全等三角形.第2讲.全等三角形与中点问题.教师版

..第二第二讲全等三角形与中点问题中考要求中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质,会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛知识点睛三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一<底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合>三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题<涉及中点的问题>见到中线<中点>,我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理<以后还要学习中线长公式>,尤其是在涉及线段的等量关系时,倍长中线的应用更是较为常见．重、难点重、难点重点：重点：主要掌握中线的处理方法,遇见中线考虑中线倍长法难点：全等三角形的综合运用例题精讲例题精讲版块一倍长中线<20XXXX市中考题>在△中,,则边上的中线的长的取值范围是什么？中线倍长,[点评]此题很好的运用中线倍长的方法,若运用其他的方法将会更加麻烦[补充]已知：中,是中线．求证：．如图所示,延长到,使,连结,利用证得≌,∴中,,∴∴<20XXXX市高中阶段教育学校招生考试>已知：如图,梯形中,,点是的中点,的延长线与的延长线相交于点．求证：．∵点是中点∴又∵,在延长线上∴,在与中∴<XX省20XX初中毕业生学业考试<XX市>数学试卷>如图,在中,是边的中点,,分别是及其延长线上的点,．求证：．∵,∴．又∵,,∴．如图,中,,是中线．求证：．延长到,使,连结．在和中∴∴,在中,∵,∴∴,∴．<如果取中点用中位线也可证,目前还不能>如图,已知在中,是边上的中线,是上一点,延长交于,,求证：．延长到,使,连结∵,,∴∴．又∵,∴∴∴,∴．如图所示,在和中,、分别是、上的中线,且,,,求证．如图所示,分别延长、至、,使,．连接、,则,．因为,所以．在和中,,,,故,从而,．同理,,则,．因为,所以．在和中,,,,所以,从而,,故,则．在和中,,,,故．如图,在中,交于点,点是中点,交的延长线于点,交于点,若,求证：为的角平分线．延长到点,使,连结．在和中∴∴,∴,而∴又∵∴,∴∴为的角平分线．已知为的中线,,的平分线分别交于、交于．求证：．延长到,使,连结、．易证≌,∴,又∵,的平分线分别交于、交于,∴,利用证明≌,∴,在中,,∴．在中,,点为的中点,点、分别为、上的点,且．以线段、、为边能否构成一个三角形？若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？延长到点,使,连结、．在和中∴∴,∵∴∴在和中∴∴故以线段、、为边能构成一个直角三角形．如图所示,在中,是的中点,垂直于,如果,求证．延长至,使,连接、、．因为,,,则．从而,．而,,故,因此,即,则,即．因为,故,则．为Rt斜边上的中线,故．由此可得．<年XX省初中数学联赛复赛·初二组>在中,是斜边的中点,、分别在边、上,满足．若,,则线段的长度为_________．如图、延长至点,使得,联结、．由,有．又,．如图所示,,是的中点,,,求证．如图所示,设交于,要证明,实际上就是证明,而条件不好运用,我们可以倍长中线到,连接交于点,交于点．容易证明则,,从而,而,,故从而,故而故,亦即．版块二、中位线的应用是的中线,是的中点,的延长线交于．求证：．取的中点,连接易得,为的中点,所以,从而可证得：．如图所示,在中,,延长到,使,为的中点,连接、,求证．解法一：如图所示,延长到,使．容易证明,从而,而,故．注意到,,故,而公用,故,因此．解法二：如图所示,取的中点,连接．因为是的中点,是的中点,故是的中位线,从而,由可得,故,从而,．已知：ABCD是凸四边形,且AC<BD．E、F分别是AD、BC的中点,EF交AC于M；EF交BD于N,AC和BD交于G点．求证：∠GMN>∠GNM．取AB中点H,连接EH、FH．∵AE=ED,AH=BH∴EH∥BD,EH=BD∴∠GNM=∠HEF∵AH=BH,BF=CF∴FH∥AC,FH=AC∴∠GMN=∠HFE∵AC<BD∴FH<EH∴∠HEF<∠HFE∴∠GMN>∠GNM在中,,,以为底作等腰直角,是的中点,求证：且．过作交于∵∴又∵,,∴,∴∴又∵∴故∴且．如图,在五边形中,,,为的中点．求证：．取中点,中点．连结、、、,则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有,,,,∴,∵,∴．∴．同理可证．∵,∴．∴,即,∴,∴．<"祖冲之杯"数学竞赛试题,中国国家集训队试题>如图所示,是内的一点,,过作于,于,为的中点,求证．如图所示,取、的中点、,连接、、、,则有且,且．因为和都是直角三角形,故,,从而,．又因为,,而,且,所以,从而,故．<全国数学联合竞赛试题>如图所示,在中,为的中点,分别延长、到点、,使．过、分别作直线、的垂线,相交于点,设线段、的中点分别为、．求证：<1>；<2>．⑴如图所示,根据题意可知且,且,所以．而、分别是直角三角形、的斜边的中点,所以,,又已知,从而．<2>由<1>可知,则由可得．而、均为等腰三角形,所以．已知,如图四边形中,,、分别是和的中点,、、的延长线分别交于、两点．求证：．连接,取中点,连接、．∵,,∴,,同理,,∵,∴,∴∵,∴,,∴[点评]"题中有中点,莫忘中位线"．与此很相近的几何思想是"题中有中线,莫忘加倍延",这两个是常用几何思想,但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似功效．<20XX大兴安岭地区初中毕业学业考试>已知：在中,,动点绕的顶点逆时针旋转,且,连结．过、的中点、作直线,直线与直线、分别相交于点、．⑴如图1,当点旋转到的延长线上时,点恰好与点重合,取的中点,连结、,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得结论<不需证明>．⑵当点旋转到图2或图3中的位置时,与有何数量关系？请分别写出猜想,并任选一种情况证明．图2：图3：证明：在图2中,取的中点,连结、∵是的中点,是的中点∴,∴同理,,∴∵∴,∴∴证明图3的过程与证明图2过程相似．如图,AE⊥AB,BC⊥CD,且AE=AB,BC=CD,F为DE的中点,FM⊥AC．证明：FM=AC．过点E、D、B分别作AC的垂线,垂足分别为H、K、N．由基本图可知,△AEH≌△BAN,△BCN≌△CDK,故AH=BN=CK,EH=AN,DK=CN．又EF=DF,FM⊥AC,EH⊥AC,DK⊥AC,故FM=<EH+DK>=<AN+NC>=AC<1991年XX市初二数学双基赛题>已知：在△ABC中,分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM,和CAN,P是边BC的中点．求证：PM＝PN证明：取AB中点Q,AC中点R连结PQ,PR,MQ,NRPQ∥AC,PQ＝AC＝NRPR∥AB,PR＝MQ∠PQM＝∠PRN<两边分别垂直>∴△PQM△NRP,PM＝PN家庭作业家庭作业如图,在等腰中,,是的中点,过作,,且．求证：．本题相对例题简单一些．连结,则．∵,,∴∴,∴．如图,已知在中,是边上的中线,是上一点,且,延长交于,与相等吗？为什么？延长到,使,连结∵,,∴．∴．又∵,∴∴,而∴,故．如右下图,在中,若,,为边的中点．求证：．如右下图,则取边中点,连结、．由中位线可得,且．为斜边上的中线,∴．∴,又∵,即,∴,∴,∴．月测备选月