西工大、西交大自动控制原理 第五章 线性系统的频域分析法-05-闭环系统频域性能

自动控制原理第五章线性系统的频域分析法第六节闭环系统频域性能反馈控制系统的闭环传递函数为当为常数的情况下，闭环频率特性的形状不受其影响。在研究闭环系统频域指标时，只需针对单位反馈系统进行。闭环系统的频域性能指标应能反映控制系统跟踪控制输入信号和抑制干扰信号的能力。概述第六节闭环系统的频域性能指标尼科尔斯（Nichols）图线法：获得闭环频率特性和频域指标的一种常用方法。等α曲线可将单位反馈系统的开环和闭环频率特性表示为复指数形式：确定闭环频率特性的图解法第六节闭环系统的频域性能指标展开后可得：因虚部为零则有：确定闭环频率特性的图解法第六节闭环系统的频域性能指标等α曲线取为某一常数，即得和的单值曲线若令从变化，则在平面上获得一条和该值对应的曲线，称为等线。变动值，则得等曲线簇。当即时，。因此等曲线在纵坐标时，以横轴的分度线为渐近线。确定闭环频率特性的图解法第六节闭环系统的频域性能指标等α曲线取，，，可得：即等曲线簇中的等曲线和等曲线关于的对称。确定闭环频率特性的图解法第六节闭环系统的频域性能指标等α曲线又可写为：按欧拉公式展开确定闭环频率特性的图解法第六节闭环系统的频域性能指标等M曲线得闭环幅频特性确定闭环频率特性的图解法第六节闭环系统的频域性能指标等M曲线取为某一常数，令从变化，计算对应的，在平面得到一条等曲线。变动，则得等曲线簇。显然，等曲线簇关于的线轴对称。确定闭环频率特性的图解法第六节闭环系统的频域性能指标等M曲线等线簇和等线簇统称为尼科尔斯图线。注意到：时，，即，。时，，即闭环频率特性和开环频率特性近似重合。因此：不必将尼科尔斯（Nichols）图线上延至；

不必将尼科尔斯（Nichols）图线下延至确定闭环频率特性的图解法第六节闭环系统的频域性能指标尼科尔斯图线1系统闭环频域指标及其与时域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标其中最主要的特征量有四个：1）零频值即当时，系统的闭环幅频值。对单位负反馈系统，设开环传递函数形式为闭环传递函数为：1系统闭环频域指标及其与时域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标当时若，说明，系统必为Ⅰ型或Ⅱ型系统；若，系统为0型系统,可由求出值。1）零频值1系统闭环频域指标及其与时域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标谐振峰值：系统闭环幅频特性的最大值。以二阶系统为例：其闭环幅频特性为2）谐振峰值1系统闭环频域指标及其与时域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标令，解出谐振频率：将代入到闭环幅频特性中，得谐振峰值二阶系统的谐振峰值仅是阻尼比的函数，可见也是阻尼性能指标。2）谐振峰值1系统闭环频域指标及其与时域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标又因为只有时才有意义,说明二阶系统只有当时才有谐振峰值。故只能在一定程度上反映系统的阻尼性。二阶系统的超调量也是由阻尼比决定的，所以谐振峰值和超调量间存在以下关系：2）谐振峰值1系统闭环频域指标及其与时域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标在前面已得出，对二阶系统有：又考虑到在二阶系统中3）谐振频率1系统闭环频域指标及其与时域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标由以上二式可见，谐振频率是与系统的快速性相联系的（或者说是系统快速性指标）。而又可以表示为所以有：3）谐振频率1系统闭环频域指标及其与时域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标设为系统闭环频率特性，当闭环幅频特性下降到频率为零时的分贝值以下3分贝时，对应的频率称为带宽频率，记为：。即：当时

频率范围称为系统的带宽。第六节闭环系统的频域性能指标4）带宽（通频带）系统带宽频率与带宽曲线图带宽第六节闭环系统的频域性能指标4）带宽（通频带）带宽的定义表明，对于高于带宽频率的正弦输入信号，系统输出将呈现较大的衰减。特殊地对于Ⅰ型和Ⅰ型以上的开环系统，由于存在所以其带宽定义式为，当时：第六节闭环系统的频域性能指标4）带宽（通频带）一阶系统的带宽频率一阶系统的闭环传递函数为：第六节闭环系统的频域性能指标4）带宽（通频带）因开环传递函数为Ⅰ型，所以按带宽定义：可求得带宽频率为第六节闭环系统的频域性能指标一阶系统的带宽频率4）带宽（通频带）二阶系统的闭环传递函数为：第六节闭环系统的频域性能指标二阶系统的带宽频率4）带宽（通频带）因开环传递函数为Ⅰ型，所以按带宽定义：第六节闭环系统的频域性能指标二阶系统的带宽频率4）带宽（通频带）若令，因所以为的减函数，即为的减函数，但与成正比。所以一、二阶系统单位阶跃响应的速度与其带宽成正比。对任意阶次控制系统，这一关系仍然成立。第六节闭环系统的频域性能指标二阶系统的带宽频率4）带宽（通频带）设两控制系统存在以下关系：其中为任意下常数。因而按带宽定义，可得：设两系统的单位阶跃响应分别为、，所以有：第六节闭环系统的频域性能指标二阶系统的带宽频率4）带宽（通频带）对于二阶系统，闭环幅频特性为可得：4）带宽（通频带）1系统闭环频域指标及其与时域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标又考虑到在二阶系统中4）带宽（通频带）1系统闭环频域指标及其与时域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标可见，二阶系统的、与带宽成反比。即：二阶系统的带宽越宽，系统的反应速度越快。所以带宽也是与系统的快速性相联系的（或者说也是系统的快速性指标）闭环系统带宽（通频带）

表征系统反应系统输入信号的快速性能力，可近似地认为系统的带宽与其反应速度成正比。4）带宽（通频带）1系统闭环频域指标及其与时域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标为了使系统能准确地反应任意的输入信号，要求系统应具有较大的带宽。但是从抑制噪的角度来看，带宽又不宜过大。设计系统时，应恰当地处理好这个矛盾。从抗高频干扰的角度要求，附近曲线应快衰减速，即应有较陡的负斜率。以上推导的二阶系统闭环频域性能指标与时域性能指标间的关系，对于高阶系统一般不能直接使用。4）带宽（通频带）1系统闭环频域指标及其与时域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标对于高阶系统来说，系统的闭环频域性能指标与时域性能指标之间并不存在类似二阶系统的简单地定量关系。在工程实践中，通常应用一些近似经验公式来表征闭环频性能指标与时域性能指标间的关系4）带宽（通频带）1系统闭环频域指标及其与时域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标1）带宽与截止频率对二阶系统而言，可见，当开环频域指标较大时，闭环频域指标也较大。2系统闭环频域指标与开环频域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标高阶系统的和间不存在二阶系统这样的关系式对于两个稳定程度相仿的高阶系统，截止频率与带宽一样，也和系统响应速度存在正比关系。有时也用来估算系统的带宽。1）带宽与截止频率2系统闭环频域指标与开环频域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标系统的开环相频可表示为则开环频率特性可表示为闭环幅频特性则为2）谐振峰值和相角裕度2系统闭环频域指标与开环频域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标一般情况下，谐振峰值附近，变化较小，且谐振频率常位于附近，即有：2系统闭环频域指标与开环频域指标的关系系统频域指标和时域指标的转换第六节闭环系统的频域性能指标2）谐振峰值和相角裕度而当时，为极值。较小时，上式的近似程度较高。控制系统的设计中，一般先根据控制要求提出闭环频域指标和，再转换成开环频