2022-2023学年四川省乐山市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年四川省乐山市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

2.

3.

4.当x→0时,x+x2+x3+x4为x的

A.等价无穷小B.2阶无穷小C.3阶无穷小D.4阶无穷小

5.设函数f(x)在[a，b]上连续，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的平面图形的面积等于（）。A.

B.

C.

D.

6.

7.

8.（）。A.2πB.πC.π/2D.π/4

9.

10.

11.

12.下列命题不正确的是()。

A.两个无穷大量之和仍为无穷大量

B.上万个无穷小量之和仍为无穷小量

C.两个无穷大量之积仍为无穷大量

D.两个有界变量之和仍为有界变量

13.

14.A.

B.

C.

D.

15.A.A.lnx+CB.-lnx+CC.f(lnx)+CD.-f(lnx)+C16.设曲线y=x-ex在点(0，-1)处与直线l相切，则直线l的斜率为()．A.A.∞B.1C.0D.-117.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

18.

A.

B.

C.

D.

19.微分方程y'+y=0的通解为y=A.e-x+C

B.-e-x+C

C.Ce-x

D.Cex

20.

A.f(x)

B.f(x)+C

C.f/(x)

D.f/(x)+C

21.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线y=f(x)的所有切线中()．A.A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴

22.曲线Y=x-3在点(1，1)处的切线的斜率为()．

A.-1

B.-2

C.-3

D.-4

23.A.

B.

C.e-x

D.

24.设y=e-2x，则y'于()．A.A.2e-2xB.e-2xC.-2e-2xD.-2e2x

25.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定敛散性

26.

27.

28.曲线的水平渐近线的方程是（）

A.y=2B.y=-2C.y=1D.y=-129.设函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f(x)=0有（）。A.一个实根B.两个实根C.三个实根D.无实根

30.函数在（-3，3）内展开成x的幂级数是（）。

A.

B.

C.

D.

31.

A.0

B.cos2-cos1

C.sin1-sin2

D.sin2-sin1

32.A.A.

B.

C.

D.

33.

34.

35.A.A.

B.

C.

D.

36.

37.设x是f(x)的一个原函数，则f(x)=A.A.x2/2B.2x2

C.1D.C(任意常数)38.A.A.

B.

C.

D.

39.

40.设f(x)为区间[a，b]上的连续函数，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的封闭图形的面积为()。A.

B.

C..

D.不能确定

二、填空题(50题)41.

42.若f'(x0)=1，f(x0)=0,则43.

44.

45.

46.47.48.49.

50.微分方程xy'=1的通解是_________。

51.

52.

53.

54.

55.曲线y=x3-3x+2的拐点是__________。

56.

57.已知当x→0时，-1与x2是等价无穷小，则a=________。58.微分方程y＝0的通解为．

59.

60.

61.62.

63.设函数y=x2lnx，则y=__________．

64.

65.设y=1nx，则y'=__________．

66.

67.68.

69.

70.

71.设f(x)=esinx，则=________。72.设z=sin(y+x2)，则．73.

74.

75.极限=________。

76.

77.

78.

79.80.幂级数

的收敛半径为________。

81.

82.过点(1，-1，0)且与直线平行的直线方程为______。

83.

84.

85.

86.设f(x，y)=sin(xy2)，则df(x，y)=______.

87.88.

89.

90.三、计算题(20题)91.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．92.

93.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

94.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

95.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．96.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则97.求曲线在点(1，3)处的切线方程．98.

99.证明：100.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

101.102.

103.

104.求微分方程的通解．105.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．106.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．107.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．108.

109.

110.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．四、解答题(10题)111.

112.

113.计算其中D是由y=x,x=0，y=1围成的平面区域．114.设F(x)为f(x)的一个原函数，且f(x)=xlnx，求F(x)．

115.

116.

117.

118.

119.求函数的二阶导数y''120.求微分方程y"-y'-2y=3ex的通解．五、高等数学(0题)121.已知函数f(x)在点x0处可导，则

=()。

A.一2f"(x0)

B.2f"(一x0)

C.2f"(x0)

D.不存在

六、解答题(0题)122.

参考答案

1.B如果y1，y2这两个特解是线性无关的，即≠C，则C1y1+C2y2是其方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解，故选B。

2.D

3.D解析：

4.A本题考查了等价无穷小的知识点。

5.C

6.C解析：

7.D

8.B

9.D解析：un、vn可能为任意数值，因此正项级数的比较判别法不能成立，可知应选D。

10.D

11.A

12.A∵f(x)→∞；g(x)→∞∴f(x)+g(x)是不定型，不一定是无穷大。

13.D

14.C

15.C

16.C本题考查的知识点为导数的几何意义．

由于y=x-ex，y'=1-ex，y'|x=0=0．由导数的几何意义可知，曲线y=x-ex在点(0，-1)处切线斜率为0，因此选C．

17.D特征方程为r2-2r+1=0，特征根为r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1为特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此选D。

18.D本题考查的知识点为导数运算．

因此选D．

19.C

20.A由不定积分的性质“先积分后求导，作用抵消”可知应选A．

21.A本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义．

由题设条件可知f(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．这表明曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线必定平行于x轴，可知A正确，C不正确．

如果曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线平行于y轴，其中ξ∈(0，1)，这条切线的斜率为∞，这表明f'(ξ)=∞为无穷大，此时说明f(x)在点x=ξ不可导．因此可知B，D都不正确．

本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选A．

有些考生选B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误．

22.C点(1，1)在曲线．由导数的几何意义可知，所求切线的斜率为-3，因此选C．

23.A

24.C本题考查的知识点为复合函数求导．

可知应选C．

25.A

26.C

27.A

28.D

29.B

30.B

31.A由于定积分

存在，它表示一个确定的数值，其导数为零，因此选A．

32.D

33.A

34.B

35.C

36.A解析：

37.Cx为f(x)的一个原函数，由原函数定义可知f(x)=x'=1，故选C。

38.Dy=cos3x，则y'=-sin3x*(3x)'=-3sin3x。因此选D。

39.A

40.B本题考查的知识点为定积分的几何意义。由定积分的几何意义可知应选B。常见的错误是选C。如果画个草图，则可以避免这类错误。

41.1/61/6解析：42.-1

43.

44.1/(1-x)2

45.

46.0

47.-2/π本题考查了对由参数方程确定的函数求导的知识点.

48.

本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系．

由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，－1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

49.50.y=lnx+C

51.00解析：

52.坐标原点坐标原点

53.1/e1/e解析：

54.

解析：

55.(02)

56.57.当x→0时，-1与x2等价，应满足所以当a=2时是等价的。58.y＝C．

本题考查的知识点为微分方程通解的概念．

微分方程为y＝0．

dy＝0．y＝C．

59.

60.(03)(0,3)解析：61.2．

本题考查的知识点为二次积分的计算．

由相应的二重积分的几何意义可知，所给二次积分的值等于长为1，宽为2的矩形的面积值，故为2．或由二次积分计算可知

62.本题考查的知识点为定积分的换元法．

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.71.由f(x)=esinx，则f"(x)=cosxesinx。再根据导数定义有=cosπesinπ=-1。72.2xcos(y+x2)本题考查的知识点为二元函数的偏导数计算．

可以令u=y+x2，得z=sinu，由复合函数偏导数的链式法则得

73.本题考查的知识点为微分的四则运算．

注意若u，v可微，则

74.75.因为所求极限中的x的变化趋势是趋近于无穷，因此它不是重要极限的形式，由于=0，即当x→∞时，为无穷小量，而cosx-1为有界函数，利用无穷小量性质知

76.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

77.3

78.

79.x--arctanx+C本题考查了不定积分的知识点。80.所给幂级数为不缺项情形，可知ρ=1，因此收敛半径R==1。

81.

本题考查的知识点为连续性与极限的关系，左极限、右极限与极限的关系．82.本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系。由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，-1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

83.3

84.

85.

86.y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dydf(x，y)=cos(xy2)d(xy2)=cos(xy2)(y2dx+2xydy)=y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy也可先求出，而得出df(x，y).

87.88.0

89.

90.

91.

列表：

说明

92.

93.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

94.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

95.

96.由等价无穷小量的定义可知97.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

98.

则

99.

100.

101.

102.

103.

104.105.函数的定义域为

注意

106.

107.108.由一阶线性微分方程通解公式有

109.

110.由二重积分物理意义知

111.

112.

113.本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序．

由于不能用初等函数形式表示，因此不能先对y积分，只能选取先对x积分后对y积分的次序．

通常都不能由初等函数形式表示，即不可积分，考生应该记住这两个常见的形式．114.由题设可得知本题考查的知识点为两个：原函数的概念和分部积分法