四川省绵阳市元通中学2023年高一数学理上学期期末试卷含解析

四川省绵阳市元通中学2023年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积最小值时值为（）．A． B． C． D．参考答案：解：如图所示：直线即，过定点，与轴的交点，直线，即

，过定点，与轴的交点，由题意，四边形的面积等于三角形的面积和梯形的面积之和，∴所求四边形的面积为，∴当时，所求四边形的面积最小，故选：．2.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=4，b=4，A=30°，则角B等于（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°参考答案：D【考点】HP：正弦定理．【分析】由A的度数求出sinA的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．【解答】解：∵a=4，b=4，A=30°，∴由正弦定理=得：sinB===，∵B为三角形的内角，b＞a，∴B＞A，则B=60°或120°．故选D4.设甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是（）A． 20m，m B．10m，20m C． 10（﹣）m，20m D． m，m参考答案：A5.已知，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n后，输出的S∈(31，72)，则n的值为（

）A．5

B．6C．7

D．8参考答案：B7.对于相关系数r，叙述正确的是（

）A.越大，相关程度越大，反之相关程度越小B.越大，相关程度越大，反之相关程度越小C.越接近与1，相关程度越大，越接近与0，相关程度越小D.以上都不对参考答案：C8.已知=（sin（x+），sin（x﹣）），=（cos（x﹣），cos（x+）），?=，且x∈[﹣，]，则sin2x的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的数量积和两角和的正弦公式求出sin（2x+）=，根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式，即可求出．【解答】解：∵=（sin（x+），sin（x﹣）），=（cos（x﹣），cos（x+）），?=，∴sin（x+）?cos（x﹣）+sin（x﹣）?cos（x+）=sin（2x+）=，∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴cos（2x+）=，∴sin2x=sin（2x+﹣）=sin（2x+）cos﹣cos（2x+）sin=×﹣×=，故选：B9.已知映射，下列说法正确的是（

）A、A中不同元素的象必定不同 B、A中每一元素在B中都有象C、B中每一元素在A中必有原象 C、B是A中所有元素的象集合参考答案：B10.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（

）A．，；B．，；C．，；D．,参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等差数列{an}满足，公差，若当且仅当时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则首项的取值范围是________.参考答案：【分析】由同角三角函数关系，平方差公式、逆用两角和差的正弦公式、等差数列的性质，可以把已知等式，化简为，根据，可以求出的值，利用等差数列前项和公式和二次函数的性质，得到对称轴所在范围，然后求出首项的取值范围.【详解】,数列是等差数列，所以，，所以有，而，所以，因此，，对称轴为：，由题意可知：当且仅当时，数列的前项和取得最大值，所以，解得，因此首项的取值范围是.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，两角和差的正弦公式，考查了等差数列的性质、前项和公式，以及前项和取得最大值问题，考查了数学运算能力.12.有以下四个命题：①在中，“”是“”的充要条件；②“”是“成等比数列”的必要非充分条件；③在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的项越来越接近于某个常数，那么称是数列的极限；④函数的反函数叫做反余弦函数，记作。其中正确命题的序号为__________________。参考答案：略13.函数的图像关于直线对称的充要条件为_________．参考答案：【分析】根据函数的轴对称性得到，代入列出方程组，解得参数即可.【详解】函数的图像关于直线对称，则有，代入得到15a-4b=60,3a-b=9,解得a=8,b=15.反之当a=8,b=15时，函数，可验证f(x-2)=f(-2-x)成立.故答案为：.【点睛】这个题目考查了函数的轴对称性，题也考查了充分必要条件的判断，题目中等难度.判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．14.已知角α的终边过点P（4a,－3a）（a<0）,则2sinα＋cosα__________参考答案：2/5

略15.将一个长、宽分别是的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是_________．参考答案：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线，故只需考虑体对角线有最小值即可，设切去的正方形边长为，长方体的体对角线为，则，要在区间内有最小值，则二次函数的对称轴必要此区间内，即且，令代入得，故．16.将一枚硬币连续投掷3次，则恰有连续2次出现正面朝上的概率是．参考答案：

【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】此题需要三步完成，所以采用树状图法比较简单，根据树状图可以求得所有等可能的结果与出现恰有连续2次出现正面朝上的情况，再根据概率公式求解即可．【解答】解：画树状图得：∴一共有共8种等可能的结果；恰有连续2次出现正面朝上的有2种情况．∴恰有连续2次出现正面朝上的概率是．故答案为．【点评】此题考查了树状图法概率．注意树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.不等式＜0的解集为．参考答案：{x|﹣2＜x＜3}【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式可化为x﹣3与x+2乘积小于0，即x﹣3与x+2异号，可化为两个一元一次不等式组，分别求出解集，两解集的并集即为原不等式的解集．【解答】解：原不等式可化为：（x﹣3）（x+2）＜0，即或，解得：﹣2＜x＜3，∴原不等式的解集为{x|﹣2＜x＜3}．故答案为：{x|﹣2＜x＜3}三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在经济学中，函数的边际函数为，定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产台的收入函数为（单位元），其成本函数为（单位元），利润的等于收入与成本之差.①求出利润函数及其边际利润函数；②求出的利润函数及其边际利润函数是否具有相同的最大值；③你认为本题中边际利润函数最大值的实际意义.参考答案：略19.已知如图几何体，正方形和矩形所在平面互相垂直,,为的中点,。(Ⅰ）求证:；(Ⅱ）求二面角

的大小。参考答案：（I）连结交于,连结

因为为中点，为中点,所以,又因为,所以;

(II)因为正方形和矩形所在平面互相垂直,所以以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，如图取=1

,,,,设平面的法向量为

=(x,y,z),

设平面的法向量为

=(x,y,z),

所以二面角

的大小为。

20.已知函数．（1）当a=b=1时，求满足f（x）=3x的x的取值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数存在t∈R，不等式f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）有解，求k的取值范围．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】（1）根据3x+1=3?3x，可将方程f（x）=3x转化为一元二次方程：3?（3x）2+2?3x﹣1=0，再根据指数函数范围可得，解得x=﹣1，（2）先根据函数奇偶性确定a，b值：a=1，b=3，再利用单调性定义确定其单调性：在R上递减．最后根据单调性转化不等式f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）为t2﹣2t＞2t2﹣k即t2+2t﹣k＜0在t∈R时有解，根据判别式大于零可得k的取值范围．【解答】解：（1）由题意，当a=b=1时，，化简得3?（3x）2+2?3x﹣1=0解得，所以x=﹣1．（2）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）+f（x）=0，所以化简并变形得：（3a﹣b）（3x+3﹣x）+2ab﹣6=0要使上式对任意的x成立，则3a﹣b=0且2ab﹣6=0解得：，因为f（x）的定义域是R，所以舍去，所以a=1，b=3，所以，①对任意x1，x2∈R，x1＜x2有：因为x1＜x2，所以，所以f（x1）＞f（x2），因此f（x）在R上递减．因为f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k），所以t2﹣2t＞2t2﹣k，即t2+2t﹣k＜0在t∈R时有解所以△=4+4t＞0，解得：t＞﹣1，所以k的取值范围为（﹣1，+∞）【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的定义以及函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．21.已知（）是R上的奇函数．（1）求a的值；（2）若对于任意的，都有恒成立，求k的取值范围．参考答案：解：（1），解得，经检验知符合题意．（2）由奇函数得，又由题易得，函数是上的奇函数，故有，即，即在上恒成立，令，则，即求在上的最大值，又因为没有最大值，所以．

22.(本小题满分12分)

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，设求数列的前项和.参考答案