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文档简介

2022-2023学年山西省太原市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.

2.

3.

4.

5.A.A.

B.

C.

D.

6.设函数f(x)=arcsinx,则f'(x)等于().

A.-sinx

B.cosx

C.

D.

7.

8.函数y=sinx在区间[0,π]上满足罗尔定理的ξ等于()。A.0

B.

C.

D.π

9.微分方程y'=1的通解为A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x10.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*应取().A.A.Axe2x

B.(Ax+B)e2x

C.Ax2e2x

D.x(Ax+B)e2x

11.

12.

13.当x→0时,x是ln(1+x2)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小

14.

15.

16.设函数y=f(x)二阶可导,且f(x)<0,f(x)<0,又△y=f(x+△x)-f(x),dy=f(x)△x,则当△x>0时,有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

17.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)18.在空间中,方程y=x2表示()A.xOy平面的曲线B.母线平行于Oy轴的抛物柱面C.母线平行于Oz轴的抛物柱面D.抛物面

19.

20.=()。A.

B.

C.

D.

21.

22.若,则下列命题中正确的有()。A.

B.

C.

D.

23.

A.2x-2B.2y+4C.2x+2y+2D.2y+4+x2-2x

24.函数y=x2-x+1在区间[-1,3]上满足拉格朗日中值定理的ξ等于().

A.-3/4B.0C.3/4D.125.A.0B.2C.2f(-1)D.2f(1)

26.

27.()。A.过原点且平行于X轴B.不过原点但平行于X轴C.过原点且垂直于X轴D.不过原点但垂直于X轴

28.A.

B.

C.-cotx+C

D.cotx+C

29.

30.

31.

32.图示结构中,F=10KN,1为圆杆,直径d=15mm,2为正方形截面杆,边长为a=20mm,a=30。,则各杆强度计算有误的一项为()。

A.1杆受力20KNB.2杆受力17.3KNC.1杆拉应力50MPaD.2杆压应力43.3MPa

33.设z=x3-3x-y,则它在点(1,0)处

A.取得极大值B.取得极小值C.无极值D.无法判定

34.

35.

A.

B.

C.

D.

36.设函数f(x)=(1+x)ex,则函数f(x)()。

A.有极小值B.有极大值C.既有极小值又有极大值D.无极值

37.

38.设在点x=1处连续,则a等于()。A.-1B.0C.1D.239.A.A.>0B.<0C.=0D.不存在40.设k>0,则级数为().A.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性与k有关二、填空题(50题)41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.y=ln(1+x2)的单调增加区间为______.50.51.不定积分=______.

52.设z=x2+y2-xy,则dz=__________。

53.

54.

55.56.57.

58.

59.

60.如果函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)=________。

61.62.设z=x2y+siny,=________。

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

20.

70.

71.

72.

73.74.空间直角坐标系中方程x2+y2=9表示的曲线是________。75.f(x)=lnx,则f[f(x)]=__________。

76.

77.

78.y'=x的通解为______.

79.

80.

81.

82.

83.过原点且与直线垂直的平面方程为______.84.85.∫(x2-1)dx=________。86.

87.

88.幂级数的收敛半径为________。89.90.三、计算题(20题)91.

92.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?

93.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.

94.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度

u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.95.96.97.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量,则98.证明:99.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.100.求微分方程的通解.101.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.102.

103.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.104.105.

106.求曲线在点(1,3)处的切线方程.107.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.108.求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.109.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为

S(x).

(1)写出S(x)的表达式;

(2)求S(x)的最大值.

110.

四、解答题(10题)111.

112.

113.设z=z(x,y)由方程e2-xy+y+z=0确定,求dz.

114.

115.

116.求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值.

117.求y"+2y'+y=2ex的通解.

118.

119.

120.

五、高等数学(0题)121.

在x=0处()。A.间断B.可导C.可微D.连续但不可导六、解答题(0题)122.设y=ln(1+x2),求dy。

参考答案

1.D

2.D

3.D

4.A解析:

5.D本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法:

6.C解析:本题考查的知识点为基本导数公式.

可知应选C.

7.C

8.C本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论。

9.D

10.D本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法:

若自由项f(x)=Pn(x)eαx,当α不为特征根时,可设特解为

y*=Qn(x)eαx,

Qn(x)为x的待定n次多项式.

当α为单特征根时,可设特解为

y*=xQn(x)eαx,

当α为二重特征根时,可设特解为

y*=x2Qn(x)eαx.

所给方程对应齐次方程的特征方程为

r2-3r+2=0.

特征根为r1=1,r2=2.

自由项f(x)=xe2x,相当于α=2为单特征根.又因为Pn(x)为一次式,因此应选D.

11.A

12.A

13.D解析:

14.C解析:

15.B

16.B

17.C

18.C方程F(x,y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面,称之为柱面方程,故选C。

19.D

20.D

21.B

22.B本题考查的知识点为级数收敛性的定义。

23.B解析:

24.D解析:本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论.

由于y=x2-x+1在[-1,3]上连续,在(-1,3)内可导,可知y在[-1,3]上满足拉格朗日中值定理,又由于y'=2x-1,因此必定存在ξ∈(-1,3),使

可知应选D.

25.C本题考查了定积分的性质的知识点。

26.B

27.C将原点(0,0,O)代入直线方程成等式,可知直线过原点(或由

28.C本题考查的知识点为不定积分基本公式.

29.B

30.A解析:

31.B

32.C

33.C

34.D

35.C

36.A因f(x)=(1+x)ex且处处可导,于是,f'(x)=ex+(1+x)·ex=(x+2)ex,令f'(x)=0得驻点x=-2;又x<-2时,f'(x)<0;x>-2时,f'(x)>0;从而f(x)在i=-2处取得极小值,且f(x)只有一个极值.

37.C

38.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。

由于y为分段函数,x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于

当x=1为y=f(x)的连续点时,应有存在,从而有,即

a+1=2。

可得:a=1,因此选C。

39.C被积函数sin5x为奇函数,积分区间[-1,1]为对称区间。由定积分的对称性质知选C。

40.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛.

由于为莱布尼茨级数,为条件收敛.而为莱布尼茨级数乘以数-k,可知应选A.

41.3

42.1+2ln2

43.-5-5解析:

44.

45.2

46.

47.2m2m解析:

48.-2-2解析:49.(0,+∞)本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性.

由于y=ln(1+x2),其定义域为(-∞,+∞).

又由于,令y'=0得唯一驻点x=0.

当x>0时,总有y'>0,从而y单调增加.

可知y=ln(1+x2)的单调增加区间为(0,+∞).

50.

51.

;本题考查的知识点为不定积分的换元积分法.

52.(2x-y)dx+(2y-x)dy

53.2

54.(02)(0,2)解析:

55.56.057.2xsinx2;本题考查的知识点为可变上限积分的求导.

58.

解析:

59.00解析:

60.f"(ξ)(b-a)由题目条件可知函数f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,因此必定存在一点ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。61.本题考查的知识点为不定积分的换元积分法。62.由于z=x2y+siny,可知。

63.2cos(x2+y2)(xdx+ydy)2cos(x2+y2)(xdx+ydy)解析:64.0.

本题考查的知识点为定积分的性质.

积分区间为对称区间,被积函数为奇函数,因此

65.y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)解析:

66.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数.

67.00解析:

68.解析:

69.

70.

71.4π本题考查了二重积分的知识点。

72.2/3

73.74.以Oz为轴的圆柱面方程。F(x,y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面,称之为柱面方程,方程x2+y2=32=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程。

75.则

76.-2-2解析:

77.

解析:

78.本题考查的知识点为:求解可分离变量的微分方程.

由于y'=x,可知

79.

80.

81.

82.83.2x+y-3z=0本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系.

由于已知直线与所求平面垂直,可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n.由于s=(2,1,-3),因此可取n=(2,1,-3).由于平面过原点,由平面的点法式方程,可知所求平面方程为2x+y-3z=0

84.本题考查的知识点为定积分运算.

85.

86.

本题考查的知识点为可分离变量方程的求解.

可分离变量方程求解的一般方法为:

(1)变量分离;

(2)两端积分.

87.88.因为级数为,所以用比值判别法有当<1时收敛,即x2<2。收敛区间为,故收敛半径R=。89.e.

本题考查的知识点为极限的运算.

90.ln(1+x)本题考查的知识点为可变上限积分求导.

91.

92.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%

93.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,

94.由二重积分物理意义知

95.

96.

97.由等价无穷小量的定义可知

98.

99.函数的定义域为

注意

100.

101.

102.

103.

104.

105.由一阶线性微分方程通解公式有

106.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点

(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为

107.

列表:

说明

108.

109.

110.

111.

112.

113.

;本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数与全微分.

求二元隐函数的偏导数有两种方法:

(1)利用隐函数偏导数公式:若F(x,y,z)=0确定z=z(x,y),F

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