分布的拟合检验方法

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第三节分布的拟合检验第三节分布拟合的检验法

我们在前面几节中介绍的是在总分布形式已知时关于总体参数的假设检验。但在实际问题，有时不能预先知道总体分布的形式。这时，就要用假设检验的方法，根据样本的观察值判断总体是否具有某中分布，这类对总体分布形式的检验问题称为分布拟合检验。它是非参数检验中较为主要的内容。本节知介绍分布拟合的检验法。§3.分布拟合检验

实际中可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并完全不知道，要求我们直接对总体分布提出一个假设。

例如，从1500到1931年的432年间，每年爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据如下:战争次数X01234发生X次战争的年数22314248154

可以假设每年爆发战争次数分布X近似泊松分布。那么上面的数据能否证实X具有泊松分布假设？

又如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检查，抽取100个钟作试验，拨准后隔24小时以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢）按秒记录下来。问该厂生产的钟的误差是否服从正态分布？再如，某工厂制造一批骰子，声称它是均匀的。即在投掷中，出现1点，2点，…，6点的概率都应是1/6。为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距。那么得到的数据能否说明“骰子均匀”的假设是可信的？§3.分布拟合检验需要：在总体X的分布未知时，根据来自总体的样本，检验关于总体分布的假设的一种检验方法。§3.分布拟合检验若原假设成立，则各实测频数fi与npi(理论频数)应相差不大。总体X可以分为k个组（类），记作A1,A2,…,Ak。现要检验的是：如对总体做作了n次观察，各类出现的频数为fi

（实测频数），所有频数之和f1+f2+…+fk等于样本容量n,fi/n称为频率。§3.分布拟合检验标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.皮尔逊引进如下统计量表示经验分布与理论分布之间的差异:统计量的分布是什么?在理论分布已知的条件下,npi是常量实测频数理论频数§3.分布拟合检验皮尔逊证明了如下定理:

若原假设成立，那么当时，统计量渐近服从自由度为（k-1）的分布.

§3.分布拟合检验

如果根据所给的样本值X1,X2,…,Xn算得统计量的实测值落入拒绝域，则拒绝原假设，否则就认为差异不显著而接受原假设.§3.分布拟合检验

皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来的，因而在使用时要注意n要足够大，以及npi

不太小这两个条件.

根据计算实践，要求n不小于50，以及npi

都不小于5.否则应适当合并类，使npi满足这个要求.对规定的显著性水平，则拒绝。否则不能拒绝，即接受§3.分布拟合检验验卡方统计量与与2分布类别….理论值….观察值….1900由皮尔逊（K.Pearson）提出卡方统计量量定理如果原假设成立，则在样样本容量→∞时，的分布趋向的分布，即。于自由度为，并进行显著著性检验奥地利生物学学家孟德尔进进行了长达八八年之久的豌豌豆杂交试验验,并根据试验结结果,运用他的数理理知识,发现了遗传的的基本规律.例1，我们以遗传传学上的一项项伟大发现为为例，说明统统计方法在研研究自然界和和人类社会的的规律性时，，是起着积极极的、主动的的作用.孟德尔§3.分布拟拟合检检验子二代子一代…黄色纯系…绿色纯系他的一一组观观察结结果为为：黄70，绿27近似为为2.59:1，与理理论值值相近近.根据他他的理理论，，子二二代中中,黄、绿绿之比比近近似为为3:1，例1奥地利利生物物学家家孟德德尔进进行了了长达达八年年之久久的豌豌豆杂杂交试试验,并根据据试验验结果果,运用他他的数数理知知识,发现了了遗传传的基基本规规律。。§3.分布拟拟合检检验这里，，n=70+27=97,k=2,检验孟孟德尔尔的3:1理论:提出假假设H0:p1=3/4,p2=1/4理论频频数为为：np1=72.75,np2=24.25实测频频数为为70，27.统计量量近似服服从自由度度为k-1=1由于统计量的实测值=0.4158<3.841，故认为为试验验结果果符合合孟德尔尔的3:1理论.§3.分布拟拟合检检验这些试试验及及其它它一些些试验验，都都显示示孟孟德尔尔的3:1理论与与实际际是符符合的的.这本身身就是是统计方方法在在科学学中的的一项项重要应应用.用于客客观地地评价价理论论上的的某个个结论论是否否与观观察结结果相相符，，以作作为该该理论论是否否站得得住脚脚的印印证.§3.分布拟拟合检检验例2为了检检测圆圆粒豌豌豆与与皱粒粒豌豆豆第二二代的的分离离比例例是否否符合合孟德德尔的的3：1分离率率，作作试验验观察察是336粒圆粒粒豌豆豆，101粒皱粒粒豌豆豆下表表：类型圆粒豌豆皱粒豌豆观测值频数336101理论值频数437(3/4)=327.75437(1/4)=109.25一致性性检验验(1)、一致性性检验验---分布拟拟合检检验1不全相相等⑵．对规定的显著性水平，若(r=2,c=k)则拒绝。否则不能拒绝，即接受把样本本统计计量转转换成卡方方值，，结合合卡方方分布布所进进行的的统计计检验验原理是是以細細格次次数來來进行行交叉叉比较较，俗俗称交交叉分分析２．检检验的的步骤骤⑴．提提出原原假设设和备备择假假设１．检检验多多个变变量之之间是是否存存在显显著差差异卡方统统计量量与一一致性性检验验类别….理论值….观察值….1900由皮尔尔逊（（K.Pearson）提出出卡方统统计计量定理如果原原假设设成立，，则在在样本本容量量→∞时，的分布布趋向向的分布，，即。于自由由度为为，并进进行显显著性性检验验例3为了检检测卡卡尔。。马克克思的的写作作中使使用字字母（（a、e、i、o、s）是否否等概概率从从他的的作品品随机机抽取取500个字母母下表表：字母aeios观测值频数9011510584105理论值频数100100100100100一致性性检验验Dataa;inputA$n@@;cards;a90e115i105o84s105;procfreqdata=a;tablesA/chisq;weightn;run;一致性性检验验TheSASSystem14:43Friday,November12,20071TheFREQProcedureCumulativeCumulativeAFrequencyPercentFrequencyPercent------------------------------------------------------Chi-SquareTestforEqualProportions---------------------Chi-Square6.3206DF4Pr>ChiSq0.1764SampleSize=499一致性性检验验(7-4)也就是是说K2是度量量实际际观察察次数数与理理论次次数偏偏离程程度的的一个个统计计量，K2越小，，表明明实际际观察察次数数与理理论次次数越越接近近；K2=0，表示示两者者完全全吻合合；K2越大，，表示示两者者相差差越大大。对于表表7-4的资料料，可可计算算得表明实实际观观察次次数与与理论论次数数还是是比较较接近近的。。一致致性性检检验验对规定的显著性水平，则拒绝。否则不能拒绝，即接受一般般分分布布的的拟拟合合检检验验对一一般般总总体体的的分分布布的的假假设设检检验验一般般分分布布的的拟拟合合检检验验

若原假设中的理论分布F(x)已经完全给定，那么当时，统计量渐近服从(k-1)个自由度的分布.如果果理理论论分分布布F(x)中有有r个未未知知参参数数，，需需用用相相应应的的估估计计量量来来代代替替，，那那么么取取统统计计量量为为渐近服从(k-r-1)个自由度的分布.一般分布布的拟合合检验在F(x)尚未完全全给定的的情况下下，每个个未知参参数用相相应的估估计量代代替，就就相当于于增加一一个制约约条件，，因此，自自由度也也随之减减少一个个.若有r个未知参参数需用用相应的的估计量量来代替替，自由度就就减少r个.此时统计量渐近(k-r-1)个自由度的分布.一般分布布的拟合合检验

如果根据所给的样本值X1,X2,…,Xn算得统计量的实测值落入拒绝域，则拒绝原假设，否则就认为差异不显著而接受原假设.据Pearson定理，分分布拟合合检验的的拒绝域域为:(不需估计计参数)(估计r个参数)注意：皮尔逊定定理是在在n无限增大大时推导导出来的的，因而而在使用用时要注注意n要足够大大，以及npi()不太小这两个条条件.按参数为0.69的泊松分分布，计计算事件件X=i的概率pi，将有关计计算结果果列表如如下:pi的估计是，i=0,1,2,3根据观察结果，得参数的极大似然估计为例4从1500到1931年的432年间，每年年爆发战争争的次数可可以看作一一个随机变变量，椐统统计，这432年间共爆发发了299次战争，具具体数据如如下:战争次数X01234发生X次战争的年数22314248154提出假设H0:X服从参数为为的的泊松分布布因H0所假设的理理论分布中中有一个未未知参数，，故自由度度为4-1-1=2.x01234fi22314248154n216.7149.551.612.02.160.1830.376战争次数实测频数14.162.43将n<5的组予以合并，即将发生3次及4次战争的组归并为一组.14.16一般分布的的拟合检验验故认为每年年发生战争争的次数X服从参数为为0.69的泊松分布布.按=0.05，自由度为4-1-1=2查分布表得=5.991=2.43<5.991，由于统计量的实测值未落入拒绝绝域.一般分布的的拟合检验验

设总体X

的分布未知，从总体中抽取一个容量为n

的样本检验总体分布是否等于某确定的分布时，分下面四个步骤进行。

：总体X

的分布函数为的一种方法法。二关关于总体分分布为已知知分布函数数的检验（1）检验假设设要求当为真时，的形式及参数都是已知知的。但实实际上参数数值往往是是未知的。这时，，需要先用用参数估计计法（如矩矩估计法，极大似似然估计法法）来求出出参数的估估计。

（2）由样本构造相应的统计量。在实数轴上选取k-1个分点将数轴分成k各互不相交的区间

其中当为真时，记为总体X

落在内的概率，即…………记为n

各样本值中落入的个数，即组频数（一般要求，否则可合并相邻区间）。显然有。由频率的稳定性可知，在为真的条件下，的值很小。（1）称为统计量。可以证明，当n

充分大时，不论总体属于什么分布，都有（2）作统计量其中r为被估计参参数的个数数。（3）对于给定的显著性水平，由分布表可查的临界值，使这里拒绝域取为分布的右侧，是因为成立时，有变大的趋势。因此，检验验的拒绝域域为（4）由样本观察值计算出的值。

若成立，则拒绝原假设，即不能认为总体分布函数是

若成立，则接受原假设，即可以认为总体分布函数是例1在20天内，从维维尼纶正常常生产时的生产报报表上看到到维尼纶纤纤度（表示示纤维粗细的一一个量）的的情况，有有如下100个数据：1.36,1.49,1.43,1.41,1.37,1.40,1.32,1.42,1.47,1.39,1.41,1.36,1.40,1.34,1.42,1.42,1.45,1.35,1.42,1.39,1.44,1.42,1.39,1.42,1.42,1.30,1.42,1.34,1.37,1.36,1.37,1.34,1.37,1.37,1.44,1.45,1.32,1.48,1.40,1.45,1.39,1.46,1.39,1.53,1.36,1.48,1.40,1.39,1.38,1.40,1.36,1.45,1.50,1.43,1.38,1.43,1.41,1.48,1.39,1.45,1.38,1.37,1.39,1.45,1.31,1.41,1.44,1.44,1.42,1.47,1.35,1.36,1.39,1.40,1.38,1.35,1.42,1.43,1.42,1.42,1.42,1.40,1.41,1.37,1.46,1.36,1.37,1.27,1.37,1.38,1.42,1.34,1.43,1.42,1.47,1.41,1.44,1.48,1.55,1.37解本本题是根据据纤度的容容量为100的样本值，，推断总体体X（纤度）是是否服从正正态分布。。其中两个个参数和和未未知。用用矩法求出出其估计值值试判断纤度度是否服从从正态分布布？？（1）提出原假设（2）在为真的条件下，统计量由于总体中中有两个参参数用估计计值代替，，因此

为计算出统计量的值，首先在数轴上选取分点，划分区间，然后统计出组频数本例有100个数据，可可划分为10组（通常样样本容量在50~100时，可分为为6~10组），由于于100个数据中最大与最小者分别为1.55和1.27，这时组距按，可取为0.03。取始点a=1.265（比数据中最小值略小一点，即比最小值精度多一位，具末位数取5），但不作为第一分点（因为在a

以下，没有试验数据），这样便得到如下9个分点1.295,1.325,1.355,1.385,1.4151.445,1.475,1.505,1.535.将数轴分为为10个区间然后统计出频数.

其次，计算，为此需将区间作中心化变换再计算，最后计算出值，统一列出计算表（见表7—2）。表7—22.52350.41850.64570.09540.54540.80150.01706.051611.97162.340911.764910.62730.1296-2.643.46-1.533.43-3.260.361.073.589.8118.5424.5321.5713.265.621.650.3714722232510611∞~-2.30-2.30~-1.68-1.68~-1.06-1.06~-0.44-0.44~-0.190.19~0.810.81~1.431.43~2.052.05~2.682.68~+∞-∞~1.2951.295~1.3251.325~1.3551.355~1.3851.385~1.4151.415~1.4451.445~1.4751.475~1.5051.505~1.5351.535~+∞组频数U的组限

组限

（3）根据计算实践，要求。否则适当地合并区间，使满足这个要求。本例中前三组合并，后三组合并，k

由原来的10变为6。对于给定的显著性水平，查分布表确定临界值，使

（4）由样本值，通过计算表（表7—2），得到因此，接受原假设，即可以认为维尼纶纤度服从正态分布。亦即可以认为例3下面列出了了84个伊特拉斯斯坎(Etruscan)人男子的头头颅的最大大宽度(mm)，试检验这这些数据是是否来自正正态总体（（取α=0.1）141148132138154142150146155158150140147148144150149145149158143141144144126140144142141140145135147146141136140146142137148154137139143140131143141149148135148152143144141143147146150132142142143153149146149138142149142137134144146147140142140137152145解为粗粗略了解数数据的分布布情况，先先画出直方方图。步骤如下：：1.找出数据的的最小值、、最大值为为126、158，取区间[124.5,159.5],它能覆盖[126,158]；2.将区间[124.5,159.5]等分为7个小区间,小区间的长长度Δ=(159.5-124.5)/7=5,ΔΔ称为组组距，小区区间的端点点称为组限限，建立下下表：组限频数fi频率fi/n累计频率124.5-129.5129.5-134.5134.5-139.5139.5-144.5144.5-149.5149.5-154.5154.5-159.514103324930.01190.04760.11910.39290.28570.10710.03570.01190.05950.17860.57150.85720.952413.自左向右在在各小区间间上作以fi/(nΔ)为高的的小矩形如下图，即即为直方图图。注：直方图的小小区间可以以不等长，，但小区间间的长度不不能太大，，否则平均均化作用突突出，淹没没了密度的的细节部分分；也不能能太小，否否则受随机机化影响太太大，产生生极不规则则的形状。。从本例的直直方图看，，有一个峰峰，中间高高，两头低低，较对称称，样本象象来自正态态总体。于于是检验x≤129.5129.5<x≤134.5134.5<x≤139.5139.5<x≤144.5144.5<x≤149.5149.5<x≤154.5154.5<x<00870.05190.17520.31200.28110.13360.03750.734.3614.7226.2123.6111.223.156.7941.5524.4010.02Σ=87.67故在水平0.1下接受H0,认为数据来来自正态总总体。的连续性矫矫正由(7-1)式计算的K2只是近似地地服从连续续型随机变变量2分布。在对对次数资料料进行2检验利用连连续型随机机变量2分布计算概概率时，常常常偏低，，特别是当当自由度为为1时偏差较大大。Yates(1934)提出了一个个矫正公式式，矫正后后的K2值记为：：(7-5)当自由度大大于1时，(7-4)式的2分布与连续续型随机变变量2分布相近似似，这时时，可不作作连续性矫矫正，但但要求求各组内内的理论次次数不小于于5。若某组的的理论次数数小于5，则应把它它与其相邻邻的一组或或几组合并并，直到理理论次数大大于5为止。从上例可以以看出，若若所检验的的总体分布是连续型型的计算量量比较大，，也比较麻麻烦。若所检验的的总体为离离散型的，，则问题往往往比较简单一一些。例7某电话交换换台在一小小时内接到到电话用户呼唤唤次数按每每分钟统计计得到记录录如下表81617106210

频数0123456≥7

呼唤次数

i

（1）原假设总体分布中只有一个未知参数，并且是总体X

的数学期望。用矩估计法，可得

的估计值。

解本题所要检验的总体分布是离散型的。可以把X

的一个取值i

看作一个分组，相应的看作是第i组的组频数。所以，即分布列为（2）作统计量在成立的条件下，有列出计算表（（见表7—3）。0.12520.00170.00360.03540.06270.02180.01390.05860.5750.6790.187-0.118-0.2420.758-0.8240.4328.11816.24216.24210.8245.4122.1660.720.27816171062100123456≥7i表7—3因此，在下接受原假设，即认为呼唤次数X

服从的泊松分布。

（3）如表将后四组合为一组，此时组数为对给定的显著性水平，查分布表的临界值（4）由样本值，，通过计算表表7—3得到使三列联表表列联表的中间间各个变量不不同水平的交交汇处，就是是这种水平组组合出现的频频数或计数（count）。二维的列联表表又称为交叉表（crosstable）。右边的列联表表是2×2列联表。维数数多的叫做高维列联表。。对定类或定序序数据的描述述和分析通常常使用列联表表.

吸？病？吸烟不吸烟患慢性气管炎(1)4313不患慢性气管炎(0)162121注意前面这个个列联表的变变量都是定性性变量;但列联表也会会带有定量变量作为为协变量。一、列联表的的构造１．由两个或或两个以上变变量进行交叉叉分类的频数数分布表２．行变量的的类别数用r表示,列变量的类别别数用c表示３．由行变量量和列变量的的所有可能的的组合构成的的表格，称为列列联表４．一个r行c列的列联表称称为r×c列联表三列联表表列行12合计1vf11f122f21f22合计n2×2列联表表示i行j列的观察频数数，行合计列合计而样本容量三列联表表列行12…c合计1f11f12…f1c2f21f22…f2c………………rfr1fr2…frc合计nr×c列联表三列联表表r×c列联表的独立立性检验的方法r×c表是指行因子子的属性类别别数为r（r>2），列因子的属性性类别数为c(c>2)的列联表。其其独立性检验验为:第三节独独立性检验其中Aij（i=1,2,……r;j=1,2,……c）为实际观察察次数,Tij为理论期望次次数。下一张主页退出上一张其公式可简化化为：第三节独独立性检验表9－9因素因素X合计Yx1x2y1aba+by2cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d2×2列联表第三节独独立性检验１．期望频数数为３．相关系数为２．统计量为－因素因素X合计Yx1x2y1aba+by2cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d2×2列联表第三节独独立性检验第三节独独立性检验

吸？病？吸烟不吸烟合计患慢性气管炎(1)431356不患慢性气管炎(0)162121283合计205134339部门态度一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32453331141合计10012090110420表9－1关于改革方案案的调查结果果单位位：人例一个集团公司司在四个不同同的区域设有有分公司，现现该集团公司欲进进行一项改革革，此项改革革可能涉及到到各分公司的的利益，故采用用抽样调查方方法，从四个个分公司共抽抽取420名职工，了解职工工对此项改革革的看法，调调查结果见表表9－1。第三节独独立性检验二、列联表的的分布㈠、观察值的的分布１．各行合计计的的分分布称行边缘分布，，称行边缘缘频数，称称行百分分数２．各列合计计的的分分布称列边缘分布，，称列边缘缘频数，称称列百分分数３．称称为总百分数数第三节独独立性检验一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279行百分数%24.426.920.428.366.4列百分数%68.062.563.371.8－总百分数%16.217.813.618.8－反对该方案32453331141行百分数%22.731.923.422.033.6列百分数%32.037.536.728.2－总百分数%7.610.77.97.4－合计10012090110420%23.828.621.426.2100.0包含百分比的的2×4列联表表9－2第三节节独独立立性检检验㈡、期望望值的的分布布１．假假定行行变量量和列列变量量相互互独立立２．实实际频频数的的期期望频频数为为第三节节独独立立性检检验计算例例根据表9－1，第一行第一列的实际频数，相应的期望频数则为类似可可求得得各个个实际际频数数的期期望频频数列列于表表9－4第三节节独独立立性检检验部门态度一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案实际频数68755779279期望频数(66)(80)(60)(73)反对该方案实际频数32453331141期望频数(34)(40)(30)(37)合计10012090110420实际频频数和和期望望频数数分布布表单单位：：人表9－4第三节节独独立立性检检验第二节节χ2分布与与χ2检验一、统统计计量１．用用于检检验列列联表表中变变量之之间是是否独独立的的检验验，尤其适适合于于两个个定类类变量量之间间是否否独立立的检检验２，统统计计量为为(9.1)３．值值愈愈大则则表明明实际际频数数与期期望频频数的的差异异愈大第三节节独独立立性检检验步骤一步骤二步骤三步骤四6866

240.06067580－5250.31255760－390.15007973

6360.49323234－240.11764540

5250.62503330

390.30003137－6360.97303.0319表9－5计算表

第三节节独独立立性检检验二、χ2分布分布为正偏，随着自由度的增加，趋于对称。当自由度很大时，分布可用正态分布来近似。第三节节独独立立性检检验三、自自由度度的确确定统计量的自由度为

f=(

行数－1)(列数－1)＝(r－1)(c－1)

(9.2)当n

较大时，统计量近似分布。第三节节独独立立性检检验四、χ2检验㈠㈠、、一致致性检检验１．检检验多多个变变量之之间是是否存存在显显著差差异２．检检验的的步骤骤⑴．例例如提提出原原假设设和备备择假假设不全相相等⑵．对规定的显著性水平，若则拒绝。否则不能拒绝，即接受第三节节独独立立性检检验例9.1某集团团公司司欲进进行一一项改改革，，分别别从所所属的四四个分分公司司中共共随机机抽取取了420名职工工，了了解他他们对改改革方方案的的态度度（见见表9－1），并并对职职工态态度是是否与所所在单单位有有关这这个问问题在在α＝0.1的显著著性水水平上进进行行检检验验。。第三三节节独独立立性性检检验验解：：由(9.1)式得得不全全相相等等取时，查表得从而接受，即认为四个分公司对改革方案的赞成比例是一致的。由(9.2)式，，得得自自由由度度由于于㈡、独独立立性性检检验验１．．检检验验列列联联表表中中的的行行变变量量与与列列变变量量之之间间是是否否独独立立２．．检检验验的的步步骤骤⑴．．提提出出原原假假设设和和备备择择假假设设H0：行行变变量量与与列列变变量量独独立立H1：行行变变量量与与列列变变量量不不独独立立⑵．．计计算算检检验验统统计计量量⑶．对规定的显著性水平，若则拒绝。否则不能拒绝，即接受。第三三节节独独立立性性检检验验例9.2一种种原原料料来来自自三三个个不不同同的的地地区区，，原原料料质质量量被被分成三个个不同等等级。从从这批原原料中随随机抽取取500件进行检检验，结果果如表9－7所示。要要求检验验各个地地区和原原料之间间是否存在在依赖关关系。地区一级二级三级合计甲地区526424140乙地区605952171丙地区506574189合计162188150500表9－7原料抽样样结果单单位：：件第三节独独立立性检验验列一级二级三级合计甲地区526424140(45.36)(52.64)(42.00)乙地区605952171(55.40)(64.30)(51.30)两地区506574189(61.24)(71.06)(56.70)合计162188150500表9－83×3列联表计计算过程程解：H0：地区和和原料之之间独立立H1：地区和和原料之之间不独独立第三节独独立立性检验验续（例9.2）取时时，查查表得由于所以拒绝，接受。即认为地区和原料之间不独立。第三节独独立立性检验验一、独立立性检验验的意义义对次数资资料，除除进行适适合性检检验外，，有时需需要分析析两类因因子是相相互独立立还是彼彼此相关关。这种种根据次数数资料判判断两类类因子彼彼此相关关或相互互独立的的假设检检验就是是独立性性检验。独立性性检验实实际上是是基于次次数资料料对子因因子间相相关性的的研究。。表9－12价值取向职业XY制造业服务业物质报酬（人）10545％7256人情关系（人）4035％2844合计（人）14580％100100职业背景景与工作作价值观观取向独立性检检验案例例例社会学家家欲研究究家庭状状况对青青少年犯犯罪的影影响，设该地区区有未犯犯罪纪录录的青少少年10000名，有犯犯罪记录录的青少年年150名。如果果从未犯犯罪青少少年中抽抽取1%，即对100名进行研研究，则则用相同同比例从从犯罪青青少年中中抽取的样本容容量仅为为1.5人。为满满足研究究的需要要，对犯犯罪青少年的抽抽样比扩扩大到1/2，即抽取取75人。调查查所获得得的数据如表表9－13。独立性检检验案例例表9－13青少年行为家庭状况合计完整家庭离异家庭犯罪383775未犯罪928100合计13045175家庭状况况与青少少年犯罪罪单单位位:人由表9－13按家庭状状况计算算的条件件百分表表，见表表9－14表9－14青少年行为家庭状况完整家庭离异家庭犯罪(%)2982未犯罪(%)7118合计（人）13045家庭状况况与青少少年犯罪罪由表9－13按青少年年行为计计算的条条件百分分表，见见表9－15。表9－15家庭状况青少年行为犯罪(%)未犯罪(%)完整家庭5192离异家庭498