相互独立事件同时发生的概率

相互独立事件同时发生的概率(一)福建师大2003级教育硕士福建省福安市第三中学

黄雄1/31/20231.教学目标

1.1地位、作用

《相互独立事件同时发生的概率（一）》是高中数学第二册下第十章第七节的第一课时,这节课是在学生学习了排列、组合、等可能性事件概率、互斥事件概率的基础上进行的.通过本节学习不仅要掌握相互独立事件的定义及其同时发生的概率乘法公式和公式的应用,为后继学习独立重复试验等概率知识以及今后升入高一级院校学习相关知识奠定良好基础,更重要的是培养学生关爱人文、虚心求教的精神与从正反两个方面考虑问题的辩证思想.

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1.2学情分析

由于在我执教的高二班级中,学生基础知识相对比较扎实,在已往的探究性课题学习方面都比较成功,基本上能适应以探究为主导策略的教学模式,并对探究性课题的学习有积极的兴趣、善于探索.但由于该班男女生比例悬殊太大（全班仅10名男生）,鉴于女生在左脑半球偏侧性功能专门化上,较之男生更早,更强烈,优于男生,因而在语言表达,短时记忆方面优于男生;而男生则相反,大脑的右半球比较发达,所以在空间知觉,分析、综合能力以及实验的观察、推理方面优于女生.因此教学中注重通过实物或模型的构建帮助女生对知识的理解.1.教学目标

1/31/20231.教学目标根据本节所处的地位与作用,结合学生的具体学情,确定本节课的教学目标如下：知识目标：理解相互独立事件的意义,掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式,并能应用该公式计算一些独立事件同时发生的概率,进一步理解偶然性与必然性之间的辩证关系.能力目标：培养学生的动手能力、探究性学习的能力、创新意识和实践能力,发展学生“用数学”的意识和能力,提高熟练使用科学计算器的能力.情感目标：培养学生关注人文、虚心求教的情感,帮助学生体验数学学习活动中的发现与快乐,激发他们的学习兴趣.1/31/20232.重点、难点

2.1教学重点：

概念教学、探究公式、应用公式.2.2教学难点：

理解概念、探究公式、应用公式解决实际问题.

1/31/20233.教学方法与教学手段

教学手段：采用多媒体辅助教学教学方法：探究法、讲授法、启发式教学1/31/20234.教学过程创设情境 概念教学 探究公式 注重反思

拓展应用

1/31/20231.创设情境,让学生的思维“动”起来

[问题1]

“三人行,必有吾师”出自哪里？如何解释？你从中得到什么启发？从数学的角度,你能做出解释吗？

1/31/20232.概念教学,让学生的思维“活”起来

[回顾]：一个坛子里有6个白球,3个黑球,2个红球,设摸到一个球是白球的事件为A,摸到一个球是黑球的事件为B,问A与B是互斥呢,还是对立事件？[思考1]：甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛子里有2个白球,2个黑球,设从甲坛子里摸出一个球,得出白球叫做事件A,从乙坛子里摸出1个球,得到白球叫做事件B,问A与B是互斥事件呢？还是对立事件？还是其他什么关系？1/31/20232.概念教学,让学生的思维“活”起来

[研究结论1]：我们把“从甲坛子里摸出一个球,得出白球”叫做事件A,“从乙坛子里摸出1个球,得到白球”叫做事件B,很明显,从一个坛子里摸出的是白球还是黑球,对从另一个坛子里摸出的白球的概率没有影响.这就是说,事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件.

[对照巩固]：一个坛子内装有2个白球和2个黑球,把“从中任意摸出一个球,得到白球”记作事件A,把“从剩下的3个球中任意摸出一个球,得到白球”记作事件B.试问A与B是不是相互独立事件？

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[变式回顾]：一个坛子里有6个白球,3个黑球,2个红球,现在进行有放回地摸球，设第一次摸到一个球是白球的事件为A,第二次摸到一个球是黑球的事件为B，第三次摸到一个球是红球的事件为C，问A与B，B与C，A与C各属于什么事件？2.概念教学,让学生的思维“活”起来变式探究A、B与C三者之间呢？如果摸球是无放回的呢？1/31/20232.概念教学,让学生的思维“活”起来

[变式思考1]：在思考1中,请指出事件与分别指什么？并指出A与,与B,与之间的关系.[研究结论2]：一般地,如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都是相互独立的.[思考2]：如果事件A与事件B是互斥事件,下列四个命题中哪些是正确的？为什么？①A与B是对立事件；②与是互斥事件；③与是相互独立事件；④A与B是相互独立事件1/31/20233.探究公式,让学生的思维“跳”起来

[探索研究1]：在思考1中,若记事件A与事件B同时发生为A·B,那么P（A·B）与P（A）及P（B）有什么关系呢？它们之间有着某种必然的规律吗？

[思考1]：甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛子里有2个白球,2个黑球,设从甲坛子里摸出一个球,得出白球叫做事件A,从乙坛子里摸出1个球,得到白球叫做事件B,问A与B是互斥事件呢？还是对立事件？还是其他什么关系？1/31/2023学生成果1/31/2023学生成果1/31/20233.探究公式,让学生的思维“跳”起来

[探索研究1]：在思考1中,若记事件A与事件B同时发生为A·B,那么P（A·B）与P（A）及P（B）有什么关系呢？它们之间有着某种必然的规律吗？

[研究结论3]：两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积.即：P（A·B）=P（A）·P（B）.1/31/20233.探究公式,让学生的思维“跳”起来

[思考3]：应用独立事件同时发生的概率公式有何前提？两个前提：1.事件之间相互独立

2.这些事件同时发生.[探索研究2]：如果A、B是两个相互独立事件,

那么1－P（A）·P（B）表示什么？

参考解答：1－P（A）·P（B）表示相互独立事件A、B中至少有一个不发生的概率,它在概率的计算中经常要用到.1/31/20234.注重反思,让学生的思维“深”下去

[反思应用1]：例1甲、乙2人各进行1次射击,如果2人击中目标的概率都是0.6,计算：（1）2人都击中目标的概率；（2）其中恰有1人击中目标的概率；（3）至少有1人击中目标的概率.[引申1]:

如果甲、乙、丙三人各射击一次,恰有1人击中包括哪几种情况？

[引申2]：甲、乙、丙三人各射击一次,至少有1人击中目标,包括哪几种情况？

1/31/20234.注重反思,让学生的思维“深”下去

1/31/20235.拓展应用相结合,让学生的思维得以升华

[拓展1]：一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P（A1·A2···An）=P（A1）·P（A2）···

P（An）.[拓展2]：如果事件A1,A2,…,An相互独立,

那么1－P（A1）·P（A2）···P（An）表示什么？

设计说明：由于有了前几节学习事件和的拓展经验,采取类比的方式对事件的积进行拓展并不困难，教学处理中也淡化了它的证明.通过拓展引导学生的思维向纵深发展,由特殊的情形去大胆地猜想一般的情形,从而培养学生由特殊到一般的思维方式.1/31/20235.拓展应用相结合,让学生的思维得以升华[反思应用2]：例2：设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,混合100个人的血清,求此血清中含有肝炎病毒的概率.对该题的计算结果,你有何感悟.解以Ai(i=1,2,…,100)表示第i个人的血清含有肝炎病毒这一事件,这些事件可以看作是独立的,这里所要求的概率是

P=1—P()P()···P()=1—0.996100≈0.33.

此例告诉我们这样一个事实,即每个人有病毒的概率很小,但是许多人混合后有病毒的概率就很大,所以,在公共场所要注意清洁卫生,在实际工作中,对这类效应必须充分重视.

1/31/20235.拓展应用相结合,让学生的思维得以升华[反思应用3]：诠释：三人行,必有吾师.俗话说“三百六十行,行行出状元.”我们不妨把一个人的才能分成360个方面.因为孔子是大学问家,我们假设他在每一行的排名都处在前的可能性为99%,即任意一个人在任一方面的才能低于他的可能性为99%.则在任一行中,另外两个的才能均不超过孔子的可能性是99%×99%=98.01%,而在360行中,另外两人的才能均不超过孔子的可能性为(98.01%)360≈0.07%.反过来说,另外两人中有人的才能在某一方面超过孔子的可能性为1—(98.01%)360≈99.93%.也就是说,两人中有人可以在某一方面做孔子的老师的可能性约为99.93%.

从上面的分析可知,“三人行,必有我师”虽然是孔子自谦的话,但从实际情况来看,这句话是很有道理的.设计说明：本例的解决不仅与引课呼应,而且让学生真正意识到不耻下问,虚心求教的必要性,养成谦虚求教的良好治学态度,适时地对学生进行德育教育，本例还可以提高他们使用科学计算器的能力.

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[总结提炼]：两个事件相互独立,是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.一般地,两个事件不可能既互斥又相互独立,因为互斥事件是不可能同时发生的,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的.相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和是不同的.

[布置作业]：

1.通过本节课的学习,你认为印象最深的知识是

；你认为需要继续与同学或老师探讨的问题是

；你认为上课过程中老师还需要改进的是：

.2.思考：若甲试验共有N1种等可能的不同结果,其中属于事件A发生的结果有m1种；乙试验共有N2种等可能的不同结果,其中属于事件B发生的结果有m2种.这里的种数N1、m1与N2、m2之间互相没有影响.

试问是否仍然有P（A·B）=P（A）·P（B）.

3.完成P132练