开南大学公管所与国企所合开选修课

開南大學公管所與國企所合開選修課課程名稱：量化分析與應用

授課老師：黃智聰最小平方估計式的性質、簡單迴歸模型之推論參考書目：Hill,C.R.,W.E.Griffiths,andG.G.Judge,(2001),UndergraduateEconometrics.NewYork:JohnWiley&Sons.日期：2011年4月19日1開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰

Y:迴歸模型裡的因變數

因變數y可以被分解成兩個部分：

1.規律性的部分：E(y)不是隨機的

2.隨機部分:y與E(y)之間的差，稱為隨機誤差項e（randomerrorterm）

e=y-E(y|x)=y-β1-β2x

Y=β1+β2x

+eX:獨立變數加入誤差項2開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰1.對於各個x值來說，y值為Y=β1+β2x

+e2.隨機誤差e的平均值為E(e)=0，因為我們假設E(y)=β1+β2x

3.隨機誤差e的變異數為

Var(e)=2=Var(y)

因為y和e只相差一個常數，而此常數不會改變其變異數。由誤差項e來說明迴歸模型的假設3開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰4.任何一對隨機誤差ei

和ej

的共變數為

Cov(ei,ej)=Cov(yi,yj)=05.變數X並非隨機的，且必須至少有2個不同的值。6.(選擇性的)e值常態地分配於其平均值的附近e~N(0,2)。7.y是可以觀察的，e是無法觀察的。8.給予任一個y值，我們可以計算出

e=y-β1-β2x4開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰e表示除了x之外，會影響y的其他因素。在食物支出的例子裡，什麼因素可能會導致支出y與其平均值

E(y|x)之間的不同呢?1.在任何經濟模型中，我們想把所有重要且相關的解釋變數都包含在模型裡。2.誤差項e包含了任何可能出現的近似誤差，因為我們假設的線性函數形式可能只是實際的近似值而已。對誤差項e的另一種解釋方式5開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰3.誤差項包括可能出現於個別隨機行為中的任何情況。對於所有影響個人食物支出的變數之瞭解可能不足以完全地預測支出。無法預測之隨機行為的部分也有可能包含在e裡面。6開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰1.我們假設表3.1中的支出資料是隨機變數yt

,t=1,…,40，且滿足假設SR1-SR5。2.我們把40個資料點記為

(yt,,xt),其中t=1,…40，並畫出它們的位置，我們可以得到圖3.6中的散佈圖（scatterdiagram）。估計支出關係的參數7開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰3.估計平均支出線E(y)=β1+β2x的位置。我們期望這條線位於所有資料點的中間某處，因為它代表平均的行為。4.要估計β1

與β2，我們可以簡單的畫出一條通過資料中間的直線，然後用尺衡量其斜率和截距。問題:不同的人可能畫出不同的線，而因此缺乏正式的準則。8開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰方法2:從所得最小的那一個點畫到所得最大那一點。問題:忽略了其餘38個觀察值確實位置之資訊。9開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰這個原理主張，為了找出一條適合資料值的直線，我們應該找出一條直線，使得各點到此直線垂直距離之平方和越小越好。距離的平方可以避免正的距離被負的距離抵消。最小平方原理（TheLeastSquaresPrinciple）10開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰估計值的解釋b2=0.1283當x上升100,y將會增加大約12.83b1=40.7676當x為零時y的估計值食物支出函數的估計值11開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰彈性（elasticity）Y=bXb2

logy=logb+b2logXlogy=b1+b2logX彈性:Y變動的百分比X變動的百分比=12開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰預測（Prediction）估計的等式可以被用在預測或預言的目的上，將x帶入估計的等式就可以得到y值。13開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰b1和b2是隨機變數，因為它們的值決定於隨機變數y，而y的值在樣本被收集之前是未知的。收集資料之後，最小平方估計值即為計算出來的數值。由於它們並非隨機的量，所以不具有統計的性質。最小平方估計式為隨機變數14開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰最小平方估計式

b1

和b2

為隨機變數，而且它們具有機率分配的特性，因此我們可以在收集任何資料之前研究。在本節中我們將決定最小平方估計式b1

與b2

的平均值及變異數。真正的參數值,未知不偏的估計式and兩個假設!!!最小平方估計式的抽樣性質15開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰若E(et)0且E(b2)

2，b2並非不偏的!et

包含了其他影響yt

但卻被經濟模型所遺漏的因素。如果我們忽略了任何重要的東西，則我們將可預期E(et)0

並且E(b2)

2

。b2為不偏的這個事實並未暗示任何一個樣本皆可能有此特性。16開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰Note:個別的估計值（數值）b2

可能會接近或遠離

β2

。但是E(b2)=2同樣地,我們可以計算var(b2)和var(b2)具有相同的平均值但不同的變異數。17開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰抽樣精確度

（SamplingPrecision）估計式的變異數越小，該估計式的抽樣精確度越高。1.若var(y)var(b2)精確度越小。2.若var(x)var(b2)精確度越高。3.若Tvar(b2)精確度越高。4.ΣX2

var(b2)精確度越小。5.X＞

0Cov(b1,b2)＜018開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰Xb2butb1XIfX＜019開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰若e～N(0,σ2)

則b1～N(β1,σ2b1)b2～N(β2,σ2b2)

假設

b1,b2～N如果假設SR1~SR5成立,且樣本數T夠大,則最小平方估計式的分配會趨近常態分配。例:食物支出的資料。最小平方估計式的機率分配20開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰b~N(β,σb2)~N(0,1)卡方隨機變數是在標準常態分配

N(0,1)隨機變數平方下所產生的。未知未知簡單迴歸模型的推論21開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰若Z~N(0,1)而V~x2(m)且若Z和V為獨立，則P(t≧tc)=P(t≦-tc)=α/2m為自由度i=1,2我們預測的變異數T分配是對稱的！！22開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰P(-tc≦t≦tc)=1-αP[-tc≦(b2-2)/SE(b2)≦tc]=1-αP[b2-tcSe(b2)≦β2≦b2+tcSe(b2)]=1-α在區間的兩個端點，和b2

與Se(b2)皆為隨機變數，因為它們的值在取得樣本資料之前都是未知的。23開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰b2±tcSe(b2)稱為β2

的(1-α)×100%的區間估計值，或者相當於所謂的

(1-α)×100%信賴區間。所有建立出來的區間中，有(1-α)×100%會包含真正的參數β2。而在任何資料確實收集到之前，我們就已經知道這一點了。若區間為

[0.0666,0.1900],則β2

落在這個區間嗎?我們不知道，而且我們永遠都不會知道！！我們知道的是，在得自同一母體的許多隨機樣本資料時，所有建立的區間估計值中，有95％將會包含真正的參數。24開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰假設檢定（HypothesisTesting）假設檢定的組成要素1.虛無假設H0。2.對立假設H1。3.檢定統計量。4.拒絕域。

25開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰1.H0:β2=c,c為常數,並且在迴歸模型中是一個重要的值。2.H1:β2≠cH1:β2＞c因為理論上

β2不能為負值。

H1:β2＜c當在β2

不可能大於c時。26開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰3.檢定統計量（Theteststatistic）Ex:H0:β2=cH1：β1≠c注意：若β2=1，但是須無假設為H0：β2=C，C1，則因為不等於027開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰因此，並非標準常態分配。且在形成一個隨機變數t時，標準常配分配是必要的。28開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰拒絕域（TherejectionRegion）拒絕域是一個導致虛無假設被拒絕的檢定統計量之數值範圍。也就是說，拒絕域是當虛無假設為真時，不太可能或發生機率很低的檢定統計量之數的集合。

29開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰雙尾檢定（Two-tailedTest）若檢定統計量的值落在拒絕域當中（不論是t分配的哪一端），我們拒絕虛無假設並接受對立假設。要避免說“我們接受虛無假設”，而應該以“我們無法拒絕虛無假設”來替代。這樣的敘述意味著我們正在推論說個虛無假設為真。30開南大學公管所與國企所合開選修課--量化分析與應用--黃智聰假設檢定的格式（Formatfor

TestingHypothesis）決定虛無假設與對立假設。確立當