线性代数教案-第五章

第五章相似矩阵及二 在这一章中,我们主要讨论方阵的相似对角化和二次型的化简的问题,其中会用到向量的内积,特征值和特征向量的概念.我们在这一节中介绍向量的内积的概念.在平面解析几何里,我们有向量的长度,夹角的概念,我们希望在向量空间中也能够定义长度,夹角的概念.通过引入向量的内积的概念,我们就能够利用内积来定义向量空间中的向量的长度和夹角概念.我们首先来看平面解系几何里内积是怎么定义的.在平面中,QPQOG,GJJG JJG分别G,GJJG JJG分别是向量OP和向量的数量积(即内积)OPOQ OPOQcos,JJG JJG的长度,是向量OP和OQ的夹角JJG x1 JG y1 JGJJG若OPx,OQy,则可以证明OPOQx1y1x2y2JJGGOPx JJJGGOPx OP的长度JJG

OPJJG

G若OP0,OQ0,则cosJJGJJG,所以arccosJJGJJGOP OP所以在平面解系几何里,向量的长度和夹角都可用向量的数量积表示.下面我们把平面上的数量积的概念推广到向量空间中,这就是我们下面要介绍的内积的概念.我们来看内积的定# #a bn n

1 n个向量的内积就是把两个向量的对应分量相乘相加利用内积的定义,我们可以证明下面的简单的内积的性质性质.设,\n,是实数(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)0,0.即0,0由(i(ii)知(,(,(利用上面的性质可以证 不等式类似的由(i),(iii)知(((,利用上面的性质可以证 不等式不等式 (,)2(,)(,)引入了向量的内积的概念以后,我们就可以定义向量的长度和夹角的概念.我们先来看向量a1a2(,(,a2"1n

,称为向量的长度(或范数),其中 #a an1,则称为单位向量关于向量的长度,我们有下面的简单性质性质(i)0,00(对于平面上的向量来说 这个性质的几何意义,其中是实数,n维向量.(注意这个性质与行列式的性质的区别.An阶矩阵,是实数,则|(对于平面上的向量来说 这个性质的几何意义三角不等式 是两边之和小于等于第三边证(i)与(ii)是显然的.下面我们证明(iii).222(,)(,)(,)(,)(,)(,)2(,)(,((,)(,(,) (,)()2(,若0,0,则 称为向量与在这个定义里我们需要说明这个定义是合理的.因为我们知道|cos|1,所以我们需要证明()1.根据施瓦茨不等式,我们有()2,).所以(,)(,( .所以((,)(,在平面解系几何里我们有垂直的概念,下面我们把垂直这个概念推广到向量空间中去,这就如果两个向量做内积等于零,我们就称这两个向量正交.若(0,则称正交注意:1.零向量与任何向量正2.若0,0,则正交(0arccos(,)90D两个非零向量正交当且仅当它们的夹角是90D.所以正交这个概念是向量垂直的推广下面我们讨论正交向量组.所谓正交向量组是指一组两两正交的非零向量定义.正交向量组是指一组两两正交的非零向量注意正交向量组里的每个向量都要求是非零向量.关于正交向量组我们有下面的简单性质定理.n维向量1,",m是一个正交向量组,则1线性无关.证:k11kmm0.k1km0则0i0)ik11kmmk1i,1km(i,m,(1im但是(i,j0,ij.k1i,1km(i,mki(i,i0因为(i,i)0,所以ki0,(1im).所以1,",m线性无关. 在平面解系几何里我们有直角坐标系的概念,引进了正交向量组的概念以后,我们就可以把直角坐标系的概念推广到向量空间中去,这就是我们下面要引入的规范正交基的概念.我们 定义.设,",是向量空间V(\n的一个基,则称1,",r是V的一个规范正交

1,",r是正交向量组,且都是单位向量 ,取定向量空间的一组基相当于是取定了向量空间的一个坐标系,那么在向量空间中取定一组规范正交基,相当于是取定了向量空间的一个直角坐标系.0#例.若e1(i,(1in.则e",e是\n的一个规范正交基 #00关于规范正交基,我们有下面简单的性质性质.设则(i,ai

是V的一个规范正交基,V

a1ar证:a11"arr,所以(i,)(i,a11"arr)ai(i,i)ai. 所以如果在向量空间中取定了一个规范正交基,那么向量空间中的向量在这组规范正交基下面我们讨论如何通过向量空间的取定的基来构造这个向量空间的规范正交基.我们有下定理.设1,",r是向量空间V的一个基

(,22 1令

(1,(,

(,2

,"(, r(r,)1(r,) r r1

r1,"r两两正交,1,"k与1,",k等价(1kr11rr1r这个定理在这里我们就不证了 要把这个定理的结论记住再把它们单位化,令1,"1.则,"11rr1r这个定理在这里我们就不证了 要把这个定理的结论记住1

1

正交化过程例.设11

0

0.试 正交化过程把这组向量规范正交化01 01

0 0解:正交化:111 1 1(, 1 2222 1102112(1, 1 0 12 1 1 12

(, (, 0111

113 3(3,1)1(3,2)2 232 0 1 3 11 2

3单位化:令

11

2

31,3

3

1 21

2

3

0 1 13例.已知

1.求一组非零向量2

,使,

1 1解:,满足方程(XTX

1 0 1

x1x2x30.求得基础解系为10

把,正交化,令,(1,2).则 1

(1,1在这节课的最后我们引进正交矩阵和正交变换的概念.我们先来看正交矩阵的定义定义.nAATAE,A为正交矩阵.1.A1,",n为正交矩阵1,",n是\n的一组规范正交基i1,(1in,且若ij,则(i,j0ATAEAATEA为正交阵,A1AT也是正交阵,且|A|1或AB都是正交阵,AB也是正交阵证:1.根据定义,A(,",)为正交矩阵 #1( )ATA n (,T 若i 0若iATAE,A1AT.ATAA1AEATAE|AT||A||ATA|1.所以|A|1或ATAE,BTBE所以(AB)TABBTATABBTBE 定义.Pn阶矩阵,X,Y\n,则关系式YPXX到变量Y的线性变换,P是可逆矩阵,则称YPX是可逆的线性变换,P是正交矩阵,则称YPX为正关于正交变换,我们有下面的非常好的性质性质.设YPX为正交变换,YXXTPTXTPTXT证:Y

(PX)T

X 这一节里最重要的就是关 正交化的定理, 要 正交化过程牢牢记住2 我们前面已我们前面已 了,这一章我们主要讨论方阵的对角化问题和二次型的化简问题,二次的化简问题本质上也是方阵的对角化问题.值和特征向量的问题.这一节我们讨论方阵的特征值和特征向量,我们先来看它们的定义.定义.An阶矩阵,如果0\n,A,A的特征值,A的属于特征值的一个特征向量.nA的特征值AXX有非零解(对应的特征向量就是这个方程的非零解(AEX0有非零解RAEnAE0.A的一个特征向量是AEX0的非零解.f(AE的多项式,A的特征多项式下面我们讨论矩阵的特征值的几个简单性质1.An阶矩阵,f(AEn次多项式,n个根(重根按重数计算).(f(00,则称0f(的根.)An1",n.根据多项式的根与系数的关系,1"na11"ann1"n|A|2是矩阵A的特征值(xaaxaxm m是矩Am的特征值m1);()是矩阵多项式(A)的特征A可逆时,则1A1的特征值证:A的特征值,所以存在0,AA2AAA2.所以2A2的特征值A3A(A2)2A3Akk.所以kAk的特征值(A)(aEaA"aAm)aa"a (aa"am) 当A可逆时,则0,(否则0 A可得,A1AA1.A11所以1是逆阵A1的特征值 性质3.设,, 是 pp···,p线性无关

pii的特征向量1im,证:k1p1kmpm0.要证k1km0.As0sm1s#则有(kp"kp1skpskpAs(kpkp0(0sm#1 mms 11 mm 1 mm "m1 1 "m1所以(kp"kp)K("0),记K 1 m

# 1 "m1 因为|K|是范德蒙行列式,·,互不相等,所以|K|0 可逆.所以(k1p1",kmpm)(",0).kipi0,1impi01im).ki0,1im所以,p,p,···,p线性无关 11.A

02 1

解:AE

2 2 3

=A的特征值为=–1,= 1=–1时,解方程组A1EXA+E)X03 ,AE1 03 ,

00 1 14 1所以对应11kp1k02=3=2时,解方程组A2EXA–2E)X

A2E 0 0p

1 p0 0

4 所以对应于==2的所有特征向量为kp+kp(k,k不同时为零 2 3 22.设3A的特征值为112|A*3A2E|A*3A2E有3个特征值,则|A*3A2E|

121 1

A |A

|A| 1(1)2 2A令(x)2x13x2,则A2A13A2A*3A2虽然(A)不是矩阵多项式但是它的性质和矩阵多项式的性质是类似的.所以(的特征值分别是(1)1,(1)3,(2)3所以|A*3A2E|(1)(3)39 例3.12A的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为p1p2.p1p2A的特征向量A(p1p2)(p1p2)p证:反证法.否则A(p)p,A(p) 1p12p2(p1p2p 1 22(1)p1(2)p20因为p1,p2线性无关.所以120.所以12 在这一节中我们研究矩阵什么时候可以和一个对角矩阵相似,换句话说就是研究矩阵什么时候可以对角化.首先我们来看一下矩阵相似和矩阵可对角化的定义.定义.ABn阶矩阵,P,P1APB,AB相似.若存在对角矩阵,A和对角矩阵相似,A可对角化.我们为什么要研究矩阵的对角化?因为对角矩阵是最简单的矩阵,AB相似,BA.比如说我们前面介绍过的 0

0若P1AP0 (x)是x的一元多项式.则P1AkP0 k n

nP1(A)P

() n所以如果矩阵可以对角化,我们就可以利用这个对角矩阵来计算矩阵的k次幂,还可以计算关于矩阵的相似,我们有下面的一个简单的性质定理.nAB相似,AB的特征多项式相同,A的特征值亦相同.证:要证|AE||BE|AB相似,P,P-1AP所以|BE||P1APE||P1APP1(E)P||P1AE)P||P1||AE||P|AE| 这个性质有一个简单的推论 推论.若n阶方阵A与对角阵=

相似,·,An个特征值 n 证:|E|1)"(n所以·,是对角阵的 因为相似矩阵有相同的特征值,A与对角阵相似,,所以,,·,是A的n个特征值 0A的话,这个等式仍然成立.也就是我们有下面的结论我们知道,f()A的特征多项式,0A的特征值,f0A的话,这个等式仍然成立.也就是我们有下面的结论结论f()为矩阵A的特征多项式,则矩阵A的多项式f(这个结论的一般性证是比 f(f(A)Pf()P1P

P1P0P10 f() n下面我们介绍矩阵可对角化的几个判别准则定理 n阶矩阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量 0证P,

AP .Pp",p0 0 n 0 则Ap1",ApnAp1"pnAPP

(p1",pn

0 (1p1",npn)

n niApip(1in).P可逆,p1",pn是线性无关.所以p1",pn是Ai i”Ap i

(1in).p1"pn线性无关.Pp1"pn.P可逆00 00%%AP=A(p",p)(p",p)(p",p) P %% 1 n

n n n %所以P1AP 0 % n上面的这个定理有一个简单的推论推论.nAn个互不相等的特征值,A可对角化证明口述,不板书证:如果n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,那么对于每个特征值我们都可以求出一个特征向量,因为A有n个互不相等的特征值,所以矩阵A有n个特征向量.前面我们证明了属于不同特征值的特征向量是线性无关的.所以矩阵A的这n个特征向量是线性无关的,所以根据上面的定理我们知道矩阵A可以对角化. A的根出现的重数,称为0的代数重数例:AE1)2(2,则12,2的代数重数是设0A的特征值,则A0EX0的解空间的维数称为0的几何重数.2.设1",snA的全部不同的特征值,AiEX0rinRAiE.A可对角化nr1这个定理的证明我们就不讲了,但 最好把它记住i的几何重数i的代数重数,(1i这个定理的证明我们就不讲了,但 最好把它记住例.A

0 0 1 0

.x为何值时,A可对角化

2 解:|AE|(1)2(1).A的所有不同特征值为1, A可对角化当前仅当它的所有的不同特征值的几何重数加起来等于矩阵A的阶数.A可对角化33RA1E3RA2R(A1E)R(A2E)3101

r

1 1AE12x

102x1.RAE2 101

r3r10 0 101rr1 1AE10x3100x1 10

r2r10 0 A可对角化R(A1E)R(A2E)3R(A2E)1x10x1 一般的矩阵不一定可以对角化,但是对称矩阵一定可以对角化.这节课我们主要讨论对称矩首先我们介绍对称矩阵的两个性质.我们先来看对称矩阵的第一个性质.性质1.实对称矩阵的特征值为实数.证:设A的特征值.则存在0,A用的共轭复数,设

,记

#

,A(a)A# #xn

xnAAAATATAT ()T0TAATT因为0所以Txxxx|x|2"|x|20 所以.所以是实数 注意:A是实对称矩阵,A的特征值为实数,设0A的特征值,A0EX0的系数矩阵是实矩阵,所以它的基础解系可取实向量,A对应的特征向下面我们来看对称矩阵的第二个性质 2.设12A的特征值,pp是对应的实特征向量.p 根据这个性质,我们知道对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的证:由条件知Appi=1,2),,AAT i pTppTATppTAp pTp 11 所以 )pTp0.因 ,所以(p,p)pTp0 所以p与p正交 1 1 一般的矩阵不一定可以对角化,但是对称矩阵一定可以对角化,对称矩阵不但可以对角化而且我们可以用正交矩阵把对称矩阵变成对角矩阵.我们有下面的定理. 定理.An阶对称矩阵,P,P1APPTAP

0 其 1"nA的所有特征值.A正交相似于一个对角矩阵

n这个定理我们在这里就不证了.根据这个定理,我们有下面的一个简单的推论推论.An阶对称矩阵0Ak重根,RA0Enk,从而 k,所以0的代数重数0的几何重

. 0 .00证:设P1AP ,则P1(AE)P 00

n 因为0是|AE|(1)"(n0重根,所以1",n中恰好k个数等于0 0所以0

%

的对角线元素恰好有k个0.所以R(A0E)nk 0其实我们也可以利用上面一节介绍的矩阵可对角化的最后一个判定准则很快得出这个推论,我们知道一个矩阵可对角化当前仅当它的所有的特征值的代数重数等于它的几何重数.因为对称矩阵可以对角化,所以对称矩阵的特征值的代数重数等于这个特征值的几何重数.下面我们介绍利用一个正交矩阵把对称矩阵化为对角矩阵的一般步骤求正交矩阵,nA化为对角矩阵设|EA|)k1"()ks,其中(ij则k 的几何i求出AiEX0的基础解系:i1,",i,k.(因为i的代数重ki,的几何i数也是ki,所以这个方程的基础解系含有ki个向量把它们正交化,单位化,kipi1"pi,kiPp11",p1,k"ps1",ps,k,P是正交阵pi1",pi,k两两正交(1is) 我们前面证明了属于不同特征值的特征向量两两正交ij(ij) 我们前面证明了属于不同特征值的特征向量两两正交p11",p1,k"ps1,"ps,k两两正交 这些向量都是单位向量,而且k1"ksn,所 p"p"p" 是\n的一组规范正交基.P是正交阵.)

P1AP

0 0 0 0

s0 0(Pp,p可逆

App,(1in,P1AP

i 11例.设A 1.求一个正交阵P,使P1AP为对角阵 0

n解:|AE11r20111c20011.111111(1)((1)2)(1)2(2) A的所有不同的特征值为12(1重),21(2重).对12,解方程A A

11

r

3

r

12 2 3

rr 1 01 1

xx 1 xx 3 0 0 x

x1,则

1

.

把单位化,p

1

1 1 1||1 1

31对21,解方程AEXA2EX0 1

r

1

AE 0 02 2xxx0.

1

0和

,x1和 x 0 1 3 所以

1

10是基础解系0 0

11把

正交化:取

,

(2,3)

(,)(,)2

(2,222232223

1

1(,)(

2,所以

01

2

2

2 21 0 1

111 111,p 1 111

1将 单位化,得

1 || 2

||

2 60 0

3

2 2令P(p,p,p),则P是正交阵,且PAP 0 01 如果令Qppp,则

AQ

1 0 0 0 1 例.A 2

,An解:P,P1AP为对角阵2 |AE 2(1)(3)对11,解方程AEX0AE

r

xx0.x1,x1 1 0

所以 .A3E

.xx0.x1,x11 0 1所以21是基础解系 P,.1 0

AP

0 3

0 0 11 13n所以AP P1.所以AnP P1P P1 03n 21 13n2例.(Ex9A23A2E0的特征值只能取1或2.证:设0A的特征值,则存在0A000所以2302A23A2E)00.所以2302000所以01或2 例.(Ex10)A为正交阵,且|A|1.证明1的特征值.证.只要证|AE||A1E|0AATAE所以|AE||AATA||EATA||EAT||A||EAT)T||A|AE||A||AE|所以|AE|0 4 例.(Ex20)设矩阵A 2与 1

xyyPP1APxy

A的所有特征值为5,4,y5(4)y1x所以|A4E||A5E|

这一节我们介绍二次型的化简问题 设二次曲线在坐标系Oxyax2bxycy21y xxO我们可以把坐标系旋转适当的角,得到一个新的坐标系Oxy使得二次曲线在新的坐标系Oxymx'2ny'2即x即xcos sinx'(这实际上是一个变量的线性变换yx'siny'cos cosy 所以从代数的角度来看所以从代数的角度来看,把二次曲线化简成标准形的过程就是通过变量的线性变换把二次xy的二元二次齐次多项式,xy的项消掉.在这一节当中,我们讨论如何用线性变换化简一般的n元二次齐次多项式我们把一般的含有n个变元的二次齐次多项式称为二次型定义 f(x"x)ax2ax2"ax22axx2axx" x称 11 22 22 121 131 n1,nn1二次型.aij都是复数,f为复二次型.aij都是实数,f为实二次型.二次型可以写成矩阵的乘积的形式.下面我们来看怎么把二次型写成矩阵的乘积的形式ajiaij,(ij.则2aijxixjaijxixjajixjxi所以f(x"xax2axxaxxaxxax2ax 11 121 1n1 212 22 2n2"axxaxx"an1n n2n nn n aijxixjaijxjxii,j i1j a a "a(x,x",x 22 2nn1 n

"""axax"an1 n2 nnn a1nx1

xx,x"x x

a2

"# axx1

n a1n

nnna "aXx2,A

2n,A是对称矩阵# " n nnf(x",xXTAX A称为f的矩阵.A的秩称为二次f的秩注意:1.二次fA是对称矩阵.若ij,axx的系数的一半.ax2的系数 i

fX)XTAXA对称)对称矩阵A例.f

4xx6xxA

0 3 1 2 3 0 例.二次型fx23z24xyyz的矩阵为A 12 4例.求二次型f(X)XT 7X的矩阵 3 1 1 2解.fXx22x23x226)xx4 1 1 2x22x23x28xx6xx10xx 1 1 2 3所以二次型f的矩阵是 4 3 最简单的二次型是对角矩阵对应的二次型,我们称之为标准二次型0 0 fXXT Xdx2称为标准二次型 id d n

ix1 y1定义.Pn阶矩阵,X#,Y#,XPY称为线性变换x yn nP可逆XPY是可逆的线性变换,P是正交矩阵,XPY为正交变换.二次fXXTAXA对称)fX)CYTACYYTCTACYx1X

y1Y.gYYTCTACYx yn nXf经过可逆的线性变换后得到关于变量Yg.我们需要1.关于变量Yg的矩阵是CTACA是对称矩阵,CTACTCTATCTTCTAC,所以CTAC是对称矩阵,g的矩阵是CTAC我们称矩阵CTACA合同定义.如果C可逆,则称CTACA合同根据这个定义,我们知道二次型经过可逆的线性变换后,g的矩阵和原来的二次型f的矩阵是合同的.gf的矩阵是合同的因为C可逆,所以矩阵CTACA的秩2.R(CTACRA).f的秩g的秩.后,二次型的秩不变.我们上一节介绍了任何一个实对称矩阵都正交相似于一个对角矩阵.利用这个结果, 定理.f(x",xXTAXA对称),XPY f(PY)y2y2"y2 1 是二次型f的矩阵A的所有特征值.称y2 y2" y2为二次 1 2 nf(x1"xn)的标准形.注意二次型的标准形不是唯一的 证:A对称,P,PTAPP1AP

00 0 XPY,

0 0

n0f(PY)PYTAPYYTPTAPYYT10

Yy2y2"y2 1 2 nn根据上面的定理,我们有一个简单的推论推论.f(x",xXTAXA对称),XPY,y"f(C