四川省成都市火井镇中学2023年高一数学理上学期期末试题含解析

四川省成都市火井镇中学2023年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是

（

）A．

B．C．直线与平面所成的角为定值D．异面直线所成的角为定值参考答案：D2.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被３整除的概率为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C3.函数的图象如图，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A

BC

D

参考答案：A4.若函数的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（

）

A．－32

B.－16

C.16

D.32参考答案：D5.等比数列中，，则(

)A．

B．91

C．

D．

参考答案：B略6.已知α是第二象限角，=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣．故选A【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．7.设则的大小关系是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.若关于x的方程cos2x＋sin2x＝a＋1在上有两个不同的实数解x，则参数a的取值范围是(

)

A．

B．

C．a＜1

D．0＜a＜1参考答案：A9.函数的定义域为（

★

）

A．R

B．[1，10]

C．

D．（1，10）参考答案：D略10.函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3] B．[3，+∞） C．{﹣3} D．（﹣∞，5）参考答案：A【考点】二次函数的性质．【分析】先求函数的对称轴，然后根据二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数建立不等关系，解之即可．【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=1﹣a，又函数在区间（﹣∞，4）上是减函数，可得1﹣a≥4，得a≤﹣3．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，它们的夹角为，那么

参考答案：

12.已知且，则的值是

．参考答案：

13.（5分）由y=|x|和y=3所围成的封闭图形，绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积为

．参考答案：9π考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 作出图形如图所示，可得所求旋转体是底面半径为3，高为3的圆锥，由此利用圆锥的体积公式，结合题中数据加以计算即可得到本题答案．解答： 根据题意，可得由y=|x|和y=3所围成的封闭图形是如图的△AOB，其中OA⊥OB，OA=OB可得所求旋转体是底面半径为3，高为3的圆锥，V圆锥=π?32?3=9π故答案为：9π．点评： 本题通过求一个旋转体的体积，考查了圆锥的体积公式和旋转体的形成过程等知识，属于基础题．14.若函数有两个零点，则实数b的取值范围是_____.参考答案：15.三个数，，，则a、b、c的大小关系是________．

参考答案：c>a>b16.________。参考答案：略13.右图程序框图的运行结果是

参考答案：120

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为[0,10]，分别有五个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵.在晚高峰时段（），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.参考答案：（1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；（3）【分析】（1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数；（2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数；（3）先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出.【详解】(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个).(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为，，，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为，，抽取的3个中度拥堵路段为，，，抽取的1个严重拥堵路段为，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：，共9种.所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.【点睛】本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解，分层抽样的原则要知道，要能识别古典概型.19.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），若对任意实数x，不等式2x≤f（x）（x+1）2恒成立．（1）求f（1）的值；（2）求a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+2a|x﹣1|，x∈[﹣2，2]的最小值为﹣1，求a的值．参考答案：【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）在给出的不等式中，令x=1，根据这个条件可求出f（1）的值；（2）联立f（1）=2，即可求出a+c与b的关系式．由f（x）﹣2x≥0恒成立，即：ax2+（b﹣1）x+c≥0对于一切实数x恒成立，只有当a＞0，且△=（b﹣2）2﹣4ac≤0时，求得a=c＞0，再由f（x）（x+1）2恒成立，可得二次项系数小于0，判别式小于等于0，解不等式即可得到a的范围；（3）讨论当1≤x≤2时，当﹣2≤x＜1时，去掉绝对值，运用二次函数的对称轴和区间的关系，求得最小值，解方程可得a的值．【解答】解：（1）令x=1，由2x≤f（x）（x+1）2可得，2≤f（1）≤2，∴f（1）=2；（2）由f（1）=2可得a+b+c=2，即为b=2﹣（a+c），∵对于一切实数x，f（x）﹣2x≥0恒成立，∴ax2+（b﹣2）x+c≥0（a≠0）对于一切实数x恒成立，∴，即．可得（a﹣c）2≤0，但（a﹣c）2≥0，即有a=c＞0，则f（x）=ax2+bx+a，f（x）（x+1）2恒成立，即为（a﹣）x2+（b﹣1）x+（a﹣）≤0，可得a﹣＜0，且△=（b﹣1）2﹣4（a﹣）2≤0，由b﹣1=1﹣2a，即有△=0成立；综上可得a的范围是（0，）；（3）函数g（x）=f（x）+2a|x﹣1|=ax2+（2﹣2a）x+a+2a|x﹣1|（0＜a＜），当1≤x≤2时，g（x）=ax2+2x﹣a在[1，2]递增，可得x=1时，取得最小值2；当﹣2≤x＜1时，g（x）=ax2+（2﹣4a）x+3a，对称轴为x=，当≤﹣2，即为0＜a≤时，[﹣2，1）递增，可得x=﹣2取得最小值，且为4a﹣4+8a+3a=﹣1，解得a=；当＞﹣2，即＜a＜时，x=，取得最小值，且为=﹣1，解得a=?（，）．综上可得，a=．【点评】此题考查的是二次函数解析式问题，题中还涉及了二次函数的性质、二次函数与不等式的联系，以及不等式恒成立问题的解法；抓住不等式恒成立的条件，考查二次函数最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题．20.（本小题满分12分）某制造商某月内生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：分组频数频率[39.95,39.97)10

[39.97,39.99)30

[39.99,40.01)50

[40.01,40.03]10

合计100

(1)请在上表中补充完成频率分布表，并在上图中画出频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图，估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．参考答案：（1）频率分布表分组频数频率[39.95,39.97)100.10[39.97,39.99)300.30[39.99,40.01)500.50[40.01,40.03]100.10合计1001频率分布直方图(略)

（2）整体数据的平均值约为39.96×0.10+39.98×0.30+40.00×0.50+40.02×0.10=39.99239.99（mm）21.设f（x）是定义在[﹣3，3]上的偶函数，当0≤x≤3时，f（x）单调递减，若f（1﹣2m）＜f（m）成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣3，3]上的偶函数，∴f（1﹣2m）＜f（m）等价为f（|1﹣2m|）＜f（|m|），∵当0≤x≤3时，f（x）单调递减，∴，∴，∴，解得．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．22.（14分）已知函数f（x）=x2+（a+1）x﹣b2﹣2b，且f（x﹣1）=f（2﹣x），又知f（x）≥x恒成立．求：（1）y=f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=log2[f（x）﹣x﹣1]，求函数g（x）的单调区间．参考答案：考点： 对数函数的图像与性质；函数解析式的求解及常用方法．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）由f（x﹣1）=f（2﹣x），得出f（x）的对称轴，求出a的值，再由f（x）≥x恒成立，△≤0，求出b的值即可；（2）求出g（x）的解析式，利用复合函数的单调性，判断g（x）的单调性与单调区间．解答： （1）∵f（x﹣1）=f（2﹣x），∴f（x）的对称轴为x=；

…（1分）又∵函数f（x）=x2+（a+1）x﹣b2﹣2b，∴﹣=，解得a=﹣2，∴f（x）=x2﹣x﹣b2﹣2b；

…（1分）又∵f（x）≥x恒成立，即x2﹣x﹣b2﹣2b≥x恒成立，也即x2﹣2x﹣b2﹣2b≥0恒成立；∴△=（﹣2）2﹣4（﹣b2﹣2b）≤0，…（1分）整理得b2+2b+1≤0，即（b+1）2≤0；∴b=﹣1，…（2分）∴f（x）=x2﹣x+1；