四川省德阳市洛水慈济中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

四川省德阳市洛水慈济中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，sin2A=sin2B是A=B的

（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：B2.四面体的外接球球心在上，且，，则在外接球球面上，两点间的球面距离是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.若定义在R上的偶函数满足，且当[0，1]时，，则函数的零点个数是（

）

A．2个

B．3个

C．4个

D．多于4个参考答案：C本题考察函数性质的综合运用，利用数形结合法求解。由已知函数是周期为2的周期函数且是偶函数，由[0，1]时，，结合以上性质画出函数的图象，再在同一坐标系中画出的图象，观察交点个数即可，如下图所示。

显然两图象有4个交点，则函数的零点有4个，故选择C。4.如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，，，，，则直线与所成的角的余弦值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A如图所示，过点C作CE||,连接,则就是直线与所成的角或其补角，由题得,由余弦定理得,故选A.

5.将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到的图象，且，则函数图象的一个对称中心的坐标是（

）A． B． C． D．参考答案：B将函数的图象向左平移个单位得到，，又，解得，即，又，∴是图象的一个对称中心．6.在复平面内，复数对应的点位于(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：C7.已知：∥A.

B.

C.

D.参考答案：答案:B8.已知是平面，是直线，下列命题中不正确的是（A）若∥，，则∥（B）若∥，，则（C）若，，则∥（D）若，，则．参考答案：答案：B9.已知定义在R内的函数满足，当时，则当时，方程的不等实数根的个数是（）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：C试题分析：根的个数等价于与的交点个数，时，，画出与的图象，如图，由图知与的图象有个交点，即实数根个数为，故选C.考点：1、分段函数的解析式与图象；2、方程根与函数图象交点之间的关系.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式与图象、方程根与函数图象交点之间的关系，属于难题.判断方程实根的个数的常用方法：（1）转化法：函数零点个数就是则方程实根的个数；（2）零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数；（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，本题的解答就利用了方（3）.10.已知数列的首项为3,数列为等差数列,,则等于（

）A.0

B.3

C.8

D.11参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）

① ②

③

④

⑤参考答案：答案：①④⑤12.给出下列六个命题：①不等式x2－4ax＋3a2＜0的解集为{x|a＜x＜3a}；②若函数y＝f（x＋1）为偶函数，则y＝f（x）的图象关于x＝1对称；③若不等式|x－4|＋|x－3|＜a的解集为空集，必有a≤1；④函数y＝f（x）的图象与直线x＝a至多有一个交点；⑤若角α，β满足cosα·cosβ＝1，则sin（α＋β）＝0;⑥命题“”的否定是“”．其中所有正确命题的序号是

．参考答案：②③④_⑤_略13.已知复数，（m∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则m的值是．参考答案：-1略14.给出下列个命题：①若函数R）为偶函数，则；②已知,函数在上单调递减，则的取值范围是；③函数（其中）的图象如图所示，则的解析式为；④设的内角所对的边为若，则；⑤设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是.其中正确的命题为____________.参考答案：略15.在直角三角形中，，，，若，则

．参考答案：略16.已知，，，若，则实数m=______________.参考答案：7根据题意得到-=

17.已知函数f（x）=cosx?sin（x+）﹣cos2x+，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为

．参考答案：、﹣考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），又x∈[﹣，]，可得2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的性质即可得解．解答： 解：∵f（x）=cosx?sin（x+）﹣cos2x+=cosx（sinx+cosx）﹣cos2x+=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+=sin2x﹣×+=sin（2x﹣），又∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣，即x=﹣时，f（x）min=﹣，当2x﹣=，即x=时，f（x）min=，故答案为：、﹣．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值的解法，属于基本知识的考查．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）f′（x）=，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．对x分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得即可．解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，利用导数研究其最大值即可．【解答】解：（I）f′（x）==，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．当a=0时，f（x）=，f′（x）=，∴f（1）=，f′（1）=，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．因此a的取值范围为：．解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，u′（x）=＜0，∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，∴a≥u（3）=﹣．因此a的取值范围为：．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题．19.在直角坐标系xOy中，直线，圆,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）若直线C3的极坐标方程为，设C2，C3的交点为M，N，求的面积．参考答案：(1),；(2)．试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得，所以，进而求得面积为.试题解析：（1）因为，所以的极坐标方程为，极坐标方程为（2）将代入得得，所以因为的半径为1，则的面积为考点：坐标系与参数方程.20.设函数，不等式的解集为M.（1）求M；（2）当时，恒成立，求正数a的取值范围.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式f（x）≤6的解集即可；(2)结合第一问的表达式，分情况讨论即可.【详解】（1）当时，，解得；当时，可得；当时，，解得.综上，不等式的解集.（2）当时，等价于，得；当时，等价于，得；当时，等价于得综上，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想与集合的应用问题，是中档题．21.如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知，．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；（Ⅲ）当AD的长为何值时，二面角的大小为60°．参考答案：（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】试题分析：（1）利用面面垂直性质，可得平面，再利用线面垂直的判定，证明平面，从而利用面面垂直的判定可得平面平面；（2）确定为直线与平面所成的角，过点作，交于，计算，即可求得直线与平面所成角的大小；（3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得的长．试题解析：（1）∵平面平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，又∵为圆的直径，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面（2）根据（1）的证明，有平面，∴为在平面内的射影，因此，为直线与平面所成的角，∵，∴四边形为等腰梯形，过点作，交于，，则，在中，根据射影定理，得，，∴，∴直线与平面所成角的大小为30°（3）设中点为，以为坐标原点，方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设，则点的坐标为，则，又，∴，设平面的法向量为，则，即，令，解得．∴．由（1）可知平面，取平面的一个法向量为，∴，即，解得，因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角的大小为60°．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【方法点晴】本题主要考查了立体几何的综合问题，其中解答中涉及到直线与平面垂直平面的判定、平面与平面垂直的判定、直线与平面所成的角、二面角的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中熟记线面位置关系的判定与证明，建立空间直角坐标系，转化为空间向量的运算是解答的关键．22.已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l过定点A（1，0）．（1）若l与圆C相切，求l的方程；（2）若l与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．（其中点C是圆的圆心）参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）直线l无斜率时，直线l的方程为x=1，成立；直线l有斜率时，设方程为kx﹣y﹣k=0，由圆心到直线的距离等于半径，能求出直线l的方程．（2）△CPQ面积最大时，△CPQ是等腰直角三角