初中数学问题解决策略 特殊化教案2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

《※问题解决策略：特殊化》教学设计课型新授课√复习课口试卷讲评课口其他课口教学内容分析本课时是本章最后一节内容，特殊化思想是一种重要的数学思维方式，广泛运用于各种数学活动中，能够培养学生的数学逻辑推理能力，开阔学生的视野，发展发散思维，在数学及其他学科的学习中都是十分重要的。学习者分析通过之前的学习，学生已经掌握了数学归纳法，直观分析等数学思想，为特殊化思想的学习奠定了基础；七年级的学生好奇心重，求知欲强，具备分析问题的能力，教师通过合适的方法讲解有助于他们更好地理解特殊化思想.教学目标1.理解特殊化策略的含义.2.会用特殊化策略解决实际问题.教学重点理解特殊化策略的含义.教学难点会用特殊化策略解决实际问题.学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：按一定规律排列的一列数:3，32，3-1，33，3-4，37，3-11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是a=bc.学生活动1：学生动脑思考，积极举手回答.活动意图说明：通过设置问题，激发学生的学习兴趣，提高课堂活跃性，进而进入新课的学习。环节二：特殊化策略教师活动2：特殊化策略：面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决;同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中。因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路。问题：如图，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少?理解问题：(1)在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形?(2)对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积?你遇到的困难是什么?前两种情况直接计算重叠部分的面积即可；第三种情况需要转化成前两种情况之后，再求面积。困难是如何将第三种情况转化成前两种情况。拟定计划：(1)哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出?(2)其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗?（1）前两种情况，两个正方形重叠部分的面积容易求出。（2）其他情形也可以转化为容易求解的特殊情形。实施计划：写出你的解决方案，并说明道理。小明的思考过程如下。(1)先考虑特殊情形。如图，这两种情形下，重叠部分的面积容易求出，都是14(2)将一般情形转化为特殊情形。如图，连接EB，EC，两个正方形重叠部分的面积记作S重叠，则S重叠=S△BEC+S△CEN-S△BEM。可以发现，△BEM≌△CEN，这时，左图的情形就转化为右图的情形，S重叠=S△BEC=14。因此，一般情形下，重叠部分的面积也是1回顾反思：(1)回顾本题的解决过程，你有哪些感悟?(2)具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手?如何寻找特殊情形?与同伴进行交流。（1）在解决困难问题时，要先想都有什么情况，特殊情况下是否容易计算，之后再将一般情况转化成特殊情况进行求解。（2）涉及一般原理、公式或定理的问题，通常可以从特殊情形入手。1.赋特殊值:对于某些有关一般值都成立的问题，有时可以避免考虑一般值，而直接利用特殊值去求解问题.2.由特殊化得出一般化结论:若问题的一般结论为真，则它在特殊时的结论也为真，所以我们在解题时，可先考察其特殊情形的结论.3.以特殊情形为起点，进而发现一般问题的解法:有些问题，情景比较复杂，造成计算量大，或要考虑的情况较多，此时可退到特殊，简单的情况，它们的特殊简单情形的求解中的关键性步骤，再回到原问题中求解.4.利用特殊化，奠定解题基础:某些数学问题的解决，可以依赖于某种特殊情形，于是特殊情形的解决，是进一步求解一般情形的很恰当的基础.5.特殊化探求某些问题的结论，寻求解题突破口:可以先取问题的特殊情形探究问题的特殊情形，探求“定值”的表达形式，这样就使求解目标明确，容易使问题获解.6.用特殊化，引起特殊联想:在解题过程中，有时要把注意力倾注在对象的某些特殊方面，由特殊结构引起特殊联想，从而找到解题途径.学生活动2：学生理解特殊化策略的概念。学生了解问题，并回答问题。学生思考回答。活动意图说明：通过讲解特殊化的概念，让学生了解特殊化思想，之后出示实际案例，引导学生分析，了解特殊法思想在解决实际问题中的便利之处，培养学生的思维能力.环节三：特殊化策略的应用教师活动3：请用特殊化策略解答下列问题。1.如图，点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F。小颖从特殊情形入手，认为PD+PE+PF等于△ABC的高，AF+BD+CE等于△ABC周长的12证明：过点A作AH⊥BC于H，连接PA、PB、PC．∵S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC，即12BC·AH=12AB·PF+12又∵AB=BC=AC，∴AH=PD＋PE＋PF．∴PD＋PE＋PF的值是等边△ABC的高，是不变的值．由于△ABC是等边三角形，故它的三边AB=BC=AC，而PD、PE、PF恰好是这三边上的高，因此本题可想到用三角形的面积法解题．连接PA、PB、PC，把△ABC分成了三个三角形△PAB、△PBC、△PAC，这三个三角形面积的和正好等于等边△ABC的面积，由面积之间的关系即可说明PD＋PE＋PF等于△ABC的高，即为定值．证明：假设P为△ABC三条角平分线的交点，∵△ABC为等边三角形，∴∠FAP=∠FBP在△AFP和△BFP中，∠FAP=∠FBP，∠AFP=∠BFP，FP=FP∴△AFP≌△BFP∴AF=BF=12同理BD=CD=12BC，AE=CE=1∴AF+BD+CE等于△ABC周长的122.如图，四边形ABCD的面积是16，各边中点分别为M，N，P，Q，MP与NQ相交于点O，求图中阴影部分的面积。解：∵四边形ABCD的面积是16，点M，N，P，Q分别为各边的中点，所以四边形QMNP为平行四边形，所以S△QMO=S△QPO=S△MNO=S△NPO所以S△AMQ=14S△ABD，S△CNP=14S相加得S△AMQ+S△CNP=14SABCD同理，S△BMN+S△DPQ=14SABCD所以SMNPQ=12SABCD所以S△QMO+S△NPO=14S所以S△AMQ+S△CNP+S△QMO+S△NPO=12SABCD=13.甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放置一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界。规定谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜。你知道获胜的策略吗?解：甲先把一枚硬币放在圆桌面的圆心处。以后无论乙将硬币放在何处，甲都总能在乙上次放的硬币的对称点放置硬币。按照上述方法，甲就能保证获胜。4.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少?解：设这个三位数为abc=100a+10b+C，可得（100a+10b+c）÷（a+b+c）=[（10a+10b+10c）+（90a-9c）]÷（a+b+c）=10+9（10a-c）÷（a+b+c）；要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小，可得c=0，b=0，此时商的最大值为：10+9×10a÷a=10+90=100。特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时，从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象，也就是为了解答一般问题，先求解特例，然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题.学生活动3：学生小组合作，利用特殊化策略解决实际问题.活动意图说明：通过解决实际问题，检验学生对特殊化策略的掌握程度，加深对特殊化策略的理解，培养学生发散的思维方式。板书设计课题：※问题解决策略：特殊化特殊化策略：面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.用字母a表示任意一个有理数，下列四个代数式中，值不可能为0的是()A.1+a2B.|a+1|C.a2D.a3+12.有80粒珠子甲乙两人轮流从中取，取珠规则为每人至少取1粒，至多取4粒，谁取到最后一粒谁就输，若甲先取，怎样取能保证获胜？解：首先，因为每人每次至少取1粒，至多取4粒，所以两人一轮取的珠子数量之和可以控制。我们要保证每轮两人取的珠子总数为固定值，这个值就是1+4=5粒。甲先取，先计算80÷5=16，没有余数。甲先取44粒珠子，此时剩下80−4=76粒珠子。之后乙取，无论乙取1粒、2粒、3粒还是44粒，甲都取5减去乙取的粒数。例如乙取1粒，甲就取5−1=4粒；乙取2粒，甲就取5−2=3粒等。这样经过若干轮后，最后一定剩下11粒珠子留给乙取，从而乙取到最后一粒珠子输掉游戏。这种策略的核心在于甲先取后，通过控制每轮取珠数量之和为55，来掌握游戏的节奏，确保最后一粒珠子留给乙。如图，已知AB∥CD，∠C＝75°，∠AEC＝30°，求∠A的度数.解:过点E向左作EF∥CD，则∠FEC＝∠C＝75°.∵∠AEC＝30°，∴∠FEA＝∠FEC－∠AEC＝75°－30°＝45°.又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠A＝∠FEA＝45°.选做题：4.观察下列各式:(x-1)(x+1)=x²-1;(x-1)(x²+x+1)=x³-1;(x-1)(x³+x²+x+1)=x4-1;......(1)根据以上规律，则(x-1)(x6+x5+x4+x³+x²+x+1)=x7−1;(2)你能否由此归纳出一般性规律:(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)=xn+1−1;(3)根据以上规律求1+3+32+…+334+335的结果.解:原式=12x(3-1)×(1+3+32+…+334+335)=35.已知对任意大于2的正整数n，n5-5n³+4n都是正整数m的倍数，求m的最大值.解:n5-5n³+4n=n(n4-5n2+4)=n(n²-4)(n²-1)=n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1).因为n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1)是五个连续正整数的乘积，所以它是5的倍数，又当n=3时，原式=120，故m的最大值是120.【综合拓展类作业】6.如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，直线l3上有一点P.如图1，若P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，并说明理由；（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与点C，D不重合，如图2和图3），试直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，不必写理由.解：（1）当P点在C，D之间运动时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD，关系不发生变化.理由：过点P向左作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1.∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE，∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD.（2）当点P在C，D两点的外侧运动时，在l2下方时，则∠PAC＝∠PBD＋∠APB；在l1上方时，则∠PBD＝∠PAC＋∠APB.课堂总结特殊化策略：面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。作业设计【知识技能类作业】必做题：1.有一个两位数，减去它各位数上的数字之和的三倍，得23；除以它各位数上的数字之和，商是5余数是1，则这个两位数（B）A．不存在B．有唯一的一个C．有两个D．有无数多个2.如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直于ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积为(B)A.0.4cm2B.0.5cm²C.0.6cm²D.0.7cm23.用简便方法计算:2-3-4+5+6-7-8+9+…+66-67-68+69.解:原式=(2一3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0+0+…+0=0.选做题：4.对于任意正整数n，整式（4n＋1）（4n－1）－（4－n）（4＋n）的值一定是17的倍数，试说明理由.解：（4n＋1）（4n－1）－（4－n）（4＋n）＝16n2－1－（16－n2）＝16n2－1－16＋n2＝17n2－17＝17（n2－1）.因为n为正整数，所以n2－1是整数，所以整式（4n＋1）（4n－1）－（4－n）（4＋n）的值一定是17的倍数.5.求（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1）＋1的个位数字.解：原式＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1）＋1＝（24－1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1）＋1＝264－1＋1＝264.因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64……个位数字按照2，4，8，6依次循环.，而64＝16×4，所以原式的个位数字为6.【综