复数四则运算

复数的四则运算

，其中a叫做复数

的

、b叫做复数

的

.全体复数集记为

.1.对虚数单位i

的规定

①

i2=-1;②i可以与实数一起进行四则运算,并且加、乘法运算律不变.2.

我们把形如a+bi(其中

)的数a、bR称为复数,

记作：z=a+biz实部z虚部C一复习引入4.复数a+bi3.

由于i2=

=-1，知

i为-1的一个

、-1的另一个

;一般地，a(a>0)的平方根为

、(-i)2平方根平方根为-i-a(a>0)的平方根为一复习引入显然,实数集R是复数集C的真子集,即RC.5.

两个复数相等设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则z1=z2

,即实部等于实部,虚部等于虚部.特别地，a+bi=0

.a=b=0注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.即:若z1>z2z1,z2∈R且z1>z2.一复习引入复数的四则运算：1复数的加法与减法

（a+bi）±（c+di）=（a+c）±（b+d)i

即：两个复数相加（减）就是实数部与实数部，虚数部与虚数部分别相加（减）例.计算解:二新课－例题剖析复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+z2=OZ1+OZ2=OZ符合向量加法的平行四边形法则.1.复数加法运算的几何意义?问题探索结论：复数的加法可以按照向量的加法来进行,复数的和对应向量的和。xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.2.复数减法运算的几何意义?问题探索结论：复数的差Z2－Z1

与连接两个向量终点并指向被减数的向量对应.二、复数加法与减法运算的几何意义xyZ1Z2

Z

0(1)xyZ1Z2

0(2)

复数的和对应向量的和复数的差对应向量的差归纳总结变式1已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B对应复数是

-3+2i,0,2+i

，求点C对应的复数.解:复数-3+2i,2+i,0对应点A(-3,2),B(2,1),O(0,0),如图.

∴点C对应的复数是-1+3i

在平行四边形AOBC中,xyA

0CB几何意义运用第四个顶点对应的复数是6+4i，-4+6i，-2-i变式２

已知复平面内一平行四边形ABCＤ三个顶点对应复数是-3+2i,2+i,1+5i求第四个对应的复数.XyABD变式２

已知复平面内一平行四边形ABCＤ三个顶点对应复数是-3+2i,2+i,1+5i求第四个对应的复数.ABCO

xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.2.复数减法运算的几何意义?|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1,Z2的距离转化推广复平面内两点间距离xyZ1Z2

0设Z=a+bi,=c+di

它们在复平面内分别对应于点Z1,Z2

1Z2复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模转化推广(1)|z－(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|

已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.点A到点(1,2)的距离点A到点(－1,－2)的距离(3)|z－1|(4)|z+2i|点A到点(1,0)的距离点A到点(0,－2)的距离2、复数的乘法法则：

设，是任意两个复数，那么它们的积任何，交换律结合律分配律二新课－复数的运算3、复数的乘方：对任何及，有特殊的有：二新课－复数的运算一般地，如果，有例.计算解:二新课－例题剖析复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数.概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数。

共轭虚数：虚部不为0的共轭复数。

特别地，实数的共轭复数是实数本身。二新课－复数的运算练习.计算:(1+i)2=___;(1-i)2=___;2i-2ii-i1二新课－练习1如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到n∈Z.26、一些常用的计算结果三小结:a-bi在复平面内,如果点Z表示复数z,点

表示复数,那么点Z和关于实轴对称.复平面内与一对共轭复数对应的点Z和关于实轴对称.xyoxyoZ:a+bib-b:a-biZ:a+bib-b二新课－复数的运算

例

已知复数是的共轭复数，求x的值．

解：因为的共轭复数是，根据复数相等的定义，可得解得所以．

二新课－