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文档简介
2022-2023学年山西省太原市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________
一、单选题(40题)1.
2.
3.
4.
5.A.A.
B.
C.
D.
6.设函数f(x)=arcsinx,则f'(x)等于().
A.-sinx
B.cosx
C.
D.
7.
8.函数y=sinx在区间[0,π]上满足罗尔定理的ξ等于()。A.0
B.
C.
D.π
9.微分方程y'=1的通解为A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x10.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*应取().A.A.Axe2x
B.(Ax+B)e2x
C.Ax2e2x
D.x(Ax+B)e2x
11.
12.
13.当x→0时,x是ln(1+x2)的
A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小
14.
15.
16.设函数y=f(x)二阶可导,且f(x)<0,f(x)<0,又△y=f(x+△x)-f(x),dy=f(x)△x,则当△x>0时,有()A.△y>dy>0
B.△<dy<0
C.dy>Ay>0
D.dy<△y<0
17.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)18.在空间中,方程y=x2表示()A.xOy平面的曲线B.母线平行于Oy轴的抛物柱面C.母线平行于Oz轴的抛物柱面D.抛物面
19.
20.=()。A.
B.
C.
D.
21.
22.若,则下列命题中正确的有()。A.
B.
C.
D.
23.
A.2x-2B.2y+4C.2x+2y+2D.2y+4+x2-2x
24.函数y=x2-x+1在区间[-1,3]上满足拉格朗日中值定理的ξ等于().
A.-3/4B.0C.3/4D.125.A.0B.2C.2f(-1)D.2f(1)
26.
27.()。A.过原点且平行于X轴B.不过原点但平行于X轴C.过原点且垂直于X轴D.不过原点但垂直于X轴
28.A.
B.
C.-cotx+C
D.cotx+C
29.
30.
31.
32.图示结构中,F=10KN,1为圆杆,直径d=15mm,2为正方形截面杆,边长为a=20mm,a=30。,则各杆强度计算有误的一项为()。
A.1杆受力20KNB.2杆受力17.3KNC.1杆拉应力50MPaD.2杆压应力43.3MPa
33.设z=x3-3x-y,则它在点(1,0)处
A.取得极大值B.取得极小值C.无极值D.无法判定
34.
35.
A.
B.
C.
D.
36.设函数f(x)=(1+x)ex,则函数f(x)()。
A.有极小值B.有极大值C.既有极小值又有极大值D.无极值
37.
38.设在点x=1处连续,则a等于()。A.-1B.0C.1D.239.A.A.>0B.<0C.=0D.不存在40.设k>0,则级数为().A.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性与k有关二、填空题(50题)41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.y=ln(1+x2)的单调增加区间为______.50.51.不定积分=______.
52.设z=x2+y2-xy,则dz=__________。
53.
54.
55.56.57.
58.
59.
60.如果函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)=________。
61.62.设z=x2y+siny,=________。
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
20.
70.
71.
72.
73.74.空间直角坐标系中方程x2+y2=9表示的曲线是________。75.f(x)=lnx,则f[f(x)]=__________。
76.
77.
78.y'=x的通解为______.
79.
80.
81.
82.
83.过原点且与直线垂直的平面方程为______.84.85.∫(x2-1)dx=________。86.
87.
88.幂级数的收敛半径为________。89.90.三、计算题(20题)91.
92.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
93.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
94.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.95.96.97.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量,则98.证明:99.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.100.求微分方程的通解.101.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.102.
103.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.104.105.
106.求曲线在点(1,3)处的切线方程.107.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.108.求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.109.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
110.
四、解答题(10题)111.
112.
113.设z=z(x,y)由方程e2-xy+y+z=0确定,求dz.
114.
115.
116.求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值.
117.求y"+2y'+y=2ex的通解.
118.
119.
120.
五、高等数学(0题)121.
在x=0处()。A.间断B.可导C.可微D.连续但不可导六、解答题(0题)122.设y=ln(1+x2),求dy。
参考答案
1.D
2.D
3.D
4.A解析:
5.D本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法:
6.C解析:本题考查的知识点为基本导数公式.
可知应选C.
7.C
8.C本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论。
9.D
10.D本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法:
若自由项f(x)=Pn(x)eαx,当α不为特征根时,可设特解为
y*=Qn(x)eαx,
Qn(x)为x的待定n次多项式.
当α为单特征根时,可设特解为
y*=xQn(x)eαx,
当α为二重特征根时,可设特解为
y*=x2Qn(x)eαx.
所给方程对应齐次方程的特征方程为
r2-3r+2=0.
特征根为r1=1,r2=2.
自由项f(x)=xe2x,相当于α=2为单特征根.又因为Pn(x)为一次式,因此应选D.
11.A
12.A
13.D解析:
14.C解析:
15.B
16.B
17.C
18.C方程F(x,y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面,称之为柱面方程,故选C。
19.D
20.D
21.B
22.B本题考查的知识点为级数收敛性的定义。
23.B解析:
24.D解析:本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论.
由于y=x2-x+1在[-1,3]上连续,在(-1,3)内可导,可知y在[-1,3]上满足拉格朗日中值定理,又由于y'=2x-1,因此必定存在ξ∈(-1,3),使
可知应选D.
25.C本题考查了定积分的性质的知识点。
26.B
27.C将原点(0,0,O)代入直线方程成等式,可知直线过原点(或由
28.C本题考查的知识点为不定积分基本公式.
29.B
30.A解析:
31.B
32.C
33.C
34.D
35.C
36.A因f(x)=(1+x)ex且处处可导,于是,f'(x)=ex+(1+x)·ex=(x+2)ex,令f'(x)=0得驻点x=-2;又x<-2时,f'(x)<0;x>-2时,f'(x)>0;从而f(x)在i=-2处取得极小值,且f(x)只有一个极值.
37.C
38.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。
由于y为分段函数,x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于
当x=1为y=f(x)的连续点时,应有存在,从而有,即
a+1=2。
可得:a=1,因此选C。
39.C被积函数sin5x为奇函数,积分区间[-1,1]为对称区间。由定积分的对称性质知选C。
40.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛.
由于为莱布尼茨级数,为条件收敛.而为莱布尼茨级数乘以数-k,可知应选A.
41.3
42.1+2ln2
43.-5-5解析:
44.
45.2
46.
47.2m2m解析:
48.-2-2解析:49.(0,+∞)本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性.
由于y=ln(1+x2),其定义域为(-∞,+∞).
又由于,令y'=0得唯一驻点x=0.
当x>0时,总有y'>0,从而y单调增加.
可知y=ln(1+x2)的单调增加区间为(0,+∞).
50.
51.
;本题考查的知识点为不定积分的换元积分法.
52.(2x-y)dx+(2y-x)dy
53.2
54.(02)(0,2)解析:
55.56.057.2xsinx2;本题考查的知识点为可变上限积分的求导.
58.
解析:
59.00解析:
60.f"(ξ)(b-a)由题目条件可知函数f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,因此必定存在一点ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。61.本题考查的知识点为不定积分的换元积分法。62.由于z=x2y+siny,可知。
63.2cos(x2+y2)(xdx+ydy)2cos(x2+y2)(xdx+ydy)解析:64.0.
本题考查的知识点为定积分的性质.
积分区间为对称区间,被积函数为奇函数,因此
65.y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)解析:
66.
本题考查的知识点为二元函数的偏导数.
67.00解析:
68.解析:
69.
70.
71.4π本题考查了二重积分的知识点。
72.2/3
73.74.以Oz为轴的圆柱面方程。F(x,y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面,称之为柱面方程,方程x2+y2=32=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程。
75.则
76.-2-2解析:
77.
解析:
78.本题考查的知识点为:求解可分离变量的微分方程.
由于y'=x,可知
79.
80.
81.
82.83.2x+y-3z=0本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系.
由于已知直线与所求平面垂直,可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n.由于s=(2,1,-3),因此可取n=(2,1,-3).由于平面过原点,由平面的点法式方程,可知所求平面方程为2x+y-3z=0
84.本题考查的知识点为定积分运算.
85.
86.
本题考查的知识点为可分离变量方程的求解.
可分离变量方程求解的一般方法为:
(1)变量分离;
(2)两端积分.
87.88.因为级数为,所以用比值判别法有当<1时收敛,即x2<2。收敛区间为,故收敛半径R=。89.e.
本题考查的知识点为极限的运算.
90.ln(1+x)本题考查的知识点为可变上限积分求导.
91.
92.需求规律为Q=100ep-2.25p
∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p,
∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
93.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
94.由二重积分物理意义知
95.
96.
97.由等价无穷小量的定义可知
98.
99.函数的定义域为
注意
100.
101.
102.
则
103.
104.
105.由一阶线性微分方程通解公式有
106.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
107.
列表:
说明
108.
109.
110.
111.
112.
113.
;本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数与全微分.
求二元隐函数的偏导数有两种方法:
(1)利用隐函数偏导数公式:若F(x,y,z)=0确定z=z(x,y),F
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