天津科科中学2021年高三数学理月考试卷含解析

天津科科中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在用数学归纳法证明的过程中：假设当时，不等式成立，则需证当n=k+1时，也成立.若.，则g(k)=(A)

(B)(C)

(D)参考答案：B2.已知等比数列中，，则前9项之和等于（

）Ks5uA．50

B．70

C．80

D．90参考答案：B3.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为，则三棱锥D-ABC体积的最大值为A． B． C． D．参考答案：B解答：如图，为等边三角形，点为，，，外接球的球心，为的重心，由，得，取的中点，∴，∴，∴球心到面的距离为，∴三棱锥体积最大值.

4.在三棱锥中，底面ABC，，，，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为A.

B. C.

D.参考答案：D5.命题，，则为…………（

）A． B．

C． D．参考答案：C6.设向量，，定义一种向量积：==．已知=，=，点在的图象上运动，点在的图象上运动，且满足=+（其中为坐标原点），则的最大值是

．参考答案：7.设f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称，且当0＜x≤1时，f（x）=log3x．记f（x）在[﹣10，10]上零点的个数为m，方程f（x）=﹣1在[﹣10，10]上的实数根和为n，则有（）A．m=20，n=10 B．m=10，n=20 C．m=21，n=10 D．m=11，n=21参考答案：C【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】利用函数的对称性，函数的奇偶性求解函数的周期，画出函数的图象，然后求解函数的零点个数．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（2﹣x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，又定义在R上的奇函数，故f（0）=0，当0＜x≤1时，f（x）=log3x．可得x=1，f（1）=0，f（x）在[﹣10，10]上图象如图：可得m=21，方程f（x）=﹣1在[﹣10，10]上的实数根分别关于x=﹣7；﹣3，1，5，9对称，实数根的和为n，n=﹣14﹣6+2+10+18=10．故选：C．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的图象与零点的个数问题，考查数形结合思想以及转化思想的应用．8.若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为（A）3+5i

（B）3-5i

（C）-3+5i

（D）-3-5i

参考答案：A9.已知，则下列结论错误的是 A. B. C. D.参考答案：C10.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C【知识点】利用导数研究函数的单调性因为。

故答案为：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，且不共线，则向量与的夹角的取值范围为

▲

．参考答案：略12.（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．参考答案：（0，1）【考点】：函数的零点．【专题】：数形结合法．【分析】：先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解．解：函数f（x）==，得到图象为：又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，知f（x）=m有三个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用，13.已知点为双曲线的右焦点，右准线与双曲线的渐近线相交于点A、B,若以AB为直径的圆过点F,则此双曲线的离心率为____.参考答案：

答案:

14.函数（）的最小值为

参考答案：2515.设函数，则不等式的解集为_________．参考答案：考点：分段函数的应用．【思路点睛】由题意在上单调递增，在上是常数，利用，可得或，解不等式组即可求．分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内

，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集．分段函数是热点问题，本题主要考查了利用分段函数的单调性求解不等式，解题的关键是确定函数的单调性，属于基础题．16.设、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积等于

．参考答案：1略17.函数y＝－sinx的单调递减区间是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在△ABC中，∠C为直角，AC=BC=4．沿△ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得∠ADC=90°，得到四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）M是棱CD的中点，过M作平面α与平面ABC平行，设平面α截四棱锥A﹣BCDE所得截面面积为S，试求S的值．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，∠C=90°，得DE⊥AD，同时DE⊥DC，又AD∩DC=D，可得DE⊥平面ACD，又DE∥BC，可证得BC⊥平面ACD；（Ⅱ）由BC⊥平面ACD，又AD?平面ADC，得AD⊥BC，又∠ADC=90°，可得AD⊥DC，又BC∩DC=C，可证得AD⊥平面BCDE，利用等积法即可求出三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）分别取AD，EA，AB的中点N，P，Q，并连接MN，NP，PQ，QM，由平面α∥平面ACD，得平面α与平面ACD的交线平行于AC，由M是中点，可得平面α与平面ACD的交线是△ACD的中位线MN，同理可证，四边形MNPQ是平面α截四棱锥A﹣BCDE的截面，即S=SMNPQ，由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，可得BC⊥AC，又QM∥AC，MN∥BC，可得QM⊥MN，即可得到四边形MNPQ是直角梯形，在Rt△ADC中，AD=CD，求出AC，进一步求出MN，NP，MQ，则S的值可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵DE∥BC，∠C=90°，∴DE⊥AD，同时DE⊥DC，又AD∩DC=D，∴DE⊥平面ACD．又∵DE∥BC，∴BC⊥平面ACD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，又AD?平面ADC，∴AD⊥BC．又∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC．又∵BC∩DC=C，∴AD⊥平面BCDE．∴=；（Ⅲ）解：分别取AD，EA，AB的中点N，P，Q，并连接MN，NP，PQ，QM，∵平面α∥平面ACD，∴平面α与平面ACD的交线平行于AC，∵M是中点，∴平面α与平面ACD的交线是△ACD的中位线MN，同理可证，四边形MNPQ是平面α截四棱锥A﹣BCDE的截面，即S=SMNPQ．由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，又∵QM∥AC，MN∥BC，∴QM⊥MN．∴四边形MNPQ是直角梯形．在Rt△ADC中，AD=CD=2，∴AC=．MN=AC=2，NP=，MQ=．∴S=（1+3）×．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查利用等积法求体积，考查平面α截四棱锥A﹣BCDE所得截面面积的求法，考查空间想象能力及思维能力，是难题．19.寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：若幸福度分数不低于8．5分，则称该人的幸福度为“幸福”．

(I)求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；(II)以这l6人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望．参考答案：解：（I）记至少有2人是“幸福”为事件，由题意知=1--=1--=；

…6分（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.，，，，……………10分所以的分布列为：

……………12分

略20.设函数,．(Ⅰ)若,求的最大值及相应的的取值集合；（Ⅱ）若是的一个零点,且,求的值和的最小正周期.参考答案：(Ⅰ)…2分当时,，而,所以的最大值为,…………4分此时,,即,,相应的的集合为.…………6分（Ⅱ）依题意,即,,…………8分整理,得,…………9分又,所以,,…………10分而,所以,,

…………12分所以,的最小正周期为.……13分略21.已知函数f1（x）=x2，f2（x）=alnx（其中a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）=f1（x）?f2（x）的极值；（Ⅱ）若函数g（x）=f1（x）﹣f2（x）+（a﹣1）x在区间（，e）内有两个零点，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x＞0时，1nx+﹣＞0．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（I）求出导函数，通过对导函数为0的根与区间的关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值；（Ⅱ）写出g（x）表达式，利用导数可判断函数g（x）的单调性，结合图象可得g（x）在区间（，e）内有两个零点时的限制条件，解出不等式组即可；（III）问题等价于x2lnx＞﹣，构造函数h（x）=﹣，利用导数研究其最大值，从而列出不等式f（x）min＞h（x）max，即可证得结论．【解答】解析（Ⅰ）f（x）=f1（x）?f2（x）=x2alnx，∴f′（x）=axlnx+ax=ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0），由f′（x）＞0，得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜．∴函数f（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，∴f（x）的极小值为f（）=﹣，无极大值．（Ⅱ）函数g（x）=，则g′（x）=x﹣+（a﹣1）==，令g′（x）=0，∵a＞0，解得x=1，或x=﹣a（舍去），当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．函数g（x）在区间（，e）内有两个零点，只需，即，∴，解得＜x＜，故实数a的取值范围是（）．（Ⅲ）问题等价于x2lnx＞﹣，由（I）知，f（x）=x2lnx的最小值为﹣，设h（x）=﹣，h′（x）=﹣得，函数h（x）在（0，2）上增，在（2，+∞）减，∴h（x）max=h（2）=﹣，因﹣﹣（﹣）==＞0，∴f（x）min＞h（x）m