近代光学基础第三章标量衍射理论和傅里叶光学课件

近代光学基础第二章标量场衍射理论第三章傅立叶光学1/17/2023§1、§2、§3、几种衍射理论及其比较1/17/2023光的波动理论形成1665年格里马尔迪衍射实验结果：1，投影的边缘是由亮到暗的渐变，不是突变。2，如果光源质量好时，有明暗交替条纹存在，可延伸到阴影区很远。3，光线偏离直线光路。1/17/2023一、何谓衍射?衍射:不能用反射或折射来解释的光线对直线光路

的偏离现象.----索末菲1/17/2023二、标量衍射理论：把光当作标量现象来处理，只考虑电场或磁场的一个横分量的标量振幅和行为，而假定任何别的有关分量也具有相同的行为，可以用同样的方式来独立处理。

的各个分量是通过麦氏方程耦合起来的,并不能独立的处理。1/17/20231/17/2023四、衍射理论的种类2）基尓霍夫衍射理论3）瑞－索衍射理论4）角谱衍射理论5）边界衍射理论1）惠－菲衍射理论1/17/2023五、波的表示法单色波（实数）单色波的复数表示U(P)实振幅一维实轴的矢量变化U(p,t)满足标准波动方程U(p,t)＝U(P)cos〔2πγt＋ψ(P)〕复振幅复平面上的参量变化1/17/2023惠更斯－菲涅耳原理16781818基本思想为：次级子波包络+杨氏干涉1/17/2023光－－衍射菲涅尔（AugustinJeanFresnel1788－1827，法国物理学家）在1818年提出光的衍射理论并且理论计算了爱里的存在。1/17/2023惠更斯——菲涅尔原理：

波前上任一点可作为次级扰动中心，发射球面波，这些次波是相互干涉的，它们相干迭加给出任一观察点的光场分布。

惠更斯:若点源P0发出单色球面波，波面S为某瞬时波面的位置，波面S上任点Q的振动作为次级扰动中心，发出球面子波，为观察点P与Q距离为S。可表示为Q0Q1SPQ点的面元ds与P的夹角为x，Q点附近的面元ds次级扰动对P的贡献为：式中：x为Q点法线与QP的夹角，为衍射角（倾斜角），K（x）——倾斜因子P01/17/20231818年菲涅尔对惠更斯原理作了很大改进。用扬氏干涉原理补充了惠更斯原理，认为那些次波是相互干涉的。

惠更斯原理次波辐射有方向性，惠更斯原理加次波相干的结果。1/17/2023P的总扰动：该式是惠——菲原理的数学表达式。如果光源上各点发光不均匀有强弱之差别，可用表示他们的发光强度，在r1附近面元对P贡献为：b1/17/2023总光源的贡献为：说明：惠更斯原理是光波动的概念，但很初步。1，惠更斯将次级球面波看成波，但他的波动的概念是极为初步的，没有注意到波的周期性。2，惠更斯原理主要说的是光线的传播方向问题，所以应用主要限于几何光学范畴。3，惠更斯原理能解释衍射现象，但不能描出光场分布，光强的分布情况。1/17/2023U(P0)--Σ次级子波叠加波带法思路：波带1波带n奇＋偶－1/17/2023基尓霍夫衍射理论思路:1)U(P)满足亥姆霍兹方程,2)运用GREEN定理,空间一类的复扰动U可借助格林定理数学关系式来计算，U，G位空间位置的复函数。U，G在S内和S上连续和单值。（2）（1）1/17/2023

格林定理是标量衍射理论的主要基础．若U(p)和G(p)为空间位置的复函数，S为包围P点的封闭曲面．只要U，G在S内和S上连续和单值，存在一阶和二阶偏微商，则有格林定理1/17/20233)选择自由GREEN函数:1)、3）代入2)，左＝0，化简，得亥—基定理:（3）1/17/2023扩展单色波照明同时对场强及其法向导数施加边界条件为0，就意味着孔径后各处场强恒为0。不自恰边界条件给出违反物理事实。不能恢复边界条件精度高要求满足两个应用条件单球面波照明的菲－基公式1/17/2023边界条件:1、孔径上，场分布U及其导数跟没有屏幕时完全相同；2、在S1的位于屏幕的几何阴影区内的那一部分上，场分布U及其导数

恒为零。基尓霍夫衍射理论

1/17/2023瑞利－索末菲衍射理论基本思想同基尓霍夫衍射理论

3)选择为GREEN函数边界条件：（1894）思路1)，2)同基＋＋{G(p1)Σ=0,u=入射场Σ内－{不同时为01/17/2023子波特性1/17/2023§4、关于近似1/17/2023前面我们得到了标量衍射理论的普通结果，本节我们将它具体化，得出两种常用的的近似——菲涅尔近似和夫琅和费近似。1/17/2023一、初步近似:入射振幅u(x1,y1)h(x0,y0;x1,y1)次级子波在空间中的传播特性（脉冲响应函数）1/17/2023将衍射看作一个联系输入输出的系统：系统h(x0,y0;x1,y1)输入u(x1,y1)输出U(x0,y0)系统的脉冲响应一、初步近似:——系统的脉冲响应（点扩散函数）1/17/2023初步近似:假设1．2．1/17/2023初步近似:1/17/2023初步近似:物理意义:孔径内各点的子波到达(x0,y0)处时的振幅大致相同,位相不同。则1/17/2023二、菲涅耳近似把指数部分r01的坐标进行二项式展开。当三次项可以忽略时，即或满足以上条件的近似被称为菲涅耳近似1/17/2023菲涅耳近似物理意义：用二次曲面代替球面的惠更斯子波球面波前二次抛物面波前1/17/2023菲涅耳近似

得P0点的振幅近似为亦可以用F.T表示：孔径光场分布函数二次位相函数二维傅利叶变换1/17/2023三、夫朗和费近似在菲涅耳近似基础做更进一步的近似：则若二次位相因子在整个孔径上近似为1，即：满足以上条件的衍射区被称为夫朗和费衍射区。1/17/2023夫朗和费近似得P0点的振幅近似为：亦可以用F.T表示：1/17/2023四、衍射区的划分菲涅耳深区(λ量级)菲涅耳衍射区夫琅和费区§2.5§2.61/17/2023衍射区的划分举例：25mm改进装置：菲涅耳深区L像菲涅耳衍射区夫琅和费区菲涅耳深区1/17/2023请估计z的量级～1/17/2023五、透镜的F.T性质由于薄透镜的位相延迟作用，平面波经过正透镜后会变成会聚的球面波。由费马原理和傍轴近似可推倒出透镜的位相变换作用相当于对波函数做一次傅立叶变换。1/17/2023位相改变器，位相延迟元件，Ψ(x,y)=2πnL/λ常数位相延迟与球面波相联系的二次位相因子ulul’Δ0R1R2ulul’x0y0f五、透镜的F.T性质1/17/20231/17/2023§5

傅利叶光学概要1/17/2023空间频率，空间周期时间函数由无数个乘上权重因子的基元函数迭加而成这种情况很多，比如一条线路传送一个信号，信号一般随时间变化，这个信号可当作很多个谐波迭加而成。若信号是周期的：1/17/2023一、空间频率和空间频谱（一）、空间频率（一维）xyΧαβ1/17/20231/17/2023（二）、空间频谱权重因子基元函数1/17/2023（二）、空间频谱1/17/2023二、F.T数理基础1/17/2023光学傅立叶变换的性质

线性定理若物理意义：光学系统对同时作用的几个输入（或激励）所产生的输出（或响应）恒等于每个输入单独引起的输出之和。

（一）、F.T定理1/17/2023举例：1/17/2023光学傅立叶变换的性质相似定理物理意义：物函数的空间坐标伸展（压缩），其频谱函数形式不变，只是频标产生相应的压缩（伸展），并在幅度上有一个整体变化。如：若夫琅和费衍射的缝宽变窄，则衍射条纹的变宽。1/17/2023光学傅立叶变换的性质相移定理：物理意义：物函数在空间域中平移，只使频率域中产生一个线性相移

如：夫琅和费衍射条纹的位置并不随原点的改变而改变。1/17/2023光学傅立叶变换的性质PARSEVA定理：波面上的光能频谱面上的光能物理意义：当变换透镜表面的反射和玻璃介质的吸收可以忽略时，光能量守恒。1/17/2023光学傅立叶变换的性质卷积定理：反转后平移两个函数较繁的卷积运算可以简化为较简单的相乘运算。在描述光学系统的物像关系中，卷积是常用的一种运算。1/17/2023光学傅立叶变换的性质自相关定理：先平移后共轭光学系统中物像频谱关系

1/17/2023光学傅立叶变换的性质（二）、傅里叶积分定理

物理意义：说明透镜只能做正F.T。x1y1x2y2x3y3ffff1/17/2023（三）、常用傅里叶变换式

函数变换1

1/17/2023（三）、常用傅里叶变换式

函数变换1/17/2023（三）、常用傅里叶变换式

函数变换-0.50.5f(x)xy1/17/2023（三）、常用傅里叶变换式

函数变换f(x)xy1/17/2023（三）、常用傅里叶变换式

函数变换∴激光（高斯型）经过透镜后不变1/17/2023（三）、常用傅里叶变换式

函数变换f(x)F(u)通过减少透镜边缘的透射率，可实现超分辨1/17/2023（三）、常用傅里叶变换式

函数变换f(x)F（u）1/17/2023（三）、常用傅里叶变换式

函数变换一个位相函数的变换，模值反比于谱坐标。1/17/2023（三）、常用傅里叶变换式

函数变换微分定理，像增加中常用，加强信号对比，减少背景水平。1/17/2023（四）、关于δ函数的补充1/17/2023三、夫朗和费衍射光场的计算1/17/2023夫朗和费衍射光场的计算1、确定透过率函数：t(x1,y1)2、在单位振幅、单色、平面波、垂直照明的情况下：U(x1,y1)=t(x1,y1)3、作傅立叶变换：F{U(x1,y1)}4、5、I(x0,y0)=U(x0,y0)U*(x0,y0)1/17/20231，单色平面波垂直照明，距离d，狭缝宽度极小两衍射屏（x0，y0）u＝x0/zλ（x1，y1）d1/17/20232，双缝衍射aa－d/2d/2xf(x)1/17/2023第一步如何转化到第二步？1/17/2023aa－d/2d/2xf(x)3、1/17/20234、aa－d/2d/2xf(x)……1/17/20235、1/17/20236、1/17/2023夫朗和费衍射图样的例子6、1/17/2023夫朗和费衍射图样的例子7.矩形孔径它的夫朗和费衍射振幅和强度分布分别为透过率函数为1/17/2023矩形孔径夫朗和费衍射图样的例子截面图1/17/20238.圆形孔径它的夫朗和费衍射振幅和强度分布分别为透过率函数为夫朗和费衍射图样的例子1/17/2023圆形孔径夫朗和费衍射图样的例子截面图1/17/2023光－－衍射图中在星星周围明亮的圆环的形成，是由于望远镜镜孔照成的了单孔衍射的结果。1/17/2023四、单位振幅平面波垂直照明的推广1/17/2023（一）、单位振幅单色平面波垂直照明1/17/2023（二）、单位振幅单色平面波垂直照明＋孔径中有物体（衍射物体）1/17/2023（三）、振幅为A，单色平面波垂直照明1/17/2023（四）、振幅为A，单色平面波斜照明沿z’方向入射，与z轴成θ角θzz’x11/17/2023（五）、单色球面波照明1/17/2023（六）、复色平面波照明求法：a)对单一λ，求U(x0,y0,λ)b)对单一λ，求I(x0,y0,λ)c)对λ积分得I(x0,y0)谱线连续c’)对λΣ得I(x0,y0)谱线分立1/17/2023（七）、复色球面波照明求法：a)对单一λ，求U(x0,y0,λ)b)对单一λ，求I(x0,y0,λ)c)对λ积分得I(x0,y0)谱线连续c’)对λΣ得I(x0,y0)谱线分立1/17/2023五、非单色波的标量衍射1/17/2023实际光波（复色光）－－－－单色波的叠加r01p1(x1,y1)p0(x0,y0)Σ1/17/2023复色光扰动在p0造成的光场：1/17/2023§6、角谱衍射理论1/17/2023一、角谱1/17/2023方向余弦（α、β、γ）传播的单位振幅的平面波一.角谱：角谱衍射理论1/17/2023角谱：在Z=0平面对一个以方向余弦（α、β、γ）传播的单位振幅的平面波做逆傅氏变换：

因此，在z=0平面上，可把看成是以（α、β、γ）传播的平面波，其分量的复振幅就是则：被称为扰动U（x,y,0)的角谱角谱衍射理论1/17/2023二、角谱的传播相位变化1/17/2023角谱的传播：角谱衍射理论1/17/2023角谱的传播：角谱衍射理论1/17/2023角谱衍射理论TALBOT效应：严格平面单色光

正弦光栅像衍射U(x,y,z)U(x,y,0)凡在2d2/λ的整数倍位置都可成象TALBOT效应：当用单色球面波或平面波照明一周期性物体,在光栅后的某些平面上重复出现光栅的清晰的像.即不用任何透镜而得到了光栅的像。周期性的物体都可自成像1/17/2023角谱衍射理论用角谱理论来处理具有分立角谱值的衍射非常简捷例：对于正弦光栅1/17/2023如何得到此近似？1/17/2023欲使则有：为光栅自成像的距离1/17/2023角谱的传播：角谱衍射理论若入射光为球面波照明G1。设G1的透射函数。R为球面波半径，d为光栅周期。在G之后的光场分布为：仅考虑n=0,1,-1的情况下1/17/2023角谱的传播：角谱衍射理论传播距离z之后，其光场分布为：设得光强分布1/17/2023角谱的传播：角谱衍射理论当即1/17/2023角谱的传播：角谱衍射理论1/17/2023请回忆波带片～1/17/2023角谱衍射理论1/17/2023角谱的传播：角谱衍射理论讨论：1/17/2023角谱的传播：角谱衍射理论1/17/2023近场光学

Near-fieldsuperhighdensityopticalstorage1/17/2023§7、边界衍射波理论1/17/2023边界衍射波理论当我们在屏幕的几何阴影区观察时，可以看到衍射孔的边缘时发亮的。观点：衍射图样＝孔径的几何投影＋边界上衍射波处理方法：亥姆霍兹方程格林定理给出边界衍射波表示1/17/2023边界衍射波理论用入射波加上边界衍射波来描述衍射效应把基尓霍夫衍射理论中的面积分换算为线积分边界波衍射理论的核心：边界衍射理论可用于分析衍射波的偏振特性，可以将标量衍射理论过渡到矢量衍射理论。

衍射场中任意点的振幅表示为其中是入射波按照几何光学规律传播所产生的影响，是入射辐射在孔边界上散射产生的边界衍射波的影响。（对数学不要求）1/17/2023边界衍射波理论考虑由点源发出单色球面波照明孔径，同时为讨论的简便，假定格林函数是由发出的单位振幅球面波。观察点的场为重新选择积分曲面，它包括三部分：(1)开孔；(2)截锥面(锥顶在，母线通过孔边)；(3)以点为球心的大球面被锥面截得的部分

1/17/2023

为边界上的衍射波*(4)由于索末菲条件，b面的积分贡献为0。的场值来自和B的积分贡献。几何投影光场1/17/2023边界衍射波理论在锥面上，与法线相垂直(4),(5)可得点处的面积元为：1/17/2023边界衍射波理论其中，是沿孔边扫过小角度在B面上形成的元弧线，点是与孔边的交点，若令，它沿边孔扫过形成的圆弧为，则有：将代入的表达式得到：1/17/2023边界衍射波理论,和处在面的同一母线上，因此

将上面(9),(10)这些结果代入*(6)式得到式中第二个积分的被积函数是一个全微分。可证：1/17/2023经过积分，边界衍射的场分布最后变成第二个积分变为：边界衍射波则可设想是入射辐射在孔边上散射所产生。1/17/202