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文档简介
山东省潍坊市临朐第一中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知,,则在上的投影为()A. B. C. D.参考答案:C【分析】利用直接求得结果.【详解】在上的投影为:本题正确选项:【点睛】本题考查向量在上的投影,关键是能够应用向量数量积得到投影公式,根据坐标运算求得结果.2.如果点位于第四象限,则角是(
)A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角参考答案:C【分析】由点位于第四象限列不等式,即可判断的正负,问题得解.【详解】因为点位于第四象限所以,所以所以角是第三象限角故选:C【点睛】本题主要考查了点的坐标与点的位置的关系,还考查了等价转化思想及三角函数值的正负与角的终边的关系,属于基础题.3.将函数y=cos(2x+)的图象向左平移单位后,得到的图象的函数解析式为()A.y=cos(2x+) B.y=﹣sin2x C.y=cos(2x+) D.y=sin2x参考答案:B【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】函数思想;定义法;三角函数的图像与性质.【分析】根据三角函数的图象平移关系进行求解即可.【解答】解:将函数y=cos(2x+)的图象向左平移单位后,得到y=cos[2(x+)+]=cos(2x+)=﹣sin2x,故选:B.【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解,根据三角函数图象变换关系是解决本题的关键.比较基础.4.如果数据x1,x2,…,xn的平均数是,方差是s2,则3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的平均数和方差分别是()A.和s2 B.3和9s2C.3+2和9s2 D.3+2和12s2+4参考答案:C3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的平均数是3+2,由于数据x1,x2,…,xn的方差为s2,所以3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的方差为9s2,所以选择C.【点睛】利用样本的平均数公式及方差公式可推导出如下结论:如果数据x1,x2,…,xn的平均数是,方差是s2,则的平均数和方差分别是和,请同学们记住这个结论.记住如下结论5.已知函数的图象关于对称,且对,当时,成立,若对任意的恒成立,则a的范围(
)A. B. C. D.参考答案:A6.下面各组函数中为相同函数的是(
)A.
B.C.
D.参考答案:B7.已知函数,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C8.设g(x)为R上不恒等于0的奇函数,(a>0且a≠1)为偶函数,则常数b的值为 (
)A.2
B.1
C.
D.与a有关的值参考答案:A9.数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1是首项为1,公比为2的等比数列,那么an=(
)A.2n-1
B.2n-1-1
C.2n+1
D.4n-1参考答案:A略10.下列函数中,图象过定点的是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数,给出下列结论:①若对于任意且,都有,则为R上的减函数;②若为R上的偶函数,且在内是减函数,,则的解集为③若为R上的奇函数,则也是R上的奇函数;④为常数,若对任意的都有,则的图象关于对称,其中所有正确的结论序号为
参考答案:①③①中,不妨设,由,所以为R上的减函数,所以正确;②中,的解集为,所以不正确;③中,设则,,所以函数为R上的奇函数,所以正确;④中,由可得,函数是以为周期的周期函数,故不正确。12.在△ABC中,已知30°,则B等于__________.参考答案:15°或105°【分析】根据三角形正弦定理得到角,再由三角形内角和关系得到结果.【详解】根据三角形的正弦定理得到,故得到角,当角时,有三角形内角和为,得到,当角时,角故答案为【点睛】在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.13.函数的单调增区间是__
______.参考答案:略14.圆的圆心坐标是.参考答案:15.函数的定义域为________________.参考答案:考点:函数的定义域与值域试题解析:要使函数有意义,需满足:解得:且所以函数的定义域为:。故答案为:16.函数f(x)=2sin(ωx+),又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值为,则正数ω=________.参考答案:117.如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为.参考答案:【考点】点、线、面间的距离计算.【分析】如图所示,取B1C1的中点F,连接EF,ED1,利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF,进而得到异面直线D1E与C1C的距离.【解答】解:如图所示,取B1C1的中点F,连接EF,ED1,∴CC1∥EF,又EF?平面D1EF,CC1?平面D1EF,∴CC1∥平面D1EF.∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离.过点C1作C1M⊥D1F,∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1.∴C1M⊥平面D1EF.过点M作MP∥EF交D1E于点P,则MP∥C1C.取C1N=MP,连接PN,则四边形MPNC1是矩形.可得NP⊥平面D1EF,在Rt△D1C1F中,C1M?D1F=D1C1?C1F,得=.∴点P到直线CC1的距离的最小值为.故答案为三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(14分)已知函数。
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)求函数的增区间;
(3)函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到?参考答案:解:(1)函数的最小正周期为,最大值为。
(2)函数的单调区间与函数的单调区间相同。
即所求的增区间为,即所求的减区间为,。
(3)将的图象先向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的
(纵坐标不变),然后把纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变),再向上平移1个单位长度,可得的图象。略19.如图,在三棱椎P﹣ABC中,D,E,F分别是棱PC、AC、AB的中点,且PA⊥面ABC.(1)求证:PA∥面DEF;(2)求证:面BDE⊥面ABC.参考答案:【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.【分析】(1)由线面平行的判定定理可知,只须证PA与平面DEF内的某一条直线平行即可,由已知及图形可知应选择DE,由三角形的中位线的性质易知:DE∥PA,从而问题得证;(2)由面面垂直的判定定理可知,只须证两平中的某一直线与另一个平面垂直即可,注意题中已知了线段的长度,那就要注意利用勾股定理的逆定理来证明直线与直线的垂直;通过观察可知:应选择证DE垂直平面ABC较好,由(1)可知:DE⊥AC,再就只须证DE⊥EF即可;这样就能得到DE⊥平面ABC,又DE?平面BDE,从面而有平面BDE⊥平面ABC.【解答】证明:(1)因为D,E分别为PC,AC的中点,所以DE∥PA.又因为PA?平面DEF,DE?平面DEF,所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D,E,F分别人棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=PA=3,EF=BC=4.又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90.,即DE⊥EF.又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.因为AC∩EF=E,AC?平面ABC,EF?平面ABC,所以DE⊥平面ABC.又DE?平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.【点评】本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.20.设是R上的奇函数(1)求实数a的值;(2)判定f(x)在R上的单调性并证明;(3)若方程f(x2﹣2x﹣a)=0在(0,3)上恒有解,求实数a的取值范围.参考答案:【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质.【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】(1)由f(x)在R上为奇函数便可得到f(0)=0,从而可以求出a=1;(2)分离常数得到,可看出f(x)在R上单调递增,根据增函数的定义,设任意的x1,x2∈R,且x1<x2,然后作差,通分,根据指数函数的单调性证明f(x1)<f(x2)便可得出f(x)在R上单调递增;(3)可设g(x)=x2﹣2x﹣a,可看出g(x)的对称轴为x=1,从而有g(1)≤g(x)<g(0),或g(1)≤g(x)<g(3),这样根据f(x)在R上单调递增便有f[g(1)]≤f[g(x)]<f[g(0)],或f[g(1)]≤f[g(x)]<f[g(3)],而要使方程f(x2﹣2x﹣a)=0在(0,3)上恒有解,则需,这样即可求出实数a的取值范围.【解答】解:(1)f(x)为R上的奇函数;∴f(0)=;∴a=1;(2)=,f(x)在R上单调递增,证明如下:设x1,x2∈R,且x1<x2,则:=;∵x1<x2;∴,;又;∴f(x1)<f(x2);∴f(x)在R上单调递增;(3)设g(x)=x2﹣2x﹣a,g(x)的对称轴为x=1,则:g(1)≤g(x)<g(0),或g(1)≤g(x)<g(3);f(x)在R上单调递增;∴f[g(1)]≤f[g(x)]<f[g(0)],或f[g(1)]≤f[g(x)]<f[g(3)];∵方程f(x2﹣2x﹣a)=0在(0,3)上恒有解;∴;∴;解得﹣1≤a<3;∴实数a的取值范围为[﹣1,3).【点评】考查奇函数的定义,奇函数在原点有定义时,在原点处的函数值为0,分离常数法的运用,增函数的定义,以及根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程,二次函数的对称轴,二次函数的最值,清楚方程的解和函数的零点的关系,要熟悉二次函数的图象.21.四边形ABCD中,E,F分别为BD,DC的中点,AE=DC=3,BC=2,BD=4.(1)试求,表示;(2)求2+2的值;(3)求的最大值.参考答案:【考点】平面向量数量积的运算.【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用.【分析】(1)由已知结合共线向量基本定理得答案;(2)由已知结合向量加法、减法的运算法则求解;(3)由向量加法、减法及向量的数量积运算得答案.【解答】解:(1)∵E,F分别为BD,DC的中点,∴,则;(2)=;(3)=,∵=10﹣6cos∠AEF.∴当∠AEF=π时,取得最大值16.∴的最大值为.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了向量加法与减法的三角形法则,是中档题.22.已知函数y=4cos2x+4sinxcosx﹣2,(x∈R).(1)求函数的最小正周期;(2)求函数的最大值及其相对应的x值;(3)写出函数的单调增区间.参考答案:【考点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性.【分析】(1)利用二倍角的余弦与正弦可将函数y=4cos2x+4sinxcosx﹣2转化为y=4sin(2x+),利用三角函数的周期公式即可求得函数的最小正周期;(2)利用正弦函数的性质可求ymax,由2x+=2kπ+(k∈Z)可求其取最大值时相对应的x值;(3)利用正弦函数的
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