2022-2023学年安徽省宣城市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年安徽省宣城市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.f(x)在[a，b]上可导是f(x)在[a，b]上可积的()。

A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件

2.设二元函数z=xy，则点P0(0，0)A.为z的驻点，但不为极值点B.为z的驻点，且为极大值点C.为z的驻点，且为极小值点D.不为z的驻点，也不为极值点

3.

4.A.A.

B.

C.

D.

5.微分方程y"-y'=0的通解为()。A.

B.

C.

D.

6.

7.函数f(x)=2x3-9x2+12x-3单调减少的区间为A.(-∞，1]B.[1，2]C.[2，+∞)D.[1，+∞)

8.A.

B.

C.

D.

9.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为（）A.A.2B.-2C.3D.-3

10.设y=cos4x，则dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx

11.曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为()

A.-1B.-2C.-3D.-4

12.

13.A.-1

B.1

C.

D.2

14.设函数/(x)=cosx，则

A.1

B.0

C.

D.-1

15.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，又有铅直渐近线

16.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，又有铅直渐近线

17.曲线的水平渐近线的方程是（）

A.y=2B.y=-2C.y=1D.y=-1

18.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

19.

20.设y=5x，则y'等于()．

A.A.

B.

C.

D.

21.

22.

23.若f(x)为[a，b]上的连续函数，（）。A.小于0B.大于0C.等于0D.不确定

24.A.0B.1C.2D.任意值

25.A.3B.2C.1D.0

26.

27.

28.

29.A.A.＞0B.＜0C.=0D.不存在

30.（）。A.-2B.-1C.0D.2

31.下列关于构建的几何形状说法不正确的是()。

A.轴线为直线的杆称为直杆B.轴线为曲线的杆称为曲杆C.等截面的直杆称为等直杆D.横截面大小不等的杆称为截面杆

32.函数等于()．

A.0B.1C.2D.不存在

33.函数y=sinx在区间[0，π]上满足罗尔定理的ξ等于()．A.A.0B.π/4C.π/2D.π

34.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)

35.

36.

37.设y=2^x，则dy等于()．

A.x.2x-1dx

B.2x-1dx

C.2xdx

D.2xln2dx

38.

39.

40.设f(x)在点x0处连续，则下面命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

41.平面的位置关系为()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合

42.

43.曲线y＝1nx在点(e，1)处切线的斜率为（）．A.A.e2

B.eC.1D.1/e

44.

45.

46.（）。A.sinx＋ccosx

B.sinx-xcosx

C.xcosx-sinx

D.-(sinx＋xcosx)

47.

48.A.(1/3)x3

B.x2

C.2xD.(1/2)x49.

50.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-2二、填空题(20题)51.已知平面π：2x+y一3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为________．

52.

53.54.55.

56.

57.58.过点(1，-1，0)且与直线平行的直线方程为______。59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.68.曲线y=x3-6x的拐点坐标为______．69.

70.

三、计算题(20题)71.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

72.73.求微分方程的通解．74.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．75.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．76.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则77.78.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．79.证明：80.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．81.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

82.

83.

84.85.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．86.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．87.

88.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

89.

90.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

四、解答题(10题)91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.五、高等数学(0题)101.若在(a，b)内f'(x)<0，f''(x)<0，则f(x)在(a，b)内()。A.单减，凸B.单增，凹C.单减，凹D.单增，凸六、解答题(0题)102.(本题满分8分)

参考答案

1.B∵可导一定连续，连续一定可积；反之不一定。∴可导是可积的充分条件

2.A

3.D解析：un、vn可能为任意数值，因此正项级数的比较判别法不能成立，可知应选D。

4.D本题考查的知识点为偏导数的计算．是关于y的幂函数，因此故应选D．

5.B本题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解。微分方程为y"-y'=0特征方程为r2-r=0特征根为r1=1，r2=0方程的通解为y=C1ex+c2可知应选B。

6.D解析：

7.Bf(x)=2x3-9x2+12x-3的定义域为(-∞，+∞)

f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。

令f'(x)=0得驻点x1=1，x2=2。

当x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调增加。

当1＜x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调减少。

当x＞2时，f'(x)＞0，f(x)单调增加。因此知应选B。

8.B

9.C点(-1，0)在曲线y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由导数的几何意义可知，曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为3，所以选C．

10.B

11.C由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为-3，故选C。

12.C

13.A

14.D

15.D

16.D本题考查了曲线的渐近线的知识点，

17.D

18.A本题考查的知识点为无穷级数的收敛性。

19.C

20.C本题考查的知识点为基本初等函数的求导．

y=5x，y'=5xln5，因此应选C．

21.D解析：

22.B

23.C

24.B

25.A

26.A

27.C

28.B

29.C被积函数sin5x为奇函数，积分区间[-1，1]为对称区间。由定积分的对称性质知选C。

30.A

31.D

32.C解析：

33.C本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论．

由于y=sinx在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且y|x=0=0=y|x=π，可知y=sinx在[0，π]上满足罗尔定理，因此必定存在ξ∈(0，π)，使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0，从而应有．

故知应选C．

34.C

35.C

36.D

37.D南微分的基本公式可知，因此选D．

38.A

39.D

40.C本题考查的知识点有两个：连续性与极限的关系；连续性与可导的关系．

连续性的定义包含三个要素：若f(x)在点x0处连续，则

(1)f(x)在点x0处必定有定义；

(2)必定存在；

(3)

由此可知所给命题C正确，A，B不正确．

注意连续性与可导的关系：可导必定连续；连续不一定可导，可知命题D不正确．故知，应选C．

本题常见的错误是选D．这是由于考生没有正确理解可导与连续的关系．

若f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必定连续．

但是其逆命题不成立．

41.A本题考查的知识点为两平面的关系。两平面的关系可由两平面的法向量，n1，n2间的关系确定。若n1⊥n2，则两平面必定垂直．若时，两平面平行；

当时，两平面重合。若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交。由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，应选A。

42.A解析：

43.D本题考查的知识点为导数的几何意义．

由导数的几何意义可知，若y＝f(x)在点x0处可导，则曲线)，y＝f(x)在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且切线的斜率为f(x0)．

由于y＝lnx，可知可知应选D．

44.A解析：

45.A

46.A

47.C

48.C本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。

Y=x2+1,(dy)/(dx)=2x

49.C

50.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

51.

本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系．

由于平面π与直线1垂直，则直线的方向向量s必定平行于平面的法向量n，因此可以取

52.(1/2)x2-2x+ln｜x｜+C

53.解析：54.(－∞，＋∞)．

本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

若ρ＝0，则收敛半径R＝＋∞，收敛区间为(－∞，＋∞)．

若ρ＝＋∞，则收敛半径R＝0，级数仅在点x＝0收敛．

55.

56.(-22)(-2，2)解析：

57.

本题考查的知识点为定积分的换元法．

解法1

解法2

令t＝1＋x2，则dt＝2xdx．

当x＝1时，t＝2；当x＝2时，t＝5．

这里的错误在于进行定积分变量替换，积分区间没做变化．58.本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系。由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，-1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

59.2本题考查的知识点为极限运算．

由于所给极限为“”型极限，由极限四则运算法则有

60.y=1/2y=1/2解析：

61.

62.

63.

64.

解析：

65.（-35）（-3，5）解析：

66.

67.68.(0，0)本题考查的知识点为求曲线的拐点．

依求曲线拐点的一般步骤，只需

(1)先求出y"．

(2)令y"=0得出x1，…，xk．

(3)判定在点x1，x2，…，xk两侧，y"的符号是否异号．若在xk的两侧y"异号，则点(xk，f(xk)为曲线y=f(x)的拐点．

y=x3-6x，

y'=3x2-6，y"=6x．

令y"=0，得到x=0．当x=0时，y=0．

当x＜0时，y"＜0；当x＞0时，y"＞0．因此点(0，0)为曲线y=x3-6x的拐点．

本题出现较多的错误为：填x=0．这个错误产生的原因是对曲线拐点的概念不清楚．拐点的定义是：连续曲线y=f(x)上的凸与凹的分界点称之为曲线的拐点．其一般形式为(x0，f(x0))，这是应该引起注意的，也就是当判定y"在x0的两侧异号之后，再求出f(x0)，则拐点为(x0，f(x0))．

注意极值点与拐点的不同之处!

69.

70.1

71.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

72.

73.

74.

75.76.由等价无穷小量的定义可知

77.

78.

79.

80.由二重积分物理意义知

81.

82.83.由一阶线性微分方程通解公式有

84.

85.函数的定义域为

注意

86.

列表：

说明

87.

则

88.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点