第四章-机器人静力分析与动力学课件

雅可比矩阵两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。vxvy存在怎样的关系3.5机器人的雅可比矩阵2023/1/101第四章机器人静力分析与动力学

雅可比矩阵两空间之间速度的线性映射关系—看一个两自由度平面关节机器人的末端点位置（x，y）图4-1

两自由度平面关节机器人容易求得将其微分得写成矩阵形式令末端位姿则2023/1/102第四章机器人静力分析与动力学看一个两自由度平面关节机器人的末端点位置（x假设关节速度为，手爪速度为。式中J称为机器人雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移dθ与手部末端微小运动dX之间的关系。对dX=Jdθ，两边同除以dt，得2023/1/103第四章机器人静力分析与动力学假设关节速度为机器人雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换。（或V）称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度，为关节速度。

J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为：式中，x代表操作空间，q代表关节空间。2023/1/104第四章机器人静力分析与动力学机器人雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。由，可看出，J

阵的值随手爪位置的不同而不同，即θ1和θ2的改变会导致J的变化。2023/1/105第四章机器人静力分析与动力学若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列对于关节空间的某些形位，机器人雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比矩阵的行列式为：det(J)=l1l2s2当θ2=0°或θ2=180°时，机械手的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1，因此处于奇异状态。在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。2023/1/106第四章机器人静力分析与动力学对于关节空间的某些形位，机器人雅可比矩阵的秩只要知道机器人的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即。上例平面2R机器人的逆雅可比于是得到与末端速度相应的关节速度：显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷大。A^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,|A|为矩阵A的行列式,A*为矩阵A的伴随矩阵。2023/1/107第四章机器人静力分析与动力学只要知道机器人的雅可比J是满秩的方阵，相应的例.图示二自由度机器人，手部沿固定坐标系X0轴正向以1m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5m。设在某瞬时

θ1=30°，θ2=60°，求相应瞬时关节速度。解：

二自由度机器人速度雅可比为： 逆雅可比为：

根据，vX=1m/s，vY=0，即

2023/1/108第四章机器人静力分析与动力学例.图示二自由度机器人，手部沿固定3.5机器人的雅可比矩阵雅可比矩阵：机械手的笛卡儿空间运动速度与关节空间运动速度之间的变换称之为雅可比矩阵。关节空间向笛卡儿空间速度的传动比。

设x为表示机械手末端位姿的广义位置矢量，

q为机械手的关节坐标矢量,n个关节则为n维矢量x0y0z0zi2023/1/109第四章机器人静力分析与动力学3.5机器人的雅可比矩阵雅可比矩阵：机械手的笛卡儿空间运动第四章

机器人静力分析与动力学4.1概述4.2机器人静力学4.3牛顿-欧拉方程4.4拉格朗日方程2023/1/1010第四章机器人静力分析与动力学第四章机器人静力分析与动力学4.1概述2023/1/91机器人动力学解机器人正动力学问题——已知机器人各关节驱动力或力矩，求机器人各关节轨迹或末端执行器（位姿）轨迹。机器人逆动力学问题——已知机器人各关节轨迹或末端执行器（位姿）轨迹，求机器人各关节驱动力或力矩。4.1概述2023/1/1011第四章机器人静力分析与动力学机器人动力学解机器人正动力学问题——已知机器人各关节驱动力或机器人动力学研究目的建立力、质量和加速度之间以及力矩、惯量和角加速度之间的关系。确定力和力矩，计算每个驱动器所需的驱动力，以便在机器人连杆和关节上产生期望的加速度。根据有关方程并考虑机器人的外部载荷计算出驱动器可能承受的最大载荷，设计出能提供足够力及力矩的驱动器。研究机器人不同部件之间的关系，合理地设计出机器人的部件。4.1概述2023/1/1012第四章机器人静力分析与动力学机器人动力学研究目的建立力、质量和加速度之间以及力矩、惯量和4.2

机器人静力分析机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力和力矩，统称为末端广义（操作）力矢量。记为n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量称为关节力矢量y0x0存在怎样的关系2023/1/1013第四章机器人静力分析与动力学4.2

机器人静力分析机器人与外界环境相互利用虚功原理，令各关节的虚位移为δqi

，末端执行器相应的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端执行器所作的虚功应该相等，即简写为:又因为,所以得到与之间的关系式中称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。2023/1/1014第四章机器人静力分析与动力学利用虚功原理，令各关节的虚位移为δqi，末若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量），则把操作空间的广义力矢量映射到关节空间的关节力矢量。关节空间操作空间雅可比J力雅可比JT2023/1/1015第四章机器人静力分析与动力学若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量若已知则有{T}{0}{0}{T}2023/1/1016第四章机器人静力分析与动力学若已知则有{T}{0}{0}{T}2023/1/916第四章{B}{A}{A}{B}JTJ根据前面导出的两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换关系，可以导出{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系。2023/1/1017第四章机器人静力分析与动力学{B}{A}{A}{B}JTJ根据前面导出的解：由前面的推导知例:如图4-3所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪作用于外界环境的力为，若关节无摩擦力存在，求力的等效关节力矩。所以得：图4-3

关节力和操作力关系y0x02023/1/1018第四章机器人静力分析与动力学解：由前面的推导知例:如图4-3所示的平面2R机械手，手爪机器人静力计算机器人操作臂静力计算可分为两类问题：(1)已知外界环境对机器人手部的作用力F，利用式求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ。(2)已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境的作用力或负载的质量。第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为

F=(JT)–1τ机器人自由度不是6时，例如n>6，力雅可比矩阵就不是方阵，则JT就没有逆解。故第二类问题的求解困难得多，一般情况不一定能得到惟一解。若F的维数比τ的维数低，且J满秩，则可利用最小二乘法求得F的估计值。

2023/1/1019第四章机器人静力分析与动力学机器人静力计算机器人操作臂静力计算可分为两类问题： 20例：如图示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩，求这时作用在螺钉上的力和力矩(

)2023/1/1020第四章机器人静力分析与动力学例：如图示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力解：根据图示的相应位姿关系得因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为：{S}{T}{S}{T}微分运动关系时：静力传递关系时：2023/1/1021第四章机器人静力分析与动力学解：根据图示的相应位姿关系得因此可得两坐标系的微分运动关系和4.4.1

转动惯量平移作为回转运动来分析根据牛顿第二定律和若把这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为m的杆件绕z轴的回转运动，则得到加速度和力的关系式为2023/1/1022第四章机器人静力分析与动力学4.4.1

转动惯量平移作为回转运动来分析根据牛顿第式中，和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运动时的质量，称为转动惯量

。将它们代入前面的方程，得：令，则有：2023/1/1023第四章机器人静力分析与动力学式中，和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。例：求图所示的质量为M，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转动惯量I。解：匀质杆的微段dx的质量用线密度ρ（=M/L）表示为dm=ρdx。该微段产生的转动惯量为。因此，把dI在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：2023/1/1024第四章机器人静力分析与动力学例：求图所示的质量为M，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转动例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的距离，则得到即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方的乘积。设刚体对过质心C的Zc轴的转动惯量为IZC，对与Zc轴平行的Z轴的转动惯量为IZ，该两轴间的距离为d，刚体的质量为M，则2023/1/1025第四章机器人静力分析与动力学例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。解：先就杆的一4.4.2

Newton-Euler递推动力学方程如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度、总质量m与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律:当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度，惯性张量与作用力矩n之间满足欧拉方程：2023/1/1026第四章机器人静力分析与动力学4.4.2

Newton-Euler递推动力学方程惯性张量令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的一个坐标系，相对于该坐标系｛c｝，惯性张量定义为３×３的对称矩阵：式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即Ixx，Iyy，Izz，其余元素为惯性积。

惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为主惯性矩。2023/1/1027第四章机器人静力分析与动力学惯性张量令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的例：如图所示的1自由度机械手。假定绕关节轴z的转动惯量为IZ，z轴为垂直纸面的方向。解：式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取z轴分量得到：zmg2023/1/1028第四章机器人静力分析与动力学例：如图所示的1自由度机械手。假定绕关节轴z的转动惯量为IZ4.4.3

Lagrange动力学对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动能；P是势能。

或

利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类Lagrange方程）为：表示动能，表示势能。2023/1/1029第四章机器人静力分析与动力学4.4.3

Lagrange动力学对于例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：2023/1/1030第四章机器人静力分析与动力学例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和解：连杆1，2的动能分别为：机械手总的动能为连杆1，2的势能分别为机械手总的位能（势能）为2023/1/1031第四章机器人静力分析与动力学解：连杆1，2的动能分别为：机械手总的动能为连杆1，2的势能计算各偏导数将以上结果代入Lagrange方程得2023/1/1032第四章机器人静力分析与动力学计算各偏导数将以上结果代入Lagrange方程附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下：总势能为代入Lagrange方程得，与前面的结果一致。这里I=IZ=IC+mL2C解：总动能

（θ为广义坐标）zmg2023/1/1033第四章机器人静力分析与动力学附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下：总势１.若1自由度机械手为匀质连杆，质量为m，长度为L，结果会怎样？２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连杆末端L处，结果会怎样？z2023/1/1034第四章机器人静力分析与动力学１.若1自由度机械手为匀质连杆，质量为m，长度为L，结果会怎牛顿-欧拉方程为使物体直线运动必须施加力的作用，力方程为：

为使物体旋转必须施加力矩，力矩方程为：上述方程建立了力、质量和加速度之间以及力矩、惯量和角加速度之间的关系。2023/1/1035第四章机器人静力分析与动力学牛顿-欧拉方程为使物体直线运动必须施加力的作用，力方程为：2拉格朗日方程拉格朗日动力学方程：L=K-P,L拉氏算子，K为动能，P为位（势）能。拉格朗日力学仅基于能量项对系统变量及时间的微分，只需求速度而无需内力（系统各内力），多数情况下使用比较容易。2023/1/1036第四章机器人静力分析与动力学拉格朗日方程拉格朗日动力学方程：2023/1/936第四章拉格朗日力学的两个基本方程：①物体作平动②物体作旋转运动2023/1/1037第四章机器人静力分析与动力学拉格朗日力学的两个基本方程：②物体作旋转运动2023/1/9机器人动力学方程推导步骤：(1)选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量qi，i=1,2,…,n。(2)选定相应关节上的广义力Fi：当qi是位移变量时，Fi为力；当qi是角度变量时，Fi为力矩。(3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。(4)代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。方程简化措施：(1)当杆件长度不太长，重量很轻时，重力矩项可以省略。(2)当关节速度不太大，机器人不是高速机器人时，含有项可以省略。(3)当关节加速度不太大，即关节电动机升、降速比较平稳时，含有项有时可以省略。但关节加速度减小会引起速度升降的时间增加，延长机器人作业循环的时间。2023/1/1038第四章机器人静力分析与动力学机器人动力学方程推导步骤：2023/1/938第四章机器关节空间的动力学方程

两自由度平面机器人手臂为例D(q)——n×n正定对称矩阵，称为操作臂的惯性矩阵；——n×1的离心力和科氏力矢量；G(q)——n×1的重力矢量，与操作臂形位q有关2023/1/1039第四章机器人静力分析与动力学关节空间的动力学方程 两自由度平面机器人手臂为例D(q)操作空间动力学方程

F——广义操作力矢量；——操作空间惯性矩阵；——离心力和科氏力矢量；——重力矢量；它们都是在操作空间中表示的。关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系2023/1/1040第四章机器人静力分析与动力学操作空间动力学方程 F——广义操作力矢刚体动力学刚体的动能与位能（平移运动）M0x1x0kcM1F动能位能耗能功F2023/1/1041第四章机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体的动能与位能（平移运动）M0x1x0kcM1F刚体动力学刚体的动能与位能（平移运动）

:当x0=0时，x1为广义坐标：x0和x1为广义坐标：牛顿-欧拉法(Newton-Euler)2023/1/1042第四章机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体的动能与位能（平移运动）:牛顿-欧拉法(Ne刚体动力学刚体的动能与位能（旋转运动）

两自由度平面机器人动力学方程推导连杆1：连杆2：xy1d1m12d2m2(x1,y1)(x2,y2)第四章机器人静力分析与动力学2023/1/1043第四章机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体的动能与位能（旋转运动）xy1d1m12刚体的动能与位能（旋转运动）拉格朗日法求解动力学方程：构造拉格朗日函数L=K-P求取2023/1/1044第四章机器人静力分析与动力学刚体的动能与位能（旋转运动）求取2023/1/944第四章刚体动力学拉格朗日法求解动力学方程（续）

力矩

惯量

向心加速度系数

哥氏加速度系数

重力2023/1/1045第四章机器人静力分析与动力学刚体动力学拉格朗日法求解动力学方程（续）力矩惯量刚体动力学拉格朗日法求解动力学方程（续）有效惯量：耦合惯量：向心加速度系数：哥氏加速度系数：重力项：2023/1/1046第四章机器人静力分析与动力学刚体动力学拉格朗日法求解动力学方程（续）2023/1/94刚体动力学牛顿-欧拉法求解动力学方程首先求取动能K,位能P,消耗能D,外力作的功W动能Km2xy1d1m12d2(x1,y1)(x2,y2)r22023/1/1047第四章机器人静力分析与动力学刚体动力学牛顿-欧拉法求解动力学方程m2xy1d1m12刚体动力学牛顿-欧拉法求解动力学方程(续)动能K位能P系统耗能D外力做的功Wm2xy1d1m12d2(x1,y1)(x2,y2)r22023/1/1048第四章机器人静力分析与动力学刚体动力学牛顿-欧拉法求解动力学方程(续)m2xy1d1m刚体动力学拉格朗日法求解动力学方程牛顿-欧拉法求解动力学方程2023/1/1049第四章机器人静力分析与动力学刚体动力学拉格朗日法求解动力学方程2023/1/949第四章刚体动力学牛顿-欧拉法求解动力学方程(续)在不考虑消耗的能量时，即c1=c2=0,则该结果与拉格朗日法的结果相同。2023/1/1050第四章机器人静力分析与动力学刚体动力学牛顿-欧拉法求解动力学方程(续)2023/1/95机器人的动态特性稳定性(stability)：临界阻尼衰减振荡，等幅振荡，发散振荡空间分辨度(spatialresolution)：直角坐标机器人：恒定的空间分辨度关节式球面坐标机器人：关节空间分辨度不变，笛卡儿空间分辨度可变对示教机器人，其空间分辨度的一致性很关键精度(accuracy)：三个因素各个控制部件的分辨度各个机械部件的偏差目标

2023/1/1051第四章机器人静力分析与动力学机器人的动态特性稳定性(stability)：临界阻尼202机器人的动态特性重复性(repeatability)：重复定位精度短期重复性：温度变化，启动/停止机器人的瞬态响应长期重复性：磨损，老化等漂移：同时影响短期重复性和长期重复性空间分辨度、精度与重复性：空间分辨度描述机器人所能控制的工具末端最小增量精度涉及一定空间分辨度下对某个固定目标的定位能力重复性描述工具末端返回预先示教过的位置时所产生的偏差一般地，除了漂移外，重复性比精度高。

2023/1/1052第四章机器人静力分析与动力学机器人的动态特性重复性(repeatability)：重复定机器人手的稳态负荷静力和力矩的表示：F——广义力不同坐标系间静力和力矩的变换

对于坐标系{C},有：2023/1/1053第四章机器人静力分析与动力学机器人手的稳态负荷静力和力矩的表示：F——广义力对于坐标系{机器人手的稳态负荷不同坐标系间静力和力矩的变换（续）

2023/1/1054第四章机器人静力分析与动力学机器人手的稳态负荷不同坐标系间静力和力矩的变换（续）2023机器人手的稳态负荷关节力矩的确定负荷质量的确定：关节力矩的应用机器人移动未知负荷时，可以由关节误差力矩求此负荷的质量。步骤为：设定速度增益，使之在最大负荷下也不产生欠阻尼响应命令机器人以恒速提升该负荷计算各个关节的静态误差力矩与力其中，ke为关节伺服放大器增益，km为伺服电机（装置）增益，e为静态位置误差假定机械手相对于基坐标系的位置由变换Z表示，未知负荷被末端工2023/1/1055第四章机器人静力分析与动力学机器人手的稳态负荷关节力矩的确定2023/1/955第四章机器人手的稳态负荷具夹持在负荷质心上。假设末端位姿用描述，用X表示负荷在基坐标系中的位姿，有：规定坐标系{G}处于负荷质心且与基坐标系平行在坐标系{G}中，末端夹手上1千克的负荷所产生的力为：定义变换Y，使下式成立：2023/1/1056第四章机器人静力分析与动力学机器人手的稳态负荷具夹持在负荷质心上。假设末端位姿用Classisover.

Bye-bye!2023/1/1057第四章机器人静力分析与动力学Classisover.

Bye-bye!2023/1/

雅可比矩阵两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。vxvy存在怎样的关系3.5机器人的雅可比矩阵2023/1/1058第四章机器人静力分析与动力学

雅可比矩阵两空间之间速度的线性映射关系—看一个两自由度平面关节机器人的末端点位置（x，y）图4-1

两自由度平面关节机器人容易求得将其微分得写成矩阵形式令末端位姿则2023/1/1059第四章机器人静力分析与动力学看一个两自由度平面关节机器人的末端点位置（x假设关节速度为，手爪速度为。式中J称为机器人雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移dθ与手部末端微小运动dX之间的关系。对dX=Jdθ，两边同除以dt，得2023/1/1060第四章机器人静力分析与动力学假设关节速度为机器人雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换。（或V）称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度，为关节速度。

J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为：式中，x代表操作空间，q代表关节空间。2023/1/1061第四章机器人静力分析与动力学机器人雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。由，可看出，J

阵的值随手爪位置的不同而不同，即θ1和θ2的改变会导致J的变化。2023/1/1062第四章机器人静力分析与动力学若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列对于关节空间的某些形位，机器人雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比矩阵的行列式为：det(J)=l1l2s2当θ2=0°或θ2=180°时，机械手的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1，因此处于奇异状态。在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。2023/1/1063第四章机器人静力分析与动力学对于关节空间的某些形位，机器人雅可比矩阵的秩只要知道机器人的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即。上例平面2R机器人的逆雅可比于是得到与末端速度相应的关节速度：显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷大。A^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,|A|为矩阵A的行列式,A*为矩阵A的伴随矩阵。2023/1/1064第四章机器人静力分析与动力学只要知道机器人的雅可比J是满秩的方阵，相应的例.图示二自由度机器人，手部沿固定坐标系X0轴正向以1m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5m。设在某瞬时

θ1=30°，θ2=60°，求相应瞬时关节速度。解：

二自由度机器人速度雅可比为： 逆雅可比为：

根据，vX=1m/s，vY=0，即

2023/1/1065第四章机器人静力分析与动力学例.图示二自由度机器人，手部沿固定3.5机器人的雅可比矩阵雅可比矩阵：机械手的笛卡儿空间运动速度与关节空间运动速度之间的变换称之为雅可比矩阵。关节空间向笛卡儿空间速度的传动比。

设x为表示机械手末端位姿的广义位置矢量，

q为机械手的关节坐标矢量,n个关节则为n维矢量x0y0z0zi2023/1/1066第四章机器人静力分析与动力学3.5机器人的雅可比矩阵雅可比矩阵：机械手的笛卡儿空间运动第四章

机器人静力分析与动力学4.1概述4.2机器人静力学4.3牛顿-欧拉方程4.4拉格朗日方程2023/1/1067第四章机器人静力分析与动力学第四章机器人静力分析与动力学4.1概述2023/1/91机器人动力学解机器人正动力学问题——已知机器人各关节驱动力或力矩，求机器人各关节轨迹或末端执行器（位姿）轨迹。机器人逆动力学问题——已知机器人各关节轨迹或末端执行器（位姿）轨迹，求机器人各关节驱动力或力矩。4.1概述2023/1/1068第四章机器人静力分析与动力学机器人动力学解机器人正动力学问题——已知机器人各关节驱动力或机器人动力学研究目的建立力、质量和加速度之间以及力矩、惯量和角加速度之间的关系。确定力和力矩，计算每个驱动器所需的驱动力，以便在机器人连杆和关节上产生期望的加速度。根据有关方程并考虑机器人的外部载荷计算出驱动器可能承受的最大载荷，设计出能提供足够力及力矩的驱动器。研究机器人不同部件之间的关系，合理地设计出机器人的部件。4.1概述2023/1/1069第四章机器人静力分析与动力学机器人动力学研究目的建立力、质量和加速度之间以及力矩、惯量和4.2

机器人静力分析机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力和力矩，统称为末端广义（操作）力矢量。记为n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量称为关节力矢量y0x0存在怎样的关系2023/1/1070第四章机器人静力分析与动力学4.2

机器人静力分析机器人与外界环境相互利用虚功原理，令各关节的虚位移为δqi

，末端执行器相应的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端执行器所作的虚功应该相等，即简写为:又因为,所以得到与之间的关系式中称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。2023/1/1071第四章机器人静力分析与动力学利用虚功原理，令各关节的虚位移为δqi，末若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量），则把操作空间的广义力矢量映射到关节空间的关节力矢量。关节空间操作空间雅可比J力雅可比JT2023/1/1072第四章机器人静力分析与动力学若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量若已知则有{T}{0}{0}{T}2023/1/1073第四章机器人静力分析与动力学若已知则有{T}{0}{0}{T}2023/1/916第四章{B}{A}{A}{B}JTJ根据前面导出的两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换关系，可以导出{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系。2023/1/1074第四章机器人静力分析与动力学{B}{A}{A}{B}JTJ根据前面导出的解：由前面的推导知例:如图4-3所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪作用于外界环境的力为，若关节无摩擦力存在，求力的等效关节力矩。所以得：图4-3

关节力和操作力关系y0x02023/1/1075第四章机器人静力分析与动力学解：由前面的推导知例:如图4-3所示的平面2R机械手，手爪机器人静力计算机器人操作臂静力计算可分为两类问题：(1)已知外界环境对机器人手部的作用力F，利用式求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ。(2)已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境的作用力或负载的质量。第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为

F=(JT)–1τ机器人自由度不是6时，例如n>6，力雅可比矩阵就不是方阵，则JT就没有逆解。故第二类问题的求解困难得多，一般情况不一定能得到惟一解。若F的维数比τ的维数低，且J满秩，则可利用最小二乘法求得F的估计值。

2023/1/1076第四章机器人静力分析与动力学机器人静力计算机器人操作臂静力计算可分为两类问题： 20例：如图示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩，求这时作用在螺钉上的力和力矩(

)2023/1/1077第四章机器人静力分析与动力学例：如图示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力解：根据图示的相应位姿关系得因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为：{S}{T}{S}{T}微分运动关系时：静力传递关系时：2023/1/1078第四章机器人静力分析与动力学解：根据图示的相应位姿关系得因此可得两坐标系的微分运动关系和4.4.1

转动惯量平移作为回转运动来分析根据牛顿第二定律和若把这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为m的杆件绕z轴的回转运动，则得到加速度和力的关系式为2023/1/1079第四章机器人静力分析与动力学4.4.1

转动惯量平移作为回转运动来分析根据牛顿第式中，和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运动时的质量，称为转动惯量

。将它们代入前面的方程，得：令，则有：2023/1/1080第四章机器人静力分析与动力学式中，和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。例：求图所示的质量为M，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转动惯量I。解：匀质杆的微段dx的质量用线密度ρ（=M/L）表示为dm=ρdx。该微段产生的转动惯量为。因此，把dI在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：2023/1/1081第四章机器人静力分析与动力学例：求图所示的质量为M，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转动例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的距离，则得到即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方的乘积。设刚体对过质心C的Zc轴的转动惯量为IZC，对与Zc轴平行的Z轴的转动惯量为IZ，该两轴间的距离为d，刚体的质量为M，则2023/1/1082第四章机器人静力分析与动力学例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。解：先就杆的一4.4.2

Newton-Euler递推动力学方程如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度、总质量m与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律:当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度，惯性张量与作用力矩n之间满足欧拉方程：2023/1/1083第四章机器人静力分析与动力学4.4.2

Newton-Euler递推动力学方程惯性张量令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的一个坐标系，相对于该坐标系｛c｝，惯性张量定义为３×３的对称矩阵：式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即Ixx，Iyy，Izz，其余元素为惯性积。

惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为主惯性矩。2023/1/1084第四章机器人静力分析与动力学惯性张量令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的例：如图所示的1自由度机械手。假定绕关节轴z的转动惯量为IZ，z轴为垂直纸面的方向。解：式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取z轴分量得到：zmg2023/1/1085第四章机器人静力分析与动力学例：如图所示的1自由度机械手。假定绕关节轴z的转动惯量为IZ4.4.3

Lagrange动力学对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动能；P是势能。

或

利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类Lagrange方程）为：表示动能，表示势能。2023/1/1086第四章机器人静力分析与动力学4.4.3

Lagrange动力学对于例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：2023/1/1087第四章机器人静力分析与动力学例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和解：连杆1，2的动能分别为：机械手总的动能为连杆1，2的势能分别为机械手总的位能（势能）为2023/1/1088第四章机器人静力分析与动力学解：连杆1，2的动能分别为：机械手总的动能为连杆1，2的势能计算各偏导数将以上结果代入Lagrange方程得2023/1/1089第四章机器人静力分析与动力学计算各偏导数将以上结果代入Lagrange方程附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下：总势能为代入Lagrange方程得，与前面的结果一致。这里I=IZ=IC+mL2C解：总动能

（θ为广义坐标）zmg2023/1/1090第四章机器人静力分析与动力学附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下：总势１.若1自由度机械手为匀质连杆，质量为m，长度为L，结果会怎样？２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连杆末端L处，结果会怎样？z2023/1/1091第四章机器人静力分析与动力学１.若1自由度机械手为匀质连杆，质量为m，长度为L，结果会怎牛顿-欧拉方程为使物体直线运动必须施加力的作用，力方程为：

为使物体旋转必须施加力矩，力矩方程为：上述方程建立了力、质量和加速度之间以及力矩、惯量和角加速度之间的关系。2023/1/1092第四章机器人静力分析与动力学牛顿-欧拉方程为使物体直线运动必须施加力的作用，力方程为：2拉格朗日方程拉格朗日动力学方程：L=K-P,L拉氏算子，K为动能，P为位（势）能。拉格朗日力学仅基于能量项对系统变量及时间的微分，只需求速度而无需内力（系统各内力），多数情况下使用比较容易。2023/1/1093第四章机器人静力分析与动力学拉格朗日方程拉格朗日动力学方程：2023/1/936第四章拉格朗日力学的两个基本方程：①物体作平动②物体作旋转运动2023/1/1094第四章机器人静力分析与动力学拉格朗日力学的两个基本方程：②物体作旋转运动2023/1/9机器人动力学方程推导步骤：(1)选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量qi，i=1,2,…,n。(2)选定相应关节上的广义力Fi：当qi是位移变量时，Fi为力；当qi是角度变量时，Fi为力矩。(3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。(4)代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。方程简化措施：(1)当杆件长度不太长，重量很轻时，重力矩项可以省略。(2)当关节速度不太大，机器人不是高速机器人时，含有项可以省略。(3)当关节加速度不太大，即关节电动机升、降速比较平稳时，含有项有时可以省略。但关节加速度减小会引起速度升降的时间增加，延长机器人作业循环的时间。2023/1/1095第四章机器人静力分析与动力学机器人动力学方程推导步骤：2023/1/938第四章机器关节空间的动力学方程

两自由度平面机器人手臂为例D(q)——n×n正定对称矩阵，称为操作臂的惯性矩阵；——n×1的离心力和科氏力矢量；G(q)——n×1的重力矢量，与操作臂形位q有关2023/1/1096第四章机器人静力分析与动力学关节空间的动力学方程 两自由度平面机器人手臂为例D(q)操作空间动力学方程

F——广义操作力矢量；——操作空间惯性矩阵；——离心力和科氏力矢量；——重力矢量；它们都是在操作空间中表示的。关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系2023/1/1097第四章机器人静力分析与动力学操作空间动力学方程 F——广义操作力矢刚体动力学刚体的动能与位能（平移运动）M0x1x0kcM1F动能位能耗能功F2023/1/1098第四章机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体的动能与位能（平移运动）M0x1x0kcM1F刚体动力学刚体的动能与位能（平移运动）

:当x0=0时，x1为广义坐标：x0和x1为广义坐标：牛顿-欧拉法(Newton-Euler)2023/1/1099第四章机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体的动能与位能（平移运动）:牛顿-欧拉法(Ne刚体动力学刚体的动能与位能（旋转运动）

两自由度平面机器人动力学方程推导连杆1：连杆2：xy1d1m12d2m2(x1,y1)(x2,y2)第四章机器人静力分析与动力学2023/1/10100第四章机器人静力分析与动力学刚体动力学刚体的动能与位能（旋转运动）xy1d1m12刚体的动能与位能（旋转运动）拉格朗日法求解动力学方程：构造拉格朗日函数L=K-P求取2023/1/10101第四章机器人静力分