基本方程组的数值求解

基本方程组的数值求解第一页，共二十六页，2022年，8月28日一、引言

控制层流和湍流燃烧的微分方程组的几个特点：方程很复杂，无法得到分析解，需要数值求解。各个方程的结构相似，都包含时间导数项、对流项、扩散项和源项几部分。因此，各个方程可以用相同的方法求解。其中动量方程可写成

(1)方程是非线性的，比如对流项有三个应变量，是三次项。非线性方程需要用迭代方法求解。各方程之间是互相耦合的。求解时，需对所有方程进行联立求解。

第二页，共二十六页，2022年，8月28日二、积分区域与微分方程的离散化

1．积分区域的离散化积分区域的离散化，把参数连续变化的流场用有限个点来代替交线的交点称为网格的结点两相邻结点之间的距离称为网格步长时间坐标上定出有限个离散点，相邻两离散点间的距离为时间步长图1网格结点的符号X3X2X1P第三页，共二十六页，2022年，8月28日2．微分方程的离散化利用连续方程，一维非定常流动的方程写为

（2）在控制容积上积分，并利用奥-高定律，得

上标n表示当前时间层的值；上标（n-1）表示前一时间层的值对流项和扩散项的参数暂时未注明取哪一个时间层的值式中扩散通量一般用中心差分：

, （4）但在对流项中，e点和w点的值可以用不同的插值方法得出。第四页，共二十六页，2022年，8月28日

图2控制容积控制容积在x方向为等距网格，长度为，其它两个方向上取单位长度控制容积在与x方向垂直的面元面积=1控制体的体积第五页，共二十六页，2022年，8月28日三、交错网格在用控制容积法建立差分方程时，需用插值办法计算差分方程的系数Harlow等人提出用交错网格，以减少因插值而引进的误差在这种网格中，速度定义在两结点之间的中点上，其余参数仍定义在网格线的交点上实线的交点定义了除速度分量以外的所有参数，称为主结点实线与虚线的交点定义了不同的速度分量，称为速度的结点计算标量的对流通量时，速度就定义在控制体的面之上，毋须插值第六页，共二十六页，2022年，8月28日

图3交错网格在建立动量方程（比如说u）的差分方程时，交错网格的优点更为突出在非交错网格中，P点压力梯度的差商近似为在交错网格中，w点压力梯度的差商近似为用交错网格的精度比非交错网格要高得多第七页，共二十六页，2022年，8月28日四、差分格式1．差分方程的要求在计算数学中，为评价差分格式，提出了相容性、稳定性、耗散性、色散性等原则，并发展了一系列的分析方法为了容易理解，这里从物理的真实性、收敛性及解的精度几方面进行讨论

差分方程可以写为

(5)

式中，取和号下的指数nb表示P点周围的结点。对一维问题，是两项相加，二维问题是四项相加，余此类推。第八页，共二十六页，2022年，8月28日1）物理上的真实性

①差分方程的系数要同号：在差分方程（5）中，Bnb和BP要同号②在控制面上，通量要保持一致：在计算两个控制体的通量时，要保证在同一面元上有相同的表示式，不然的话，在这个面元上就得引进一个小的源或汇，以便保证参数总的守恒。第九页，共二十六页，2022年，8月28日2）迭代求解的收敛性对于非线性方程组的求解，目前还没有成熟的理论，可借用线性代数方程组的原则对差分方程进行一些限制。斯卡巴勒（Scarborough）指出：①所有结点的差分方程，其系数之和需满足

（6）②至少有一个结点，系数之和满足

（7）对于非线性代数方程，上述条件是充分的，但不一定是必要的第十页，共二十六页，2022年，8月28日3）解的精确性

要使最后求得的结点与实验符合，除了合理安排差分网格外，恰当地选择差分格式也是重要的因素之一。第十一页，共二十六页，2022年，8月28日2．对流项和扩散项的差分很多差分格式的系数都与参数、的比值—佩克莱特（Peclet）数有关 数表示了对流与扩散作用的相对大小当数的绝对值很大时，导热或扩散的作用就可以忽略。这时，对流的作用就把流动上游的信息一直带到下游，而通过扩散向上游传递的下游的信息则几乎等于零如果输运系数为粘性系数，则数即为以网格步长为特征长度的雷诺数参数D恒为正值，参数C的正负号与速度相同。第十二页，共二十六页，2022年，8月28日定常一维的流动和扩散过程，其控制方程为

（8）在图2所示的控制容积上积分得

（9）另一方面，方程（8）有精确解，通解为

（10）代入W-P段两端的边界条件：当时，；当时，可得该段的解为其中为w截面的佩克莱特数。

第十三页，共二十六页，2022年，8月28日将上式代入式（9）的后一项，可得

（11）其中为w截面的参数，。通解中代入P-E段两端的边界条件，同样可得

（12）这里，。第十四页，共二十六页，2022年，8月28日将式（11）和式（12）代入式（9），并利用连续条件可得其中

， ， （13）第十五页，共二十六页，2022年，8月28日几种对流项差分格式1）中心差分格式参见图2，令，，连同式（4）一起代入方程（3），可得

（14）第十六页，共二十六页，2022年，8月28日隐式中心差分格式利用连续方程进一步得

（15）第十七页，共二十六页，2022年，8月28日（15）式中各系数分别为

（16）第十八页，共二十六页，2022年，8月28日显式中心差分格式

（17）

在该差分方程中，系数本应取n时间层的值，但在求解以前，是未知的，所以近似取n-1时间层的值。其它系数同式（16）。第十九页，共二十六页，2022年，8月28日2）迎风差分格式参见图2，令 代入方程（3），同样可得式（15）或式（17），只是系数要改为

（19）这就是迎风差分格式的系数。第二十页，共二十六页，2022年，8月28日将精确解给出的系数，以及中心差分和迎风差分的系数[分别为式（16）和式（19）]同时画出在图4中从图中可看出，当时，中心差分格式比迎风差分格式更接近于精确值。但当数增大或减小时，中心差分很快就远离精确值迎风差分格式在数较小时，精度不如中心差分格式高，但它对精确值的偏离不随数或流动雷诺数改变，适合解高雷诺数的流动。第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日

图4差分方程系数的比较根据图4，可推荐混合差分、指数差分和乘方差分等几种差分格式第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日3）混合差分格式根据数的大小来确定差分方程的系数当时，用中心差分当时，用数趋于无穷时的渐近值，BE=0，BW=Cw；同样，当时，用数趋于负无穷时的渐近值，，BW=0用一个式子表示，即为混合差分格式

(20)

第二十三页，共二十六页，2022年，8月28日4）指数差分格式差分方程系数直接用由定常一维方程精确解推出的公式（13）计算。系数较精确，但是包含了指数函数的运算，需要较多的计算时间。第二十四页，共二十六页，2022年，8月28