又是周期函数；(2)若f(-3)=1，求f(2011)的值.6(1)证明：因为f(2-x)+f(x-2)=0，令t=x-2代入，有f(-t)+f(t)=0，所以f(x)为奇函数.所以f(4-x)=-f(x-4)，即有f(x)=-f(x-4)，所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，故f(x)是周期为8的周期函数.(2)f(2011)=f(251×8+3)=f(3)=-f(-3)=-1.7点评：处理抽象函数的奇偶性和周期性的关键是对其抽象性质进行变形、配凑，如本题中观察到2-x与x-2是互为相反数，则可判断其奇偶性，然后利用奇偶性将f(4-x)变换为-f(x-4).8已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数y=f(x)的图象关于直线x=a(a≠0，为常数)对称，证明：f(x)是周期函数.9证明：由已知f(-x)=-f(x)，且f(a+x)=f(a-x)，所以f(2a+x)=f［a+(a+x)］=f［a-(a+x)］=f(-x)=-f(x)，所以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4a.10题型型六六：：函函数数的的对对称称与与周周期期3.若y=f(2x)的图图象象关关于于直直线线和和对称称，，则则f(x)的一一个个周周期期为为()A.B.2(b-a)C.D.4(b-a)11因为为y=f(2x)关于于直直线线对对称称，，所以以f(a+2x)=f(a-2x)，所以f(2a-2x)=f[a+(a-2x)]=f[a-(a-2x)]=f(2x).同理，f(b+2x)=f(b-2x)，12所以f(2b-2x)=f(2x).所以f(2b-2a+2x)=f[2b-(2a-2x)]=f(2a-2x)=f(2x).所以f(2x)的一个周周期为2b-2a，故知f(x)的一个周周期为4(b-a).故选D.答案：D13点评：本题考查查函数的的对称性性以及周周期性，，类比三三角函数数中的周周期变换换和对称称性的解解题规则则处理即即可.①若函数y=f(x)的图象关关于直线线x=a和x=b对称(a≠b)，则这个个函数是是周期函函数，其其周期为为2(b-a)；②若函函数y=f(x)的图象关关于直线线x=a和点(b,0)对称(a≠b)，则这个个函数是是周期函函数，其其周期为为4(b-a);③若函数y=f(x)的图象关关于点(a,0)和点(b,0)对称(a≠b)，则这个个函数是是周期函函数，其其周期为为2(b-a).14已知定义义在R上的函数数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且f(4-x)=f(x)，当0≤x1<x2≤2时都有f(x1)<f(x2)，则下列列结论正正确的是是()A．f(6.5)>f(5)>f(15.5)B．f(5)>f(6.5)>f(15.5)C．f(5)<f(15.5)<f(6.5)D．f(15.5)>f(5)>f(6.5)C15由定义在在R上的函数数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且f(4-x)=f(x)，得函数数f(x)的图象关关于直线线x=2对称，且且周期是是4；又由当当0≤x1<x2≤2时，都有有f(x1)<f(x2)，得函数数f(x)在区间[0,2]上单调递递增．所以，f(6.5)=f(2.5)=f(1.5)，f(5)=f(1)，f(15.5)=f(3.5)=f(0.5)．而0<0.5<1<1.5<2，所以f(0.5)<f(1)<f(1.5)，从而f(15.5)<f(5)<f(6.5)．故选A.16已知定义义在R上的偶函函数f(x)满足:对任意实实数x都有f(x+2)=f(x)成立，且且当x∈［2，3］时，f(x)=x，则当x∈［-1，0］时，f(x)的解析式式为()A.x+4B.x-2C.3-|x+1|D.2+|x+1|

参考题17当x∈［-1，0］时，2-x∈［2，3］.由已知f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-|x+1|，故选C.答案：C181.证明抽象象函数的的周期性性，关键键是找出出其周期期，一般般通过尝尝试变形形或类比比三角函函数获得得.2.求周期函函数在某某个区间间内的解解析式，，先要在在该区间间内选取取自变量量，再通通过周期期调节到到已知区区间，从从而将它它转化为为已知区区间内的的函数解解析式.193.求周期函函数的函函数值，，要通过过周期的的调节，，将它转转化为已已知区间间内的函函数值来来解决.4.函数的周周期性常常与函数数的奇偶偶性结合合在一起起，解题题中要充充分利用用f(-x)与f(x)的关系帮帮助变形形.2