江苏省海门市东洲国际学校高三数学二轮复习：微专题10 复合函数的零点问题

微专题10复合函数的零点问题(含隐零点问题)例1已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|，若方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0恰有七个不相同的实数根，则实数b的取值范围是________．变式已知函数f(x)＝|ex－1|，又g(x)＝f2(x)－tf(x)(t∈R)，若满足g(x)＝－1的x有三个，则t的取值范围是________．例2(隐零点问题)已知函数f(x)＝x(1＋lnx)．(1)求函数f(x)的单调区间及其图象在点x＝1处的切线方程；(2)若k∈Z，且k(x－1)<f(x)对任意x>1恒成立，求k的最大值．1.复合函数零点问题：考虑关于x的方程g(f(x))＝0的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f(x)的方程，观察有几个f(x)的值使得等式成立；第二层是结合第一层f(x)的值求出每一个f(x)被几个x对应，将x的个数汇总后即为g(f(x))＝0的根的个数．2.“隐零点”问题：求解导数压轴题时，我们一般对零点设而不求，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决．我们称这类问题为“隐零点”问题．其处理方法如下：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的范围；第二步：以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式；第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小，我们将其称为隐形零点三部曲．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．1.关于x的方程(x2－1)2－3|x2－1|＋2＝0的不相同实数根的个数是________．2.设定义域为R的函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,|x－1|)，x≠1，,1，x＝1，))若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不同的解x1，x2，x3，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＝________．3.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，x≤a，,x2，x>a，))若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有2个零点，则实数a的取值范围是________．4.已知定义在R上的函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x2＋x|，x≤0，,ln（x＋1），x>0，))若函数g(x)＝f(x)－a(x＋1)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．5.已知函数f(x)＝eq\f(x,|lnx|)，若关于x的方程f2(x)－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．6.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x－t）2，x≤t，,\f(x,4)，x>t，))其中t>0，若函数g(x)＝f(f(x)－1)有6个不同的零点，则实数t的取值范围是________．7.已知函数f(x)