章连续时间系统的频域第一部分

第三章连续时间系统的频域分析§3.1复指数函数的正交性与傅立叶级数§3.2周期信号的频谱及特点§3.3非周期信号的频谱§3.4傅立叶变换的性质§3.5线性非时变系统的频域分析频域分析的特点和优点：

１、分析信号的频域特点：如信号的带宽，信号的谱含量等等，物理概念清晰。２、系统频域分析方法：给定频率正弦信号的零状态响应是同样频率的正弦信号，系统的作用只体现在振幅和相位上，数学上简单。３、信号频谱函数和系统的频域传输函数：包含了信号和系统的全部信息，虽然数学形式变化，但信息不丢失。1768年，科学史有“牛顿第二”之称的傅立叶出生在法国的奥塞尔城一个裁缝之家；1789年，参加过革命军，反对路易斯王朝。后退出军队，教会学校教数学，提出“数值分析”求得多项式根的方法。1794年拿破仑任命为巴黎师范大学首席数学教授，27岁。1801年，傅立叶被任命为法国格勒诺布尔的行政长宫。1807年发表了《热的传播》，傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始.1814年拿破仑战败，被流放。1815年拿破仑偷渡回国，受到全国热烈的欢迎。傅立叶却公开反对拿破仑，后被捕，拿破仑亲自审问。1815年拿破仑兵败滑铁卢，傅立叶从监狱中放出。傅立叶继续研究热的理论数学，并发表以边界条件解微分方程式的方法。1830年，因心脏病去世。傅里叶：1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数。

傅里叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点3.1

复指数函数的正交性与傅里叶级数

3.1.1复指数的正交时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t)=f(t)*h(t)。本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。欧拉公式：所以，在分析周期和非周期信号时，通常把ejwt作为基本信号将任意周期和非周期信号分解为一系列虚指数函数的离散和或连续和。由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集如三维空间中，以矢量（长，宽，高）vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。

例如对于一个三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集{vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即A=vx+2.5vy+4vz

矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。一、信号分解为正交函数1.矢量正交与正交分解矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：其内积为0。即

定义：假设有n个函数g1(t)，g2(t)，…，gn(t)构成的一个函数集，这些函数在区间[t1，t2]内满足如下的正交特性其中ki为常数，则函数序列g1(t),g2(t),g3(t),…,gn(t)是[t1，t2]区间上的正交函数集。三角函数序列{1，cosω1t,

cos2ω1t,

cos3ω1t,…,cosnω1t,…，sinω1t,sin2ω1t,sin3ω1t,…,sinnω1t,…为区间[t0,t0+T]

T=2π/ω上的正交函数集。2、信号正交与正交函数集函数集中任意两个不同函数在[t1，t2]区间的内积为零常用的完备正交函数集有（1）三角函数

1，cos1t，cos21t，…，cosn1t

…

sin1t，sin21t，…，sinn1t

…（2）复指数函数

ejn1t,n=0,1,2,……（3）沃尔什函数Wal(k,t)沃尔什函数系是函数值仅取“+1”、“-1”两值的非正弦型的标准正交完备函数系。3.完备正交函数集：如果在正交函数集{1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足(i=1，2，…，n)则称此函数集为完备正交函数集。例如，函数集合的标准正交集是：sin(NX),cos(NX),N取整数。这样就可以说这组函数是完备正交的。（因为任何一个函数都可以由他们通过线性叠加而构成）f(t)可用傅立叶级数表示为：（三角级数）3.1.2傅立叶级数f(t)=a0+a1cosω1t+

b1sinω1t

+

a2cos2ω1t+b2sin2ω1t+…+ancosnω1t

+bnsinnω1t

+…2/T1=ω1

称为

f(t)的基波频率；nω1称为n次谐波；

a0为f(t)的直流分量，an和bn为各余弦分量和正弦分量的幅度。（an和bn又称为傅里叶系数）注：三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数之间的内积为零，只有频率相等的三角函数做内积时才不为0.3、傅里叶级级数展开的充充分条件通常所遇到的的周期性信号号都能满足此此条件，因此此，以后除非非特殊需要，，一般不再考考虑这一条件件。对于任意周期期信号f(t)=f(t+nT),在满足足狄里里赫利利条件下下，可可展成成傅里里叶级级数。。1：基波波角频频率a0：直流流分量量，an：余弦弦幅度度，bn：正弦弦幅度度，An：谐波波幅度度，周期信信号分分解为为三角角级数数（三角函函数集集是一一组完完备函函数集集）周期信信号的的分解解与合合成注：an为n的的偶偶函数数bn为n的的奇奇函数数为了积分方便，通常取积分区间为：基波、、谐波波通常把频率为：称为基波。频率为：称为二次谐波。频率为：称为三次谐波。可见，，直流流分量量的大大小以以及基基波与与各次次谐波波的幅幅度、、相位位取决决于周周期信信号的的波形形。图1锯锯齿齿波的的三角角级数数合成成例3-1如图所所示的的周期期矩形形波，，试求求其傅傅里叶叶级数数。解由于这这里f(t)是奇奇函数数，故故有所以f(t)的傅傅里叶叶级数数为图2周期矩矩形波波的分分解与与合成成：：图3当选取取傅里里叶有有限级级数的的项数数N很很大时时，该该峰起起值趋趋于一一个常常数，，它大大约等等于总总跳变变值的的9%，并并从不不连续续点开开始以以起伏伏振荡荡的形形式逐逐渐衰衰减下下去。。此现现象称称为吉吉布斯斯现象象。吉布斯斯（Gibbs）现现象周期三三角波波的分分解与与合成成：图4其他形形式余弦形形式正弦形形式即把周周期信信号分分解为为各次次谐波波之和和正弦级级数与与余弦弦级数数有关结结论：：一般说说来,一个个函数数的傅傅里叶叶级数数既含含有正正弦项项,又又含有有余弦弦项.但是是,也也有一一些函函数的的傅里里叶级级数只只含有有正弦弦项或或者只只含有有常数数项和和余弦弦项.(1)当周周期为为2π的奇函函数f(t)展开成成傅里里叶级级数时时,它它的傅傅里叶系数数为2、周周期信信号的的对称称性与与傅立立叶系系数的的关系系（例例3-1））注：周期奇奇函数数只含正弦项项定义称为

如果)(tf为奇函数，傅立叶级数正弦级数。

ntbnnsin1å¥=

ω1

定义如果分f(t)为偶函数，傅立叶级数称为余弦级数.（2）当周期为2π的偶函数f(t)展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为注：周期偶函数仅含直流项项和余弦项项（3））奇谐谐函数数若若周周期信信号f(t)波波形形沿时时间轴轴平移移半个个周期期后与与原波波形相相对于于时间间轴镜镜像对对称，，即满满足：：（半半周周期期对对称称））（4））偶偶谐谐函函数数周期期信信号号f(t)波波形形沿沿时时间间轴轴平平移移半半个个周期期后后与与原原波波形形完完全全重重叠叠，，即即满满足足：：f(t)称称奇奇谐谐函函数数或或半波波对称称函数数，傅傅立立叶叶展展开开式式中中只只含含有有正正弦弦和和余弦弦项项的的奇奇次次谐谐波波分分量量，，不不含含偶偶次次项项。。f(t)称称偶偶谐谐函函数数或或半周周期期重叠叠函数数，傅傅立立叶叶展展开开式式中中只只含含有有正正弦弦和和余弦弦项项的的偶偶次次谐谐波波分分量量，，不不含含奇奇次次项项。。*周期期偶偶函函数数、、奇奇谐谐函函数数：：只只含含基基波波和和奇奇次次谐谐波波的的余余弦弦分分量量；；*周期期奇奇函函数数、、奇奇谐谐函函数数：：只只含含基基波波和和奇奇次次谐谐波波的的正正弦弦分分量量；；*周期期奇奇函函数数只只含含正正弦弦分分量量；；*周期期偶偶函函数数含含有有直直流流分分量量和和余余弦弦分分量量。。总结结：：从上上面面例例子子看看出出：：（1））n愈愈大大，，则则愈愈逼逼近近原原信信号号f(t)。。(2)当当信信号号f(t)是是脉脉冲冲信信号号时时，，其其高高频频分分量量主主要要影影响响脉脉冲冲的的跳跳变变沿沿；；低低频频分分量量影影响响脉脉冲冲的的顶顶部部。。f(t)波波形形变变化化愈愈剧剧烈烈，，所所含含的的高高频频分分量量愈愈丰丰富富；；f(t)变变化化愈愈缓缓慢慢，，所所含含的的低低频频分分量量愈愈丰丰富富。。(3)当信信号中中任一一频谱谱分量量的幅幅度或或相位位发生生相对对变化化时，，输出出波形形一般般要发发生失失真。。取基波分量和三次谐波分量取基波、三次谐波分量和五次谐波分量有限级级数对对原函函数的的逼近近情况况周期信信号的的复指指数表表示设由于则欧拉公公式：：{所以

由

令

，则

Fn为傅立立叶系系数周期信信号f(t)的的指指数形形式傅傅立叶叶展开开式又称复系数数形式式傅立立叶级级数展展开式式例1对于周周期矩矩形波波，试试求其其指数数表示示式。。解所以图5例2设有周周期冲冲激信信号T(t)，求其其指数数表示示式。。解因则所以即T(t)是无穷穷多个个复指指数的的累加加和。。图6总结：：（1））周期期信号号的三三角级级数和和复指指数表表示形形式只只是同同一信号的的两种种不同同表示示方法法。前者为实数级级数，后者为复数级数，均是是把周周期信信号表表示为为不同同频率率的各各分量量之和和。（2））任意意周期期函数数可分分解为为偶函函数fod(t)与奇奇函数数fev(t)之和。。单边频谱图图例：矩形波波3.2周期信信号的的频谱谱图2图11.频频谱：：将周期期信号号各频频率分分量的的振幅幅和相相位随随频率率变化化的关系系用图图形描描绘出出来，，称之之为““频谱谱图””。（频谱谱图：：包括括振幅幅频谱谱和相相位频频谱两两部分分）幅度谱谱、相相位谱谱单边频谱An：：振振幅频频谱相相位位频谱谱：φn双边频频谱│Fn│与nωω所描描述的的振幅幅频谱谱与Fn的的相位Φn与与nωω所描描述的的相位位频谱谱Fn一般是是复函函数，，所以以称这这种频频谱为为复数频频谱。。2.周周期信信号频频谱的的特点：：离散性性：离离散谱谱线谐波性性：基基波1的整数数倍频频率收敛性性：高高次谐谐波幅幅度渐渐小（随谐谐波次次数增增高而而逐渐渐减小小）幅度谱与相位谱合并正、负负频率率相应应项成成对合合并，，才是是实际际频谱谱函数数。Fn一一般为为复数数，引引入了了负频率率变量量F-n周期复复指数数信号号的频频谱图图的特特点引入了了负频频率变变量，，没有有物理理意义义，只只是数数学推推导；；An是是实函函数，，Fn一一般是是复函函数；当Fn是是实实函数数时，，可用用Fn的的正正负表表示0和ππ相位位，幅幅度度谱和和相位位谱合合一；；3.频谱与与信号号的带带宽对于周周期矩矩形脉脉冲，，在一一个周周期内内为则复系系数图4其中Sa()形式式如下下。抽样函函数：：是偶函函数当时，Sa(t)=0图51.抽抽样函函数Sa(x)的特特点：：（1））偶函函数（（2）正正负轴轴（对对称））呈衰衰减的的正弦弦振荡荡f(t)的的幅度度谱和和相位位谱图70→只可用用一个个频谱谱图表表示2.频带宽宽度由周期期矩形形脉冲冲信号号的频频谱可可以看看出：：振幅相相对减减小。。能量主主要集集中在在第一一个零零点以以内。。信号一一般主主要集集中在在低频频段。。结论：信号的频带宽度与信号的持续时间（脉冲宽度）成反比。3.系系统的的通频频带>信号的的带宽宽，才才能不不失真真例：语音信信号频频率率大约约为300~3400Hz，音乐信信号50~15,000Hz，扩大器器与扬扬声器器有有效效带宽宽约为为15~20,000Hz。周期矩矩形脉脉冲频频谱的的变化化规律律频谱与与周期期T和脉宽宽的关系系T不变，，减小时时，谱谱线间间隔ω不变，，频带带加宽宽。图8不变，，T增大时时，谱谱线间间隔变变密，，带宽宽不变变。图9频谱分分析表表明离散频频谱，，谱线线间隔隔为基波频频率，脉冲冲周期期越大大，谱谱线越越密。。各分量量的大大小与与脉幅幅成正正比，，与脉脉宽成成正比比，与与周期期成反反比。。各谱线线的幅幅度按按包络线线变化化。过过零点为为主要能能量在在第一一过零零点内内。带带宽4.周周期信信号的的功率率特性性—时域域和频频域能能量守守恒定定理周期信信号的的平均功功率P：在一一个周周期内内求平平方再再求积积分。。帕塞瓦瓦尔定定理任意周周期信信号f(t)在在时时域的的平均均功率率等于于频域域中的的直流流功率率分量和和各次次谐波波平均均功率率分量量之和和。时域与与频域域的能能量守守恒：：举例周期信信号的的功率率谱：：图12(1)周期期信号号f(t)的傅立叶叶级数有有两种种形式式三角形形式指数形形式总结(2)三个个性质质离散性性：离散谱谱线(3)两两种种频频谱谱图图的的关关系系(4)引引入入负负频频率率9、静夜四无无邻，荒居居旧业贫。。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。20:02:3020:02:3020:021/1/20238:02:30PM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。1月月-2320:02:3020:02Jan-2301-Jan-2312、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。20:02:3020:02:3020:02Sunday,January1,202313、乍见翻疑疑梦，相悲悲各问年。。。1月-231月-2320:02:3020:02:31January1,202314、他乡生生白发，，旧国见见青山。。。01一一月20238:02:31下午午20:02:311月-2315、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。一月238:02下下午1月-2320:02January1,202316、行动出成成果，工作作出财富。。。2023/1/120:02:3120:02:3101January202317、做前，能够够环视四周；；做时，你只只能或者最好好沿着以脚为为起点的射线线向前。。8:02:31下午8:02下下午20:02:311月-239、没有失失败，只只有暂时时停止成成功！。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、很多事情情努力了未未必有结果果，但是不不努力却什什么改变也也没有。。。20:02:3120:02:3120:021/1/20238:02:31PM11、成功就是是日复一日日那一点点点小小努力力的积累。。。1月-2320:02:3120:02Jan-2301-Jan-2312、世间成成事，不不求其绝绝对圆满满，留一一份不足足，可得得无限完完美。。。20:02:3120:02:3120:02Sunday,January1,202313、不知香积寺寺，数里入云云峰。。1月-231月-2320:02:3120:02:31January1,202314、意志坚坚强的人人能把世世界放在在手中像像泥块一一样任意意揉捏。。01一一月20238:02:31下午午20:02:311月-2315、楚塞三湘接接，荆门九