2021-2022学年广东省珠海市莲溪中学高三数学理联考试题含解析

2021-2022学年广东省珠海市莲溪中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设满足,若目标函数的最小值为2,则的最大值为A.

B.

C.1

D.2参考答案：A2.（理）设两个向量和，其中为实数，若，则的取值范围是A．

B．[4，8]

C．

D．参考答案：A3.已知集合，，则A∩B=（

）A.[－1,1] B.[－2,2]C.{0,2} D.{－2,0,2}参考答案：D【分析】直接根据交集运算，即可得答案；【详解】，，，故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A．8 B．16 C．32 D．64参考答案：C5.（x∈R）展开式中的常数项是

A．-20

B．－15

C．15

D．20

参考答案：C本题考查了二项式展开式的通项公式，难度一般。解析：因为，

令得，因此常数项为，故选C6.若函数在处取最小值，则

A．

B．

C．3

D．4

参考答案：C本题主要考查均值不等式的应用，以及对代数结构变换能力、逆向思维能力，同时考查方程的思想．难度中等．∵x＞2，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当x－2＝，即x＝3时取等号．即x＝3．7.已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°，则z1?z2为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数的加减法计算，【解答】解：z1?z2=（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）=cos60°+isin60°=故选A8.函数的图象是参考答案：A试题分析：因为函数只有1个零点，所以排除CD两项，由,可知函数在处取得极小值，所以不是定义域上的单调增函数，所以B不对，只能选A．

9.已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则双曲线的离心率为(▲)A. B. C.

D.参考答案：C略10.下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的为（）A．

B．

C。

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为

.参考答案：试题分析：由已知中利普希茨条件的定义，若函数满足利普希茨条件，所以存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，不妨设，则.而，所以的最小值为.故选C.考点：1.利普希茨条件；2.利用函数的单调性求值域；恒成立问题.12.集合中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为，如： ， ， 则（写出计算结果）参考答案：322

13.若变量满足，则的最大值为

▲

，=

▲

.参考答案：8，14.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹方程为_______________．参考答案：因为到点的距离与它到直线的距离相等，所以动点的轨迹为抛物线，其中焦点为，即，所以轨迹方程为。15.（5分）已知P是椭圆上一点，若，则|PF1||PF2|=．参考答案：4∵P是椭圆上一点，∴|PF1|+|PF2|=4，两边平方，得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16，①在△F1PF2中，∵|F1F2|=2，，∴由余弦定理，得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=4，即|PF1|2+|PF2|2﹣|PF1||PF2|=4，②①﹣②，得：3|PF1||PF2|=12，∴|PF1||PF2|=4．故答案为：4．16.已知G点为△ABC的重心，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足⊥，若则实数λ=．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】如图，连接AG，延长交AG交BC于D，由于G为重心，故D为中点，CG⊥BG，可得DG=BC，由重心的性质得，AD=3DG，即DG=AB，利用余弦定理可得：AC2+AB2=2BD2+2CD2，即b2+c2=5a2，由，可得λ=．【解答】解：如图，连接AG，延长交AG交BC于D，由于G为重心，故D为中点，∵CG⊥BG，∴DG=BC，由重心的性质得，AD=3DG，即DG=AB，由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC，AB2=AD2+BD2﹣2AD?BDcos∠ADB，∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，∴AC2+AB2=2BD2+2CD2，∴AC2+AB2=BC2+BC2=5BC2，∴b2+c2=5a2，∵，∴λ===．故答案为：．17.已知二次函数f（x）=x2﹣x+k，k∈Z，若函数g（x）=f（x）﹣2在上有两个不同的零点，则的最小值为．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分7分）选修4q：矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵

（I）求矩阵A；

（Ⅱ）求曲线在矩阵A所对应的线性变换作用下所得的曲线方程．参考答案：（Ⅰ）因为矩阵是矩阵的逆矩阵，且， 2分所以． 3分（Ⅱ）解法一：设上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像为点，则， 4分由此得 5分代入方程，得. 6分所以在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为． 7分解法二：设上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像为点，则， 4分其坐标变换公式为由此得 5分代入方程，得. 6分所以在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为． 7分19.已知向量.（1）若,求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）记，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足，求函数f(A)的取值范围.参考答案：解析：（1）

∵

∴

∴

∴

…………7分（2）∵（2a-c）cosB=bcosC

由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC

∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC

∴2sinAcosB=sin(B+C)∵

∴，∴

∴

∴

又∵,∴

故函数f(A)的取值范围是.

…………14分20.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，证明：对任意，.参考答案：略21.（本小题满分12分）气象部门提供了某地今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：日最高气温t（单位：℃）t22℃22℃<t28℃28℃<t32℃℃天数612由于工作疏忽，统计表被墨水污染，和数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9．（Ⅰ）若把频率看作概率，求，的值；（Ⅱ）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面列联表，并据此你是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关？说明理由．

高温天气非高温天气合计旺销1

不旺销

6

合计

附：

0．100．0500.0250．0100.0050．0012.7063．8415.0246．6357.87910．828参考答案：（Ⅰ）由已知的：∴∴．

……6分（Ⅱ）

高温天气非高温天气合

计旺销12122不旺销268合计32730

，因为，所以没有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关．

……12分22.(本小题10分)如图，已知直线与抛物线相交于两点，与轴相交于点，若.（Ⅰ）求证：点的坐标为（1，0）；（Ⅱ）求△AOB的面积的最小值.参考答案：(Ⅰ)设M点的坐标为（x0,0）,直线l方程为x=my+x0,代入y2=x得y2－my－x0=0

①

y1、y2是此方程的两