离散型随机变量及其分布列练习题2022年高二数学人教A版选择性必修Word含解析

离散型随机变量及其分布列1.如果X是一个离散型随机变量且Y=aX+b,其中a,b是常数且a≠0,那么Y()A.不一定是随机变量B.一定是随机变量,不一定是离散型随机变量C.可能是定值D.一定是离散型随机变量2.抛掷两颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是()A.两颗都是4点B.两颗都是2点C.—颗是1点,一颗是3点D.—颗是1点,另一颗是3点或者两颗都是2点3.设随机变量X等可能地取值1,2,3,4,…,10.又设随机变量Y=2X-1,P(Y<6)的值为()设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4),则P等于()A. B. C. D.5.一个盒子里装有相同大小的黑球10个,红球12个,白球4个.从中任取2个,其中白球的个数记为X,则概率等于表示的是()(0<X≤2) 6.随机变量X的分布列如表:X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.

7.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如表:ξ45678910P记“函数f(x)=x2-13x+1在区间[ξ,+∞)上单调递增”为事件A,则事件A的概率是________.

8.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件;(2)设X=m2,求X的分布列.9.从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.扩展练习1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…10,则P(3≤X≤4)=()A. B. C. D.2.(多选题)甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示的可能结果为()A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局3.设随机变量δ的分布列为P(δ=k)=,k=1,2,3,其中c为常数,则P<δ<=________.

4.设随机变量X的概率分布列如表,则P(|x-2|=1)=________.

X1234Pm5.设X是一个离散型随机变量,其分布列如表:X-101P1-2aa2则a等于________,X2的分布列为________.

6.唐代饼茶的制作一直延续至今,它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成:根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是,,;能通过“碾”这道工序的概率分别是,,;由于他们平时学习刻苦,都能通过“罗”这道工序;且这三道工序之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率;(2)设只要通过三道工序就可以制成饼茶,求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X的分布列.7.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列.参考答案1.如果X是一个离散型随机变量且Y=aX+b,其中a,b是常数且a≠0,那么Y()A.不一定是随机变量B.一定是随机变量,不一定是离散型随机变量C.可能是定值D.一定是离散型随机变量分析：选D.由于X是离散型随机变量,因此Y=aX+b也是离散型随机变量.2.抛掷两颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是()A.两颗都是4点B.两颗都是2点C.—颗是1点,一颗是3点D.—颗是1点,另一颗是3点或者两颗都是2点分析：选=4表示抛掷两颗骰子,所得点数之和为4的所有结果,可能是一颗1点,另一颗3点,也可能是两颗均为2点.3.设随机变量X等可能地取值1,2,3,4,…,10.又设随机变量Y=2X-1,P(Y<6)的值为()分析：选<6,即2X-1<6,所以X<设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4),则P等于()A. B. C. D.分析：选D.因为随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4),所以a+2a+3a+4a=1,解得a=,所以P=P+P=2×+3×=.5.一个盒子里装有相同大小的黑球10个,红球12个,白球4个.从中任取2个,其中白球的个数记为X,则概率等于表示的是()(0<X≤2) 分析：选B.本题相当于最多取出1个白球的概率,也就是取到1个白球或没有取到白球.6.随机变量X的分布列如表:X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.

分析：因为随机变量X的分布列如表:X-101Pabc所以a+b+c=1,且a,b,c∈[0,1].①因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,②联立①②,得b=,a+c=,所以P(|x|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=.答案:7.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如表:ξ45678910P记“函数f(x)=x2-13x+1在区间[ξ,+∞)上单调递增”为事件A,则事件A的概率是________.

分析：易知函数f(x)=x2-13x+1在区间[,+∞)上单调递增,所以ξ≥,即所求事件A的概率是P(A)=P(ξ≥=P(ξ=7)+P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=.答案:8.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件;(2)设X=m2,求X的分布列.分析：(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).(2)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,所以X=m2的所有不同取值为0,1,4,9,且有P(X=0)=,P(X=1)==,P(X=4)==,P(X=9)=.故X的分布列为X0149P9.从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.分析：(1)从箱中取两个球的情形有以下6种:{2个白球},{1个白球,1个黄球},{1个白球,1个黑球},{2个黄球},{1个黑球,1个黄球},{2个黑球}.当取到2个白球时,随机变量X=-2;当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1;当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1;当取到2个黄球时,随机变量X=0;当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2;当取到2个黑球时,随机变量X=4;所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4.P(X=-2)==,P(X=-1)==,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=4)==.所以X的概率分布列如表:X-2-10124P(2)P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=++=.扩展练习1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…10,则P(3≤X≤4)=()A. B. C. D.分析：选A.因为随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…10,所以=+++…+=a=a=1,解得a=,所以P(3≤X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=+=.2.(多选题)甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示的可能结果为()A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局分析：选BC.甲赢一局输两局得3分,甲与乙平三局得3分.3.设随机变量δ的分布列为P(δ=k)=,k=1,2,3,其中c为常数,则P<δ<=________.

分析：因为随机变量δ的分布列为P(δ=k)=,k=1,2,3,所以++=1,所以c=.所以P<δ<=P(δ=1)+P(δ=2)=+=c=.答案:4.设随机变量X的概率分布列如表,则P(|x-2|=1)=________.

X1234Pm分析：由|x-2|=1,解得x=1,3,所以P(|x-2|=1)=P(X=1或3)=+=.答案:5.设X是一个离散型随机变量,其分布列如表:X-101P1-2aa2则a等于________,X2的分布列为________.

分析：由离散型随机变量的分布列的性质得:解得a=1-.由题意X2=0,1,P=P=-1,P=1-=2-.所以X2的分布列为X201P-12-答案:1-X201P-12-6.唐代饼茶的制作一直延续至今,它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成:根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是,,;能通过“碾”这道工序的概率分别是,,;由于他们平时学习刻苦,都能通过“罗”这道工序;且这三道工序之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率;(2)设只要通过三道工序就可以制成饼茶,求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X的分布列.分析：(1)设A,B,C分别表示事件“甲、乙、丙通过“炙”这道工序”,则所求概率P=P(A)+P(B)+P(C)=××+××+××=.(2)甲制成饼茶的概率为P甲=×=,同理P乙=×=,P丙=×=.随机变量X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=××=,P(X=1)=××+××+××=,P(X=2)=××+××+××=,P(X=3)=××=.故X的分布列为X0123P7.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜.投篮