课件-群编3.2随机向量数字特征

3.2随机向量的数字特征一、二维随机向量函数的数字特征二、数学期望与方差的运算性质三、随机变量的协方差与相关系数四、随机向量的协方差矩阵与相关矩阵一、二维随机向量函数的数字特征设(X1,X2,…,Xn)T

是n

随机向量,且每个分量Xi的数学期望E(Xi)(i=1,2,…,n)存在，则称(E(X1),E(X2),…,E(Xn))T

是随机向量(X1,X2,…,Xn)T

的期望向量或均值向量.定义3.2.1（期望向量）特别地，当n=2

时，随机向量(X,Y)的期望向量为(E(X),E(Y)).设(X,Y)是二维随机向量，如果函数g(X,Y)

的数学期望存在，则

(1)

当(X,Y)是离散型随机向量时，定理3.2.1(随机向量函数的数学期望)其中pij=P(X=xi,Y=Yj)(i,j=1,2,)是(X,Y)的联合分布律.(2)

当(X,Y)是连续型随机向量时，其中f(x,y)是(X,Y)的联合密度函数.(1)

当g(X,Y)=X

时,特例：即分量X

的数学期望就是利用边缘密度fX(x)

算得的数学期望，该结论对Y

同样成立.(2)

当g(X,Y)=[X-E(X)]2

时，即分量X

的方差就是利用边缘密度fX(x)

算得的方差，该结论对Y

同样成立.

以上结论对离散型随机向量同样成立.解：对于g(X,Y)=X,有例1.设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为对于g(X,Y)=Y,有对于g(X,Y)=XY,有试求E(X),E(Y)和E(XY).二、数学期望与方差的运算性质证：不妨假定(X,Y)是连续型随机向量,令g(X,Y)=X+Y.则性质(1)

设(X,Y)为二维随机向量，且E(X)和E(Y)

都存在，则有①该性质可表述为“和的数学期望等于数学期望的和”.②离散型随机向量也有类似的性质.③推广：设X1,X2,…,Xn

的数学期望都存在，a1,a2,…,an

是常数，则有

E(a1X1+a2X2+…+an

Xn)=a1E(X1)+a2E(X2)+…+anE(Xn)注：证：不妨假定(X,Y)是连续型随机向量.由X和Y的独立性可知f(x,y)=fX(x)fY(y).令g(X,Y)=XY,则性质(2)

设X

与Y

相互独立，且E(X)

和E(Y)

都存在，则有

E(XY)=E(X)E(Y)①该性质在离散情形也成立.②该性质可表述为“独立随机变量乘积的期望等于数学期望的乘积”,其中“独立性”条件不可忽略.③该性质的逆命题不成立.④推广：设相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn

的数学期望都存在，则有

E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…

E(Xn)注：证：对任意实数t,令

g(t)=E[(X+tY)2]例2.

对于两个随机变量X

和Y，设E(X2)

和E(Y2)都存在，证明

[E(XY)]2≤E(X2)E(Y2).据数学期望的性质，有

E[(X+tY)2]=E(X2+2tXY+t2Y2) =E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2),因此g(t)=E(Y2)t2+2E(XY)t+E(X2).由于g(t)≥0，可知关于t的二次多项式g(t)的判别式小于或等于0，即

Δ=4[E(XY)]2-4E(X2)E(Y2)≤0.从而

[E(XY)]2≤E(X2)E(Y2).该不等式称为柯西-施瓦茨不等式.解:设例3.一民航机场的送客大巴载有20位乘客,自机场开始，沿途有10个车站.如果到达一个车站没有乘客下车,就不停车.以X表示停车次数,求E(X).(假设每个乘客在各车站下车是等可能的,且各旅客是否下车相互独立.)则X=X1+X2+…+X10.因此,为求E(X),只需求E(Xi)

(i=1,2,…,10)即可.

由于任一乘客在第i个车站不下车的概率为0.9,有乘客是否下车彼此独立,因此,20位乘客在第i个车站不下车的概率为(0.9)20,在第i个车站有人下车的概率为1-(0.9)20,即Xi

(i=1,2,…,10)的概率分布律为从而

E(Xi)=1-(0.9)20

i=1,2,…,10故

E(X)＝

E(X1)+E(X2)+…+E(X10)

＝10[1-(0.9)20]

≈8.784(次)即送客汽车平均停车8.784

次.Xi01p(0.9)201-(0.9)20试求随机变量Z=XY

的数学期望.例4.

设X

和Y

是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为解：由数学期望的性质(2)，可知证:由方差的定义可知D(X±Y)=E[(X±Y)-E(X±Y)]2 =E[(X-E(X))±(Y-E(Y))]2 =E[X-E(X)]2+E[Y-E(Y)]2±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]性质(3)

设X

与Y

是相互独立的随机变量，且方差都存在，则

D(X±Y)=D(X)+D(Y)因为X

与Y

相互独立，故X-E(X)

与Y-E(Y)

相互独立，由性质(2)可知

E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[X-E(X)]E[Y-E(Y)]=0故性质(3)得证.①性质(3)的成立需要“独立性”条件.②性质(3)可表述为“独立随机变量和或差的方差等于方差之和”.③推广：设相互独立随机变量X1,X2,…,Xn

的方差都存在，a1,a2,…,an

是常数，则有

注：三、随机变量的协方差与相关系数设随机变量X

与Y

的方差都存在，称X

的离差X-E(X)

与Y

的离差Y-E(Y)

乘积的数学期望为X与Y

的协方差,记为

cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

特别地，cov(X,X)=D(X).定义3.2.2(协方差)因为E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[XY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(Y)E(X)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(Y)E(X)所以,cov(X,Y)=E(XY)-E(Y)E(X).①如果cov(X,Y)>0,则称X与Y正相关，此时X与Y大体上保持“同步”：当X>E(X)时，大体上也有Y>E(Y);当X<E(X)时，大体上也有Y<E(Y).这种“同步”关系的强弱由后面的相关系数衡量.

②如果cov(X,Y)<0,则称X与Y负相关，此时X与Y大体上反向变化：当X>E(X)时，大体上有Y<E(Y);当X<E(X)时，大体上有Y>E(Y).这种“反向”关系的强弱也由相关系数衡量.

③如果cov(X,Y)=0,则称X与Y不相关.注：设随机变量X

与Y

的协方差为cov(X,Y)，则①对称性：cov(X,Y)=cov(Y,X).②对任意实数a

与b，有

cov(aX,bY)=ab·cov(X,Y)③若X与Y相互独立，则cov(X,Y)=0.特别地，对任意常数c,cov(X,c)=0.④设Z

是随机变量，且cov(X,Z)

和cov(Y,Z)都存在，则

cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z).协方差的运算性质设随机变量X与Y的方差都存在，则

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)定理3.2.2证:有方差的定义可知D(X±Y)=E[(X±Y)-E(X±Y)]2 =E[(X-E(X))±(Y-E(Y))]2 =E[X-E(X)]2+E[Y-E(Y)]2±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)解：据题意，可知E(X)=1×0.25+2×(0.5+0.25)=1.75,E(Y)=-1×(0.25+0.5)+1×0.25=-0.5,E(XY)=-1×0.25+1×0+(-2)×0.5+2×0.25=-0.75,所以

cov(XY)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.125.例5.

设二维随机向量(X,Y)的联合分布律为求cov(X,Y).YX-1110.25020.50.25求cov(X,Y).例6.

设二维连续型随机向量(X,Y)的联合密度函数为解：据题意可知，由对称性可知又因为从而解：因为E(X)=0，E(Y)=D(X)=1，所以例7.

设X～N(0,1),Y=X2,

求cov(X,Y).设(X,Y)是二维随机向量，且D(X)>0,D(Y)>0,则称定义3.2.3(相关系数)为X

和Y

的线性相关系数，简称相关系数.设X

和Y

为任意随机变量，且它们的相关系数ρXY

存在，则|ρXY|≤1.定理3.2.3

证:由相关系数的定义可知,只需证明cov2(X,Y)≤D(X)D(Y).事实上由柯西-施瓦茨不等式，可得

cov2(X,Y)＝{E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}}2

≤E[X-E(X)]2E[Y-E(Y)]2

＝

D(X)D(Y)

设随机变量X

的方差D(X)

存在切不等于0，Y=aX+b.则a>0

时ρXY=1;a<0

时ρXY=-1.定理3.2.4证：据协方差的定义，有

cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[(X-E(X))(aX+b-aE(X)-b)] =aE[X-E(X)]2所以

a>0

时ρXY=1，a<0

时ρXY=-1.又D(Y)=a2D(X)，故①随机变量X

与Y

存在线性关系|ρXY|=1.②相关系数绝对值的大小反应了随机变量

X与Y

之间线性关系的强弱程度,相关系数可以作为两个随机变量之间线性相依程度的度量.③如果ρXY=0，则称X与Y

不相关.如果ρXY≠0，则称X与Y

相关.④如果ρXY>0，则称X与Y

正相关.如果ρXY=1，则称X与Y

完全正相关.⑤如果ρXY<0，则称X与Y

负相关.如果ρXY=-1，则称X与Y

完全负相关.注：对于随机变量X

与Y，下列事实等价:（1）cov(X,Y)=0;（2）X

与

Y

不相关;（3）E(XY)=E(X)E(Y);（4）D(X+Y)=D(X)+D(Y).定理3.2.5如果随机变量X

与Y相互独立，则ρXY=0.反之则不成立.定理3.2.6证：

X

与

Y相互独立时，cov(X,Y)=0,从而ρXY=0.但ρXY=0

时，

X

与Y

不一定相互独立.譬如X～N(0,1),Y=X2.因cov(X,Y)=E(X3)=0，所以ρXY=0.但另一方面，对任意实数a>0,

P(X≤a,Y≤a2)=P(X≤a,X2≤a2) =P(X≤a,-a≤X≤a) =P(-a≤X≤a)

≠P(X≤a)P(-a≤X≤a) =P(X≤a)P(Y≤a2)

所以X

与

Y并不相互独立.①该定理表明两个随机变量之间的“独立”和“不相关”是两个不同的概念.②“不相关”仅说明两个随机变量之间不存在线性关系.③“独立”说明两个随机变量之间既不存在线性关系，也不存在非线性关系.④“独立”必然导致“不相关”，反之则不然.注：证：(X,Y)的联合概率密度函数为

例8.设X

的边缘密度函数为Y

的边缘密度函数为试证X

与

Y

相互独立的充要条件是X

与

Y

不相关.因此而令由于则有因此可得由上节可知，若相互独立的充要条件是ρ=0.由于ρXY=ρ，所以X

与

Y

相互独立的充要条件是X

与Y

不相关.所以则X

与Y注：①该例表明，对二元正态分布随机向量，分量的“独立”关系和“不相关”关系等价.

②判断二元正态向量两个分量独立性的问题简化为判断ρ是否等于0的问题.解：据题可知，E(X)=0×(0.07+0.18+0.15)+1×(0.08+0.32+0.2)=0.6,E(Y)=-1×(0.07+0.08)+0×(0.18+0.32)+1×(0.15+0.2)=0.2,E(XY)=-1×0×0.07+0×0×0.18+0×1×0.15+(-1)×1×0.08 +0×1×0.32+1×1×0.2=0.12,cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.所以ρXY=0.例9.

设随机变量X

与Y

的联合分布律为求ρXY.YX-10100.070.180.1510.080.320.2例10.

设随机变量X

与Y的相关系数为0.9，令Z=X-0.4，求Y

与Z

的相关系数.解：解：据题可知例11.设随机变量X

与Y

满足D(X)=1,D(Y)=4,cov(X,Y)=1.