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第3章杆件的内力分析

内力分量外力与内力的平衡内力分析与内力图13.1外力与内力的平衡内力分量3.2内力分析与内力图第3章

杆件的内力分析目录23.l.1外力与内力的平衡外力:指构件所受到的所有主动力和约束力。

3.l外力与内力的平衡内力分量

(1)在外力的作用下,构件处于平衡状态,都会产生一定的变形,属于变形体。

(2)要研究构件在外力作用下的强度、刚度和稳定性问题,就必须研究构件在外力作用下的变形问题,因而不能把构件当作刚体处理。

(3)工程上,构件在外力作用下的变形量与其原始尺寸相比较一般来说是很小的,因而第2章建立的求解约束力方法仍然可以应用于变形体。3内力:工程力学中所称的内力指的就是这种附加内力。即:物体在外力作用下产生变形后使物体内部各部分之间产生的附加的相互作用力。物体内部质点之间本身存在的相互作用力,是固体具有一定宏观形状的本质原因。在外力的作用下

在外力的作用下,物体会发生变形,内部质点之间的相对位置会发生变化,从而引起质点间相互吸引力或排斥力的增加,即产生了“附加内力”。工程上,构件在外力作用正是由于附加内力的产生,使变形固体具有了抵抗外力产生变形的能力。附加内力随着外力的增大而增加,并与外力保持平衡。43.l.2内力分量内力存在于构件的内部,为了显示和计算构件在外力作用下产生的内力,可应用截面法求解。

用截面法求内力(1)内力分量的求解方法5内力存在于构件的内部,为了显示和计算构件在外力作用下产生的内力,可应用截面法求解。

用截面法求内力(2)内力分量的求解6内力分量:主矢量和主矩沿坐标轴的分量N--轴力,是内力系主矢量沿x轴的分量;Q--剪力,是内力系主矢量沿y轴的分量;M--弯矩,为内力系主矩沿z轴的分量;Tn--杆上作用的绕x轴旋转外力偶。

内力分量:通常也称为内力或内力素。

7内力分量可用截面法通过静力平衡条件求解。通常对轴力N、剪力Q、弯矩M和扭矩Tn作如下的正负号规定:

3.2内力分析与内力图

轴力N:受拉为正,受压为负。也即轴力与截面外法线方向相同为正,反向为负。剪力Q:截面两侧材料发生左侧向上、右侧向下的剪切变形为正,否则为负。也可以说,若取杆的左段进行研究,剪力向下为正;若取杆的右段进行研究,剪力向上为正。弯矩M:截面附近一段梁发生向下凹的弯曲变形为正,否则为负。也可以说,若取梁的左段进行研究,逆时针转向的弯矩为正;若取梁的右段进行研究,顺时针转向的弯矩为正。扭矩Tn:按右手螺旋法则确定的扭矩矢量方向与截面外法线方向相同为正,反向为负。

8剪力、弯矩符号规定示意图

图3-3剪力、弯矩符号规定9如此规定后,内力分量就成为了截面位置的函数,称为内力函数。

将内力函数用图线表示出来,就成为内力图。内力图既可直观地表示内力数值随截面位置而变化的情况,又可反映整个杆的变形情况。内力函数的求取采用截面法求解。将杆截开后,可取左段或右段研究,截面上内力分量的方向按正负号规则规定的正值方向假设,由所取部分的平衡条件就可以确定内力函数。10内力分量可用截面法通过静力平衡条件求解。如果作用在直杆上外力的作用线或外力系中各力的作用线与轴线平行且其合力的作用线与直杆的轴线重合,则直杆会发生轴向拉伸或压缩变形,此时直杆横截面上的内力分量只有轴力,内力图即为轴力图。

3.2.1直杆受轴向拉伸或压缩时的内力图

11(1)工程实例12受力特点:作用于杆件两端的外力大小相等,方向相反,作用线与杆件轴线重合,即称轴向力。变形特点:杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。13截面法:取杆件的一部分为研究对象,利用静力平衡方程求内力的方法。14

(1)截:欲求某一横截面的内力,沿该截面将构件假想地截成两部分。

(2)取:取其中任一部分为研究对象,而弃去另一部分。

(3)代:用作用于截面上的内力,代替弃去部分对留下部分的作用力。

(4)平:建立留下部分的平衡条件,由外力确定未知的内力。用截面法求内力可归纳为四个字:15轴力图:

用图线表示轴力沿轴线变化的情况。一般以杆轴线为横坐标表示截面位置,纵轴表示轴力大小。轴力方向规定:拉伸为正,压缩为负。点击图标播放16[例3-l]

如图(a)所示为一双压手铆机活塞杆。活塞杆横截面面积为60mm2,作用于活塞杆上的力分别简化为F1=2.62kN,F2=1.30kN,

F3=1.32kN

。计算简图如图(b)所示。试求活塞杆各段内的轴力,作出轴力图。(3)平衡:

F1-N1=0N1=F1=2.62kN(压力)解:

(1)截开:1-1、2-2截面。(2)代替:N1、N2代替移去段对留下段的作用。

F1-F2-N2=0N2=F1-F2=1.32kN(压力)17如果取截面2-2右段为研究对象,则

N2-F3=0N2=F3=1.32kN

(压力)画轴力图:见图示。(压应力)BC段:(压应力)18注意两个问题:

1)求内力时,外力不能沿作用线随意移动,因为材料力学研究的对象是变形体,不是刚体,力的可传性原理的应用是有条件的。

2)截面不能刚好截在外力作用点处,因为工程实际上并不存在几何意义上的点和线,而实际的力只可能作用于一定微小面积内。19汽车传动轴3.2.2圆轴受扭转时的内力图(1)扭转的实例例1

汽车传动轴20例2

桥式起重机的传动轴21例3

反应釜搅拌轴22(2)扭转变形的概念构件特征:轴为直杆。受力特征:在垂直于轴线的两个平面内,受一对大小相等、方向相反的力偶作用。变形特征:轴的各截面都绕其轴线发生相对转动的变形,这种变形称为扭转变形。23扭转模型点击图标播放24直接计算:1)外力偶矩(3)力偶矩的计算及横截面上的内力25按输入功率和转速计算26T=Tn(4)扭矩和扭矩图扭矩:扭转时的内力方法:截面法(截、取、代、平)扭矩的正负号规定为:按右手螺旋法则矢量离开截面为正,指向截面为负。扭矩图:以X为横坐标,扭矩Tn为纵坐标→X-Tn图。TT27[例3-2]

图(a)所示传动轴转速n=300r/min,A为主动轮,B、C、D为从动轮,且三个从动轮的输出功率分别为PB=10kW,PC=15kW,PD=25kW。若不计轴承摩擦,试画出该轴的扭矩图。解:由于轴等速转动,且不计轴承摩擦,故主动轮输入的功率等于三个从动轮输出的功率之和。即:PA=10+15+25=50kW。(1)画出传动轴的受力图。

(2)计算传动轴上各轮的外力偶矩:

kN·m28

kN·m

kN·m

kN·m(3)求出各段的扭矩BC段:Tn1-TB=0,Tn1=TB=0.318kN·m;CA段:Tn2-TB-TC=0,Tn2=TB+TC=0.796kN·m;AD段:Tn3+TD=0,Tn3=-TD=-0.796kN·m。29(4)画出扭矩图303.2.3平面弯曲梁的内力图桥式起重机1(1)实例:31火车轮轴32(2)基本概念在工程中最常遇见的梁,它的横截面都具有一对称轴y-y,见下图。33纵向对称面:由对称轴和梁的轴线组成的平面,称为纵向对称面。平面弯曲:梁在变形后其轴线是在对称平面内的一条平面曲线。34载荷类型:1)集中载荷35①均布载荷2)分布载荷②非均布载荷3)集中力偶集中力偶是作用在纵向平面内的力偶矩。36梁:工程上把以弯曲变形为主的杆件统称为梁。静定梁的基本形式:

静定梁:梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。

1)简支梁:一端为固定铰支座,而另一端为可动铰支座的梁。372)悬臂梁:

一端为固定端,另一端为自由端的梁。3)外伸梁:

简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁。

383(3)平面弯曲的内力分析1)剪力和弯矩图4-5梁的弯曲内力①

求两端支座的约束反力,

所以39剪力求内力的方法:截、取、代、平。弯矩②

横截面上的内力:包括剪力Q和弯矩M对截面m-m上的形心O取矩,得:40按照同样方法,在2-2处将梁截开为左右两部分,仍取左段为分离体,就可求出2-2截面上的内力及内力矩。41③剪力和弯矩的符号

截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时,剪力为正;反之为负。+_

截面上的弯矩使得梁呈凹形为正;反之为负。+_

左上右下为正;反之为负

左顺右逆为正;反之为负42(4)剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力和弯矩沿着梁轴线分布的数学表达式:①剪力方程和弯矩方程

Q=Q(x)M=M(x)

②剪力方程和弯矩图以x为横坐标,剪力Q为纵坐标→Q-x图。以x为横坐标,弯矩M为纵坐标→M-x图。43[例3-3]

试作出如图所示简支梁的剪力图和弯矩图。解:首先求出两支座反力为:,

以梁左端(A点)为坐标原点,建立坐标如图(a)所示。44(2)求AC段的剪力方程和弯矩方程

(0<x<a)

(0≤x≤a)(3)列出CB段内的剪力方程和弯矩方程

(a<x<l)(a≤x≤l)45图4-8

例4-2图[例3-4]

试作出如图所示简支梁的剪力图和弯矩图。解:首先求出两支座反力分别为:

取距原点为x的任意截面,求得剪力方程和弯矩方程如下:(0<x<l)

(0≤x≤l)46悬臂梁47载荷集度、剪力和弯矩关系:1)

q=0,则Q=常数,剪力图为水平直线;M(x)为x的一次函数,弯矩图为斜直线。2)

q=常数,Q(x)为x的一次函数,剪力图为斜直线;M(x)为x的二次函数,弯矩图为抛物线。分布载荷向上(q>0),抛物线呈下凹形;分布载荷向下(q<0),抛物线呈上凸形。3)剪力Q=0处,弯矩取极值。4)

集中力作用处,剪力图突变;集中力偶作用处,弯矩图突变。48载荷集度、剪力和弯矩关系:1)

q=0,则Q=常数,剪力图为水平直线;M(x)为x的一次函数,弯矩图为斜直线。2)

q=常数,Q(x)为x的一次函数,剪力图为斜直线;M(x)为x的二次函数,弯矩图为抛物线。分布载荷向上(q>0),抛物线呈下凹形;分布载荷向下(q<0),抛物线呈上凸形。3)剪力Q=0处,弯矩取极值。4)

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