第五章 风险衡量

第五章风险衡量考核要求（一）损失数据的收集与整理1.领会：收集损失数据的要求。2.应用：（1）数据分组；（2）数据频数；（3）累计频数分布。（二）损失数据的描述应用：（1）全距中值；（2）众数；（3）中位数；（4）全距；（5）平均绝对差；（5）变异系数。（三）风险衡量领会：（1）损失概率的涵义；（2）最大可能损失、最大预期损失及其关系；（3）年度最大可能损失、年度最大预期损失。（四）年度损失次数估测领会：用二项分布估测。应用：用泊松分布估测。（五）一次事故损失额估测领会：用对数正态分布估测量。应用：用正态分布估测算。（六）年总额损失估测领会：遭受特定损失额的概率估算应用：（1）年平均损失额估测；（2）年最大预期损失之估算。第一节损失资料的收集与整理一、损失资料的收集1.完整性2.一致性3.相关性4.系统性二、损失资料的整理

5-1汽车公司事故损失金额3.119.212.91.28.86.64.66.714.010.53.317.021.32.213.21.17.26.81.912.510.915.322.52.318.14.117.78.19.111.80.34.00.97.95.05-2汽车公司每次事故损失0.34.19.117.70.94.610.518.11.15.010.919.21.26.611.821.31.96.712.522.52.26.812.92.37.213.23.17.914.03.38.115.34.08.817.0分组:0.25—4.75频数12;4.75—9.25 频数9;9.25—13.75 频数6;13.75—18.25频数5;18.25—22.75 频数30.34.19.19次17.70.94.612次10.518.15次1.15.010.919.21.26.611.821.31.96.712.522.53次2.26.812.92.37.213.26次3.17.914.03.38.115.34.08.817.0（一）资料分组分5组,组距4.50.25—4.75;4.75—9.25;9.25—13.75;13.75—18.25;18.25—22.75（二）频数分布

5—3汽车公司频数分布组号分组频数频率组中距10.25—4.751234.32.524.75—9.25925.77.0039.25—13.75617.111.5413.75—18.25514.316518.25—22.7538.620.5合计35100（三）累积频数分布

5-4汽车公司累积频数分布组号分组频数累积频数10.25—4.75121224.75—9.25921=12+939.25—13.75627=21+6413.75—18.25532=27+5518.25—22.75335=32+5第二节损损失资料的的描述一一、损失资资料的图形形描述（一）条形形图

5-5保险公公司收入赔赔付年度保险费赔款赔付率1986103….52….0.501987134….……0.541988195….……0.511989154….……0.741990197….……0.571991235….……0.621992243….……0.67103198650%104198754%195198851%154198974%197199057%235199162%242198667%5-6火灾灾统计原因吸烟纵火不明原因高热设备烹调设备电路老化机器设备其他燃烧爆炸其他次数3616108777422吸烟36纵火16不明原因10高热设备8烹调设备7电路老化7机器设备7其他燃烧4爆炸2其他2（二）圆形形图5—7驾驶驶员事故统统计致命车祸百分比男性3670094女性23006总数39000100女6%男94%（三）直方方图5—8某保保险公司赔款额(千元)赔款次数0—424—8248—123212—162116—201020—24624—28328—32132—361>360总计100（四）频数数多边形二、损失资资料的数字字描述（一）位置置数量1.全距中中值:是样本中最最小观察值值与最大观观察值的中中心数值最小观察值值+最大观观察值全距中值=22.众数14，19，16，，21，18，19，24，15，196，7，7，3，8，5，3，9（两个个众数）3.中位位数表5-44.75+(17.5—12)/9X4.5=7.54.算术术平均算术平均=观察值总总数/观观察项数数(个数)=(X1+X2+……+Xn)/nn=∑Xi/ni=1表5-9分分组平均均数

X=∑fimi/∑∑fi=303.5/35=8.67组号分组组中距mi频数fifimi10.25—4.752.5123024.75—9.257.0096339.25—13.7511.5669413.75—18.2516580518.25—22.7520.5361.5合计35303.5（二）变异异数量1.全距距等于最大观观察值与最最小观察值值之差。2.平均均绝对差平均绝对差差指的是绝绝对差的简简单的算术术平均数M.A.D=∑︱Xi--X︱/n表5-10绝对平均均继前面面X=67

M.A.D=∑︱Xi--X︱︱/n=70/8=8.75XiXi--X︱Xi--X︱52--151553--141461--66670071447255781111821515∑70表5-11平均绝对对差计算M.A.D=178.19/35=5.091组号分组频数fi组中距mi︱Mi--X︱fi︱Mi--X︱10.25—4.75122.56.173024.75—9.2597.001.676339.25—13.75611.52.8369413.75—18.255167.3380518.25—22.75320.511.8361.5合计35303.53.方方差与标准准差每个离差的的平方和再再被n-1除就是方方差n未分组的方方差：S2=∑(xi—X)2/(n—1)i=1n标准差：S=√∑(xi—X)2/(n—1)i=1n分组的方差：：S2=(∑xi2—nX2)/(n—1)i=1nS=√(∑xi2—nX2)/(n—1)i=14.变异系系数v=s/x表5-12方方差标准准差计算X=∑X/n=536/8=67序号XiXi--X(Xi—X)2152-15225253-14196361-636467005714166725257781112188215225∑536844表5-13方方差标准准差计算X=∑mifi/∑fi=303.5/35=8.67S2=∑(xi-x)2fi/(n-1)=1218.47/34=35.84S=5.99组别mifimifixi-x(xi-x)2(xi-x)2fi12.51230-6.1738.07456.8327963--1.672.7925.10311.56692.838.0048.054145807.3353.73268.64520.5361.511.83139.95419.85∑35303.51218.47表5-14变异系数v=s/xB＞AC＞A保险公司19X119X219X319X419X519X619X719X8XSA211921202.88B172020203.51C242826255.01补充计算题计计算以下分分组资料的变变异系数组别分组频数fi111.2~14.22214.2~17.215317.2~20.27补充计算题:计算以下分分组资料的变变异系数解解:＝16.325第三节风险险衡量指标一、损失概率率（一）损失概概率的含义损失概率:损失发生的可可能性称之为为损失概率，，损失程序表征征损失的严重重性，在风险险衡量中通过过以下损失期期望值、损失失幅度两个指指标反映:损失期望值(后面展开)损失幅度(后面展开)（二）损失概概率在风险衡衡量中的两种种说法1.时间性性说法2.空间性性说法二、损失期望望值未来某一时期期内预期的损损失平均值。。三、损失幅度度指一量损失发发生，可能形形成的最大损损失第四节损失失概率与损失失程度的估计计一、每年损失失事故发生的的次数（一）用二项项分布估算损损失次数应用此模型的的基本条件：：1、有n个风风险单位均遭遭到同一风险险事故的威胁胁2、每一个风风险单位在一一年中是否发发生此风险事事故是一个随随机事件3、风险单位位对该风险的的结果只有两两个：发生与与不发生（1,0）约束束条件：(1)每个风风险单位发生生该风险事故故的概率都相相同(2)任一个个风险单位发发生风险事故故都不会影响响其他风险单单位发生同样样事故的概率率（独立性））(3)同一个个风险单位在在一年中发生生二次以上的的事故可能性性极小，可以以认为这一概概率为零概率率P｛X=K｝｝=〔nK〕pKqn-kP｛X≧2｝｝=P｛X=2｝+P｛X=3｝+……+P｛X=n｝nn=∑P｛X=i｝｝=∑〔ni〕piqn-ii=2i=2例5-1：5家工厂，，火灾概率0.1,估算算几家遭受火火灾P｛X=K｝｝=〔5K〕0.1K0.95-kk=0,1,…,5发生概率见课课本P133表5-15(本课件下一一页)下一年将有EX=np=5X0.1=0.5(次次)估算0.5家家遭受火灾标准差:√Var=√npq=√√5X0.1X0.9=0.671课本P133表5-15发生火灾工厂数X=K概率0〔50〕0.100.95=0.59501〔51〕0.110.94=0.32812〔52〕0.120.93=0.07293〔53〕0.130.92=0.00814〔54〕0.140.91=0.00055〔55〕0.150.90=0.0000例：一家公司司把成品运到到顾客手中，，该公司面临临的风险是：：运输过程中中产品可能受受损。产品一一旦受损就认认为是全部损损失，而且每每个产品受损损的概率均为为0.1，在在这种情况下下我们可以用用二项分布来来描述产品损损失的个数。。如果考虑的的总体值包括括两个产品，，那么n=2，p=0.1。可能的的损失数量为为0，1和2，它们的概概率可以直接接计算出来：：损失0个产品品的概率=损失1个产品品的概率=损失2个产品品的概率=对于二项分布布，损失个数数的期望值是是np，标准准差是（二）用泊松松分布估测损损失次数用泊松分布估估测损失次数数：充有众多风险险单位，每年年估计平均有有个风险单单位发生事故故，每一风险险单位发生事事故的概率相相同，则一年年中发生致损损事故数X为为一服从参数数为的泊松松颁，分布律为：该该分布的期望望与标准差分分别为和。。泊松分布布常见于稠密密性的问题，，风险单位数数不少于50，所有单位位遭受损失的的概率都相同同并小于0.1泊松分布，是是一种离散分分布，用于描描述事件发生生的次数。它它是一种单参参数分布，这这个参数就是是概率分布的的期望值。其其计算公式是是：K=0,1,2,……k事件的概率率P｛X=K｝=λke-λ/k！例5-2:5辆车的的车队,两年年一次事故,求分布解:X为次数数,服从λ=0.5的泊泊松分布,概概率分布见课课本P134表5—16(本课件下一一页)期望EX=λ=0.5,标准差=√λ=0.707无碰车P｛X=0｝=0.6065,多于三次P｛X＞3｝=1-P｛X=0｝-P｛X=1｝-P｛X=2｝-P｛X=3｝=1-0.6065-0.3033-0.0758-0.0126=0.0018多于一次P｛X＞1｝=1-P｛X=0｝-P｛X=1｝=1-0.6065-0.3033=0.0902课本P134表5-16撞车次数X=K概率00.50e-0.5/0！=0.606510.51e-0.5/1！=0.303320.52e-0.5/2！=0.075830.53e-0.5/3！=0.012640.54e-0.5/4！=0.001650.55e-0.5/5！=0.000260.56e-0.5/6！=0.0000二、每次事故故的损失金额额（一）用正态态分布估算损损失额正态分布，是是一个双参数数分布，一旦旦知道正态分分布的期望值值和标准差，，那么我们就就能给出任意意一个值所对对应的概率。。下表是正态态分布的一部部分。用正态分布估估测损失额（（首选办法））正态分布的的用处：1估测损失额额落在某区间间上的概率2损失额超过过某一数值时时的概率求：：(1)期望损损失即算术平平均数；(2)损失额额落在什么区区间内的概率率为%；(3)损失额额大于的概概率有多大？？损失金额落落在区间概率率规律：（期期望值或平均均数—n倍标标准差，期望望值或平均数数+n倍标准准差）1)落在区区间一倍标准准差内（）），概率为68%；2)落在区区间二倍标准准差内（）），概率为95%；3)落在区区间三倍标准准差内（）），概率为99.7%；；（二）用对对数画龙点睛睛态分布估测测损失值（略略）例5-3:课课本P135表5-17组别分组频数频率15-2540.0476225-4580.0952345-65140.1667465-85190.2262585-105210.25006105-125100.11907125-14550.05958145-16530.0357∑840.9999例5-3:课课本P136表5-18组别组中值mi频数fimifimi2mi2fi115X460225900235X8280122598008155X34652402572075∑846820644900例5-3:课课本P1351.88x=∑fimi/∑fi=6820/84=81.19i=1i=1n2.S=√√(∑mi2fi—nX2)/(n—1)i=1=√〔64490-84(81.19)2〕/83=33.14根据正态分布布,落在(81.19-33.14X2,81.19+33.14X2),即(14.91,147.47)的概率为为95%(3)P｛X＞100｝=P｛(X-81.19)/33.14＞(100-81.19)/33.14｝=P｛(X-81.19)/33.14＞0.57｝=1-Ø(0.57)=0.7157即P｛X＞100｝=1-0.7157=0.2843（二）用对数正态分布估测测损失值P｛X＞7｝=1-Ø(㏑7-X)/S=1-Ø(㏑7-1.39)/0.46=1-Ø(1.21)=1-0.8869=0.1131三、每年的总总损失金额每年的总损失失金额这要解解决三个基本本问题：1年平均损失失多少？2企业遭受特特定损失金额额的概率3“严重损失失”将发生的的概率。（一）年平均均损失的估测测7∑XiPi=0X0.606+500X0.273i=1+……+20000X0.001=321.5元表5-21XiPi00.6065000.27310000.10020000.01550000.003100000.002200000.001总计1.000表5-22特特定损失XiPi5000.39410000.12120000.02150000.006100000.003200000.001（二二））遭遭受受特特定定损损失失金金额额的的概概率率P｛X≥≥500｝｝=P｛X=500｝｝+P｛X=1000｝｝+…………+P｛X=20000｝｝=0