新高考研究卷第二次联考数学试题(2023.02)【含答案】

浙江省名校新高考研究联盟第二次联考卷数学试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，集合，则（）A．B．C．D．2．设复数是纯虚数，其中是实数，则（）A．B．C．D．3.“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4.设是空间中一个平面，是三条不同直线，则下列命题中正确的是（）①若，，，则；②若，，，则；1O③若，，，则；④若，，，则；1OA．①②B．①④C．③④D．②③OOOO5函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）OOOOA．B．C.D．6.已知且满足，则的最小值是（）A．B．C.D．7.已知正项数列是单调递增的等差数列，是等比数列，且满足，则以下结论中：①；②；③；④，正确的个数是（）A．B．C.D．8.若关于的不等式无解，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．9.已知双曲线和抛物线有相同的焦点，两曲线相交于两点，若（为双曲线左焦点）为直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C.D．10.如图，已知正四棱锥的各棱长均相等，是上的动点（不包括端点），是的中点，分别记二面角，，为，则（）A．B．C.D．二、填空题（本题共7小题，其中多空题6分，单空题4分，共36分）11.已知某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为；体积为．12.已知的分布列如下表所示，若，则；．13.已知，二项式的展开式中含有的项，则的最小值为；当取最小值时，各项系数和为．14.中，，则；当取最小值时，．15.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为的中点，则直线斜率的最大值为．16.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是．17.校园某处并排连续有个停车位，现有辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有种（用数字作答）．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（14分）已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求函数的值域.19.（15分）如图，平行四边形垂直于梯形所在的平面，，，为中点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.20.（15分）已知函数，其中.（1）若函数在点处的切线方程为，求，的值；（2）当时，对任意恒成立，求的取值范围.21.（15分）已知点在椭圆上，且离线率.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率分别为，且成等差数列，求面积的最大值.22.（15分）已知数列中，，求证：（1）；（2）；（3）.浙江省名校新高考研究联盟2023届第二次联考数学参考答案一、选择题：1．A2．B3．A4．D5．C6．A7．B8．C9．D10．D二、填空题：11．，；12．7，；13．3，8；14．6，；15．；16．；17．528；三、解答题：18．解：（1）.........4分所以，的最小正周期为，单调递增区间为..7分（2）当时，，...........12分所以............14分19．解：（1）取与的交点为，连接，因为分别为的中点，........4分则因为，,所以，平面.......7分（2）方法一：（向量法）过点在平面中作，交于点由已知可得，以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：根据已知可得下列各点坐标，，，，求得平面一个法向量，......10分设直线与平面所成角为，则所以，直线与平面所成角的余弦值为.......15分方法二：取的中点，连接，则，所以，直线与平面所成角即为直线与平面所成角过点作于又，所以所以，，则即为所求的线面角.........12分易求，，，所以，直线与平面所成角的余弦值为.............15分20．解：（Ⅰ）...............2分.........5分...........7分（Ⅱ）........9分..........12分.........15分21．解：（Ⅰ）............4分（Ⅱ）.............7分...............8分...........11分........15分22．证明：（1）先证左边，用数学归纳法①当时，成立；②假设时，当时，，，因为所以有........2分由①②可知，对，都有再证明右边，由得，因为所以，即所以..........4分（2）因为，则令........6分所以，在上为减函数，则有在上恒成立，即所以，，即.........8分另一方面，令......9分所以，函数在上为增函数，则有在上恒成立，即所以，，即综上，.............11分（3）由（2）可知，则，即当时，，，所以，，当时，成立所以，