山东省潍坊市弥南中学2022年高二数学理模拟试卷含解析

山东省潍坊市弥南中学2022年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“对任意，都有”的否定为A.对任意，都有

B.不存在，都有

C.存在，使得

D.存在，使得参考答案：D略2.过点（2，3）且与圆x2+y2=4相切的直线有几条（）A．0条 B．1条 C．2条 D．不确定参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【分析】切线的斜率存在时设过点P的圆的切线斜率为k，写出点斜式方程再化为一般式．根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质，由点到直线的距离公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所设切线方程即可．切线斜率不存在时，直线方程验证即可．【解答】解：将点P（2，3）代入圆的方程得22+32=13＞4，∴点P在圆外，当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，由点斜式可得切线方程为y﹣3=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3=0，∴=2，解得k=．故所求切线方程为y﹣3=（x﹣2），即5x﹣12y+26=0．当过点P的切线斜率不存在时，方程为x=2，也满足条件．故所求圆的切线方程为5x﹣12y+26=0或x=2．故选：C3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是

（

）．46，45，56

．46，45，53

．47，45，56

．45，47，53参考答案：A略4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．5.一只蚂蚁在一个边长为的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点的距离都大于的地方的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.如图，在边长为4的正方形内有一个椭圆，张明同学用随机模拟的方法求椭圆的面积，若在正方形内随机产生10000个点，并记录落在椭圆区域内的点的个数有4000个，则椭圆区域的面积约为（）A．5.6 B．6.4 C．7.2 D．8.1参考答案：B【考点】几何概型．【分析】求出正方形的面积，结合几何概型的概率公式建立比例关系进行求解即可．【解答】解：设椭圆区域的面积为S，正方形的面积S=4×4=16，若在正方形内随机产生10000个点，并记录落在椭圆区域内的点的个数有4000个，则满足，则S==6.4，故选：B7.已知函数，则是（

）A.奇函数，且在R上是增函数 B.偶函数，且在(0,+∞)上是增函数C.奇函数，且在R上是减函数 D.偶函数，且在(0,+∞)上是减函数参考答案：C【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R，关于原点对称，，有，所以是奇函数，函数，显然是减函数.故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.8.若两条直线与同一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()A.

平行

B.异面

C.相交

D.平行、异面或相交参考答案：D略9.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（

）

A．

B．1

C．2

D．3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点作直线，使得它被椭圆所截出的弦的中点恰为，则直线的方程为

.参考答案：4x+9y-13=0;12.某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取______名学生。参考答案：4013.已知f（x）=﹣lnx，f（x）在x=x0处取最大值．以下各式正确的序号为①f（x0）＜x0②f（x0）=x0③f（x0）＞x0④f（x0）＜⑤f（x0）＞．参考答案：②⑤【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由已知得，令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，且函数的这个零点是y=lnx与y=﹣x﹣1的交点，由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=﹣lnx，∴，令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，且函数的这个零点是y=lnx与y=﹣x﹣1的交点，∴x0＞1，∴﹣x0﹣1=lnx0∴f（x0）=（﹣x0﹣1）?=x0，故②⑤正确．故答案为：②⑤．【点评】本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．14.在Rt△OAB中，∠O＝90°，则cos2A＋cos2B＝1.根据类比推理的方法,在三棱锥O-ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，a、b、g分别是三个侧面与底面所成的二面角，则

参考答案：cos2a＋cos2b＋cos2g＝1略15.在椭圆中F，A，B分别为其左焦点，右顶点，上顶点，O为坐标原点，M为线段OB的中点，若DFMA为直角三角形，则该椭圆的离心率为

参考答案：略16.已知等比数列的首项公比，则____________.参考答案：55略17.命题“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．参考答案：?x∈R，x2+x+1≤0【考点】命题的否定．【专题】综合题．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“?”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“?x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：?x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：?x∈R，x2+x+1≤0．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆D经过点M（1，0），且与圆C：x2+y2+2x﹣6y+5=0切于点N（1，2）．（Ⅰ）求两圆过点N的公切线方程；（Ⅱ）求圆D的标准方程．参考答案：【考点】圆的切线方程；圆的标准方程．【专题】计算题；规律型；直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出圆心C（﹣1，3），直线CN的斜率，得到公切线的斜率k=2，即可求公切线方程．（Ⅱ）求出线段MN的中垂线方程为y=1，求出圆心D（3，1），求出圆D的半径，即可求解圆D的标准方程．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）圆C的标准方程是（x+1）2+（y﹣3）2=5，圆心C（﹣1，3）．直线CN的斜率，因为过N的公切线与直线CN垂直，所以公切线的斜率k=2，故所求公切线方程y﹣2=2（x﹣1），即2x﹣y=0．（Ⅱ）直线CN方程为，线段MN的中垂线方程为y=1，解，得，即圆心D（3，1）．圆D的半径为，所以圆D的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题考查的方程的求法，切线方程的求法，考查计算能力．19.某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C（x）=200x+（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】先由题意建立利润L（x）的函数关系式，然后利用导数求函数的最值．【解答】解：设该厂生产x件这种产品的利润为L（x）元，则=，则，则由，解得x=60（件）．又当0≤x＜60时，L'（x）＞0，函数L（x）单调递增，当x＞60时，L'（x）＜0，函数L（x）单调递减，所以x=60是函数L（x）的极大值点，同时也是最大值点，所以当x=60时，L（x）=9500元．因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9500元．20.（12分）已知a＞0，b＞0，求证下列各式：（1）≥．（2）a+b≥+．参考答案：证明：（1）∵∴且……1分

∴……………3分 （当且仅当时等号成立）…5分

∴

…………………6分（2）∵∴由（1）可知，……………7分

∴………9分

当且仅当即时等号成立……11分

∴…………12分21.已知曲线C：y=eax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．参考答案：考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题： 导数的综合应用．分析： （Ⅰ）根据导数的几何意义，y=eax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；（Ⅱ）原题意可转化为对于?x，a∈R，eax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为?x，a∈R，eax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=eax﹣ax﹣b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为?x，a∈R，b＜eax﹣ax恒成立，再令t=ax，则等价于?t∈R，b＜et﹣t恒成立，再通过研究函数g（t）=et﹣t的性质求解．解答： 解：（Ⅰ）y'=aeax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于?x，a∈R，都有eax＞ax+b，即?x，a∈R，eax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=eax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a≠0，g'（x）=a（eax﹣1），由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：x（﹣∞，0）0（0，+∞）g'（x）﹣0+g（x）↘极小值↗所以g（x）的最小值为g（0）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；综上，实数b的取值范围是b＜1．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于?x，a∈R，都有eax＞ax+b，即?x，a∈R，b＜eax﹣ax恒成立，令t=ax，则等价于?t∈R，b＜et﹣t恒成立，令g（t）=et﹣t，则g'（t）=et﹣1，由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：t（﹣∞，0）0（0，+∞）g'（t）﹣0+g（t）↘极小值↗所以g（t）=et﹣t的最小值为g（0）=1，实数b的取值范围是b＜1．点评： 本题中的导数的几何意义和利用导数研究函数的性质，是高考中经常考查的知识点和方法，特别是第二小问，通过数形转化后，对于“?x，a∈R，eax﹣ax﹣b＞0恒成立，”的处理介绍了两种方法，对于拓宽学生的思维，拓展学生的思路有一定的指导作用，不过不管是哪种方法，最终都需要用导数的知识来进一步分析．22.（