守恒、定轴转动功能原理

转动定律例题一三、转动定律应用选例bIM合外力矩应由各分力矩进行合成。合外力矩与合角加速度方向一致。bM在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为复。MMb与时刻对应，何时何时b则何时，M00b则何时M恒定恒定。例

匀直细杆一端为轴水平静止释放OLm,qmgMmgL21qcos,m2I31LbMI23Lgqcos2pq,q0,bMmgL21,23LgM0,b0转动定律例题二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Iba=RbI=mR22转动平动线-角联立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考虑有转动摩擦力矩

Mr,则转动式为(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ib再联立求解。转动定律例题三例Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度b细绳线加速度a求解法提要（A）bMIFR21mR22FmRabR2Fm（B）bIRT21mR2bam1gTm1m1Rbbm121mm1+()RgabRm121mm1+()g转动定律例题四Rm1m2m例已知m=5kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2baa解法提要对m1m2m分别应用和质点运动和刚体转动定律m1

g–T1=

m1aT2–

m2

g=

m2a(

T1

–

T2)

R=Ib及a=RbI=mR221得b

=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量qdqt00dtw(m1-m2)gR(m1+m2+m2)0ttdtwtb故tdqdwqdwtd由,qt(m1-m2)gR(m1+m2+m2)222

(rad)gt求()tqq物体从静止开始运动时，滑轮的转动方程转动定律例题五例已知qqmB()A()LmLL2LOOq从等倾角处静止释放两匀直细杆地面求两者瞬时角加速度之比bb解法提要MbIbbMIMI213singmLq1mLsingmLq1mL32122根据1L1LLL2短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关第三节刚体定轴转动的功能关系刚体定轴转动的功能关系4-3ssssrelationofworkwithenergyinrotationofrigid-bodywOviviririrmirmi∑刚体中任一质元的速率rmirmiviviririw该质元的动能Erik21rmivi221rmiririw22对所有质元的动能求和EkErik21rmiriri2w2()∑转动惯量

IEk21Iw2得刚体转动动能公式一、转动动能刚体定轴转动的功能关系刚体定轴转动的功能关系Relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body力矩的功二、力矩的功和功率OqdjPrrdtF力

的元功FdAFrdcosFrd2pj()FrdrdsinjFrsinjqdMqddAMqd力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩的作用下，刚体由转到，q12qMM作的总功为dAAq12qMqd力矩的瞬时功率NAddtwMqddtM力矩的功算例求拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小RrOrdmmd2p()解法提要总摩擦力矩是Mrr各微环带摩擦元力矩的积分Mrd环带面积dsdr环带质量dmpr2dmdsd环带受摩擦力gmmdmfdr环带受摩擦力矩Mrdfdrr2mmgR2r2dr圆盘受总摩擦力矩MrMrd转一周摩擦力矩的总功A0p2Mrdq0R2mmgR2r2drA0p2Mrdq0p2dq34pmmgR得例已知粗糙水平面mmmRO转轴d平放一圆盘刚体的动能定理三、刚体转动的动能定理回忆质点的动能定理mA21v21mv202刚体转动的动能定理？由

力矩的元功dAqdM转动定律bIMdAbIqdIwdtdqdIqdtdwdIwwd则AdAqdMq0qw0wIwwd2121202IwIw合外力矩的功转动动能的增量刚体转动的动能定理称为动能定理例题一例R1mqO2m匀质圆盘盘缘另固连一质点水平静止释放通过盘心垂直盘面的水平轴求圆盘下摆时质点的03q2m角速度wat、切向、法向加速度na的大小解法提要对1m2m系统外力矩的功系统转动动能增量w2I21m1其中I212R+m22RR2msing03得w2m2g()+m12m2R由转动定律得bIMcosR2mg03I32mg()+m12m2R则atbR32mg+m12m2,Rnaw22m2g+m12m2动能定理例题二解法提要外力矩作的总功gmA02pL2qdcosq从水平摆至垂直由Aw212I0w212I得w2AI代入得wgmL2LmI231本题gL3利用vrw的关系还可算出此时杆上各点的线速度已知例水平位置静止释放求摆至垂直位置时杆的wGqw00wgmO？Lm,()匀直细杆一端为轴动能定理例题三解法提要Lgm392段，外力矩作正功aA2qdcos02paqa段，外力矩作负功b2Aqdcos02pqLgm132bb41A∑AiLgm合外力矩的功aGbG从水平摆至垂直由Aw212I0w212I得w2AI转轴对质心轴的位移

L4rIIc+mr2Lm2487代入得w247gL已知例求摆至垂直位置时杆的wabL1434LbGaGqw00w14gm34gmO水平位置静止释放含平动的转动问题四、含的功能原理质点平动刚体定轴转动+rE机械A外力A非保守内力矩力力矩(E动+)E势(E动+)E势00()E平动+E转动()E+E00平动转动系统（轮、绳、重物、地球）左例忽略摩擦A外力力矩0,A非保守内力矩力0E平动E转动E势,,,E0平动E0转动E势0,,I++m1v212ghm121w200gm1h0可求a,v,b,w或()hh0此外RmI212,av22()hh0,vwRabR,00势ghhv00vawbOm1m1mR第三节刚体的角动量守恒定律4-4sssslawofconservationofangularmomentumofrigid-body刚体的角动量刚体的角动量定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加

所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量mri其角动量大小Limriviriw2mririvimriOriwviriw全部质元的总角动量L∑Liw∑2mriri()wI对质量连续分布的刚体L∑LiwwIm2r()dLwI定轴转动刚体的角动量大小方向L与同绕向wLw或与沿轴同指向角动量刚体的角动量定理wbML1.刚体的角动量定理IItdd()dtdtddIw合外力矩角动量的时间变化率（微分形式）（积分形式）L112d2121dt2ttMLLLLIwIw冲量矩角动量的增量刚体的角动量定理刚体的角动量定理回忆质点的角动量定理（微分形式）（积分形式）0ttdLMdtL0LLL0ddtLrFM刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体的角动量定理由MLtdd刚体所受合外力矩M0若则Ltdd0即LIw常矢量

当刚体所受的合外力矩等于零时，MIw

刚体的角动量保持不变。刚体的角动量守恒定律角动量守恒现象举例适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子...为什么银河系呈旋臂盘形结构？为什么猫从高处落下时总能四脚着地？体操运动员的“晚旋”芭蕾、花样滑冰、跳水…...为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？茹科夫斯基凳实验直升飞机防旋措施直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干CH47)165用尾浆（美洲豹SA300）（海豚Ⅱ）角动量守恒的另一类现象角动量守恒的现象变小则Iw变大，乘积保持不变，Iw变大则Iw变小。收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，乘积保持不变，Iw变大则Iw变小。收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w花样滑冰收臂大小Iw张臂Iw大小先使自己转动起来收臂大小Iw共轴系统的角动量守恒共轴系统若0IMwS外则LSi恒矢量Sii轮、转台与人系统I轮I人台初态全静LSi初0人沿某一转向拨动轮子w轮末态w人台I轮w轮LSi末+I人台w人台LSi初0得I人台w人台I轮w轮导致人台反向转动守恒例题一wA静已知例AIBIA、B两轮共轴A以wA作惯性转动解法提要以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动量wAAI+0()AI+BIwAB末态角动量得wABwAAI()AI+BI求两轮啮合后一起作惯性转动的角速度wABwAB守恒例题二解法提要以弹、棒为系统击入阶段子弹击入木棒瞬间，系统在铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。wv0+m1v0lm1l+I该瞬间之始该瞬间之末弹棒弹棒已知例弹嵌于棒Olm2v0m1子弹03上摆最大转角求v0木棒上摆阶段弹嵌定于棒内与棒一起上摆，非保守内力的功为零，由系统动能定理m1gcosl(103(+21m2gcosl(103(外力（重力）的功A外0上摆末动能()m2121v+21wI2上摆初动能31vwlIm2l2,其中联立解得6v0m11g(2l3)(())m2+2m1m2+3m1守恒例题三求满足什么条件时，小