单自由度系统受迫振动(a)

1机械振动理论单自由度系统受迫振动2教学内容单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动工程中的受迫振动问题任意周期激励的响应非周期激励的响应3线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动4线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动弹簧－质量－阻尼系统设外力幅值外力的激励频率振动微分方程：x为复数变量，分别与和相对应

实部和虚部分别与和相对应m受力分析kcx0m单自由度系统受迫振动5振动微分方程：显含时间t非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应本节内容单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动6振动微分方程：设：复频响应函数

：稳态响应的复振幅静变形单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动7单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动引入：外部激励频率与系统固有频率之比振幅放大因子相位差稳态响应的实振幅若：则：无阻尼情况：系统响应单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m,k,c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关结论：单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动10线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动11稳态响应的特性以s为横坐标画出曲线幅频特性曲线简谐激励作用下稳态响应特性：（1）当s<<1（）激振频率相对于系统固有频率很低结论：响应的振幅A与静位移B相当0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性12稳态响应特性（2）当s>>1（）激振频率相对于系统固有频率很高结论：响应的振幅很小0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性13稳态响应特性（3）在以上两个领域s>>1，s<<1结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的对应于不同值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性14稳态响应特性结论：共振振幅无穷大（4）当对应于较小值，迅速增大当但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在s=1附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性15稳态响应特性（5）对于有阻尼系统，并不出现在s=1处，而且稍偏左0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性16稳态响应特性（6）当振幅无极值0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性17稳态响应特性记：品质因子在共振峰的两侧取与对应的两点，带宽Q

与有关系：阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性18稳态响应特性相频特性曲线（1）当s<<1（）以s为横坐标画出曲线相位差位移与激振力在相位上几乎相同（2）当s>>1（）位移与激振力反相（3）当共振时的相位差为，与阻尼无关0123090180单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性19有阻尼单自由度系统外部作用力规律：假设系统固有频率：从左到右：单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性20线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动21受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加显含t，非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应回顾：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段22受迫振动的过渡阶段考虑无阻尼的情况正弦激励通解：齐次通解非齐次特解初始条件决定单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段23初始条件响应自由伴随振动强迫响应特点：以系统固有频率为振动频率单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段24初始条件响应自由伴随振动强迫响应如果是零初始条件自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段25零初始条件(2)s>1(1)s<1稳态受迫振动进行一个循环时间内，自由伴随振动完成多个循环自由伴随振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动完成多个循环受迫振动响应成为自由振动响应曲线上迭加的一个振荡运动受迫振动响应成为稳态响应曲线上迭加的一个振荡运动00稳态响应全响应自由伴随全响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023年2月1日26零初始条件0单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023年2月1日27由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解＋＝通解：初始条件响应自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023年2月1日28即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生实际中总是存在着阻尼的影响，因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023年2月1日29例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动解：的全解：如果要使系统响应只以为频率振动必须成立：初始条件：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段30例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动解：的全解：正确？全解：由求一阶导数：由单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023年2月1日31全解：因此：的全解：相同不同单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段32例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动全解：如果要使系统响应只以为频率振动初始条件：＝0单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段若激励频率与固有频率十分接近令：ε

小量考虑零初始条件，有单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段34单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段35可看作频率为但振幅按规律缓慢变化的振动这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍”0拍的周期：图形包络线：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段36当随t增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形0响应曲线单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应初始条件响应自由伴随振动强迫响应利用前述相同的方法，有：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段38初始条件响应经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失，只剩稳态强迫振动自由伴随振动强迫响应0强迫响应全响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段39初始条件响应自由伴随振动强迫响应对于零初始条件：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段40线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动2023年2月1日41简谐惯性力激励的受迫振动xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动mxce背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动等特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例2023年2月1日简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动坐标：动力学方程：基座位移规律：x1

相对基座位移mm受力分析xfkcmx0mkxxfcD：基座位移振幅特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动2023年2月1日回顾：令：有：其中：xfkcmx0振幅放大因子相位差单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动2023年2月1日440.250.50.751.02.010100190180幅频曲线相频曲线单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动2023年2月1日系统固有频率从左到右：0.250.50.751.02.010100190180支撑运动：DD如何分析s>1，s<1，s=1?单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动2023年2月1日46若以绝对位移x为坐标其中：则有：xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动2023年2月1日47单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动2023年2月1日48代入：无阻尼情况：xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动2023年2月1日49幅频曲线010100.10.250.350.51.0可看出：当时，振幅恒为支撑运动振幅D当时，振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动2023年2月1日50例：汽车的拖车在波形道路上行驶已知拖车的质量满载时为m1=1000kg空载时为m2=250kg悬挂弹簧的刚度为k=350kN/m,阻尼比在满载时为车速为v=100km/h,路面呈正弦波形，可表示为求：拖车在满载和空载时的振幅比l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动2023年2月1日解：汽车行驶的路程可表示为：路面的激励频率：得：c、k

为常数，因此与成反比因此得到空载时的阻尼比为：满载和空载时的频率比：因为有：l=5mmk/2cx0k/2xfalxfz满载:

m1=1000kg空载:m2=250kg车速:v=100km/hk=350kN/m单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动2023年2月1日满载时频率比记：满载时振幅

B1，空载时振幅B2有：满载时阻尼比空载时阻尼比空载时频率比因此满载和空载时的振幅比：l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动2023年2月1日例：已知梁截面惯性矩I，弹性模量E，梁质量不计支座B不动求：质量m的稳态振动振幅支座A产生微小竖直振动ambAB解：固有频率：简化图在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度mk：因yA的运动而产生的质量m处的运动动力学方程：振幅：杆做刚性处理，其柔性由弹簧表示单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动2023年2月1日54支承运动小结相对位移基座位移规律：绝对位移xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动2023年2月1日55高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转机械总质量为M，转子偏心质量为m，偏心距为e，转子转动角速度为x：机器离开平衡位置的垂直位移则偏心质量的垂直位移：由