2022年山西省大同市成考专升本高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022年山西省大同市成考专升本高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.A.A.

B.

C.

D.

2.

3.A.2B.1C.1/2D.-2

4.则f(x)间断点是x=（）。A.2B.1C.0D.-1

5.已知作用在简支梁上的力F与力偶矩M=Fl，不计杆件自重和接触处摩擦，则以下关于固定铰链支座A的约束反力表述正确的是()。

A.图(a)与图(b)相同B.图(b)与图(c)相同C.三者都相同D.三者都不相同

6.级数(a为大于0的常数)()．A.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与a有关

7.设Y=e-3x，则dy等于()．

A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

8.

9.A.A.4πB.3πC.2πD.π10.设y=exsinx，则y'''=A.cosx·ex

B.sinx·ex

C.2ex(cosx-sinx)

D.2ex(sinx-cosx)

11.A.

B.

C.

D.

12.∫-11(3x2+sin5x)dx=()。A.-2B.-1C.1D.213.设f(x)在x=2处可导，且f'(2)=2，则等于()．A.A.1/2B.1C.2D.4

14.

15.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线y=f(x)的所有切线中()．A.A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴16.设函数f(x)在点x0。处连续，则下列结论正确的是（）．A.A.

B.

C.

D.

17.

18.

19.设y=3-x，则y'=（）。A.-3-xln3

B.3-xlnx

C.-3-x-1

D.3-x-1

20.设y=cos4x，则dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx

21.

22.

23.

24.（）。A.

B.

C.

D.

25.A.e

B.e-1

C.-e-1

D.-e

26.下列函数中，在x=0处可导的是（）

A.y=|x|

B.

C.y=x3

D.y=lnx

27.A.A.0B.1C.2D.3

28.设y=2^x，则dy等于()．

A.x.2x-1dx

B.2x-1dx

C.2xdx

D.2xln2dx

29.A.0或1B.0或-1C.0或2D.1或-1

30.设Y=e-5x，则dy=()．

A.-5e-5xdx

B.-e-5xdx

C.e-5xdx

D.5e-5xdx

31.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关32.（）。A.收敛且和为0

B.收敛且和为α

C.收敛且和为α-α1

D.发散

33.A.A.

B.

C.

D.

34.（）。A.e-2

B.e-2/3

C.e2/3

D.e2

35.（）。A.过原点且平行于X轴B.不过原点但平行于X轴C.过原点且垂直于X轴D.不过原点但垂直于X轴36.下列命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

37.

38.（）。A.3B.2C.1D.039.（）。A.-2B.-1C.0D.2

40.下列等式成立的是（）。

A.

B.

C.

D.

41.当x→0时，x2是2x的A.A.低阶无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.高阶无穷小

42.

有()个间断点。

A.1B.2C.3D.443.A.A.

B.e

C.e2

D.1

44.

45.

46.单位长度扭转角θ与下列哪项无关()。

A.杆的长度B.扭矩C.材料性质D.截面几何性质47.

48.

49.过点(0,2,4)且平行于平面x+2x=1,y-3x=2的直线方程为

A.x/1=(y-2)/0=(z-4)/-3.

B.x/0=(y-2)/1=(z-4)/-3

C.x/-2=(y-2)/3=(z-4)/1

D.-2x+3(y-2)+z-4=0

50.函数f(x)=lnz在区间[1，2]上拉格朗日公式中的ε等于()。

A.ln2

B.ln1

C.lne

D.

二、填空题(20题)51.

52.

53.设y=1nx，则y'=__________．

54.

55.

56.

57.58.函数f(x)=在[1，2]上符合拉格朗日中值定理的ξ=________。

59.

60.y″+5y′=0的特征方程为——．61.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．62.

63.

64.65.过点(1，-1，0)且与直线平行的直线方程为______。

66.

67.

68.69.70.三、计算题(20题)71.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．72.求微分方程的通解．73.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．74.75.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．76.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

77.

78.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．79.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

80.

81.82.证明：83.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则84.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

85.86.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．87.

88.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

89.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

90.

四、解答题(10题)91.

92.设

93.

94.

95.求由曲线xy=1及直线y=x，y=2所围图形的面积A。

96.

97.98.

99.

100.五、高等数学(0题)101.

在t=1处的切线方程_______。

六、解答题(0题)102.

参考答案

1.A

2.A解析：

3.A本题考查了等价无穷小的代换的知识点。

4.Df(x)为分式，当X=-l时，分母x+1=0，分式没有意义，因此点x=-1为f(x)的间断点，故选D。

5.D

6.A本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念．

注意为p=2的p级数，因此为收敛级数，由比较判别法可知收敛，故绝对收敛，应选A．

7.C

8.C

9.A

10.C由莱布尼茨公式，得（exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).

11.D本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法。因此选D。

12.D

13.B本题考查的知识点为导数在一点处的定义．

可知应选B．

14.C解析：

15.A本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义．

由题设条件可知f(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．这表明曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线必定平行于x轴，可知A正确，C不正确．

如果曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线平行于y轴，其中ξ∈(0，1)，这条切线的斜率为∞，这表明f'(ξ)=∞为无穷大，此时说明f(x)在点x=ξ不可导．因此可知B，D都不正确．

本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选A．

有些考生选B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误．

16.D本题考查的知识点为连续性的定义，连续性与极限、可导性的关系．由函数连续性的定义：若在x0处f(x)连续，则可知选项D正确，C不正确．由于连续性并不能保证f(x)的可导性，可知A不正确．

17.A

18.D

19.Ay=3-x，则y'=3-x。ln3*(-x)'=-3-xln3。因此选A。

20.B

21.D

22.A解析：

23.D

24.A

25.B所给极限为重要极限公式形式．可知．故选B．

26.C选项A中，y=|x|，在x=0处有尖点，即y=|x|在x=0处不可导；选项B中，在x=0处不存在，即在x=0处不可导；选项C中，y=x3，y'=3x2处处存在，即y=x3处处可导，也就在x=0处可导；选项D中，y=lnx，在x=0处不存在，y=lnx在x=0处不可导（事实上，在x=0点就没定义）.

27.B

28.D南微分的基本公式可知，因此选D．

29.A

30.A

【评析】基本初等函数的求导公式与导数的四则运算法则是常见的试题，一定要熟记基本初等函数求导公式．对简单的复合函数的求导，应该注意由外到里，每次求一个层次的导数，不要丢掉任何一个复合层次．

31.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B。

32.C

33.C本题考查的知识点为微分运算．

因此选C．

34.B

35.C将原点(0，0，O)代入直线方程成等式，可知直线过原点(或由

36.D

37.A

38.A

39.A

40.C

41.D

42.C

∵x=0，1，2，是f(x)的三个孤立间断∴有3个间断点。

43.C本题考查的知识点为重要极限公式．

44.A

45.C

46.A

47.B

48.C

49.C本题考查了直线方程的知识点.

50.D由拉格朗日定理

51.1

52.33解析：

53.

54.[01)∪(1+∞)

55.x-arctanx+C

56.y=f(0)

57.

58.由拉格朗日中值定理有=f"(ξ)，解得ξ2=2，ξ=其中。

59.x/1=y/2=z/-160.由特征方程的定义可知，所给方程的特征方程为61.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．

(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．

y=x3-27x+2,

则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．

本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．

本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知

x=2为y的最小值点，最小值为y|x=2=-44．

x=1为y的最大值点，最大值为y|x=1=-24．62.0

63.

64.65.本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系。由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，-1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

66.2

67.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

68.

69.

70.

本题考查的知识点为可变上限积分的求导．

71.

72.

73.

74.

75.

列表：

说明

76.由二重积分物理意义知

77.

78.函数的定义域为

注意

79.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

80.

81.

82.

83.由等价无穷小量的定义可知

84.

85.

86.

87.