数学理解概念学习的核心追求

数学理解：概念学习的核心追求宁波市奉化区锦溪小学汪杰

在概念学习中学生会遇到许多困难，如无法从实物图完成抽象，无法辨别相似概念，无法建立概念间的联系等等。突破这些难点需要加强学生的数学理解。那么，什么是数学理解?数学理解有哪几个层级?教学中应注意什么?本文以四年级《线段、直线、射线》一课教学为例，探讨数学理解的内涵、层级及教学策略跟进。一、叩问：数学理解的内涵与层级？

（一）什么是数学理解？

“理解”一词，被各个领域的专家进行广泛的研究与解读。例如巴甫洛夫说：理解是通过旧联想形成新联想。格式塔派则认为：理解是顿悟，是头脑中知觉“完形”的出现。皮亚杰认为理解建立在学习者对信息的传输与编码的基础上，根据已有经验和认知结构进行的主动建构。

在此基础上哈佛大学数学教授柏金斯提出：“数学理解是一种综合能力，它不仅能对概念构建清晰的心智表征，还能利用概念来进行解释、证实、推断、联系以及以一种超越知识和常规技能的方式进行应用。”

综上，数学理解是一种心智活动过程，它会在学习者内部形成具有个性特征的心智图像或模型。数学理解还是一种学习的结果，学习者对于概念的理解可以通过“解释、证实、推断、联结、应用”等行为外显，是可测量可评价的综合性能力。

（二）数学理解有哪些水平层级？

关于数学理解的层级划分有很多不同的标准，本文所采用的是我国学者吕林海提出的“EFSC”过程模型，即学生在数学学习的过程中会相继经历经验性理解、形式化理解、结构化理解和观念化理解四个阶段。◆经验化理解（初步理解）：学习者基于自身经验对概念做出最初的简单化直观解释或例举说明。◆形式化理解（确切理解）：学习者对自身经验进行一种抽象，整理与概括，实现对数学形式化符号与语言的意义解释，能对概念进行证实或实现推理。◆结构化理解（深刻理解）：学习者把概念与概念之间的意义、特征、判定方法等进行联结，在整体网络下把握概念的内涵与本质。◆观念化理解（透彻理解）：学习者对概念进行重构（再发现、再发明），了解概念构想和发现的文化背景，以及相关数学思想方法。

当然并不是所有数学理解都需要达到四个水平层级，例如两点间线段距离最短，学生只需达到经验化理解---直观解释即可。（三）小学四年级线概念的数学理解层级划分

那么在四年级“射线、直线、线段”一课，学生需要理解那些内容？理解需要达到什么层级，每一层级的具体表现是怎样的呢？笔者根据课程标准对于本课的具体要求进行数学理解层级划分，为教学设计提供目标导向，为水平测定提供操作依据。

在实际操作中，第一课时的概念学习主要让大部分学生达到形式化理解水平，在后续的复习与其它几何图形的学习过程中，逐步发展到结构化理解水平，鼓励部分优秀学生步入观念化理解水平。二、思索：基于数学理解的学习路径设计

数学理解水平划分如同为教学确定了将要达到的目的地，那么教师该创设怎样的教学路径带领学生步入高水平的数学理解呢？笔者建议多做以下三个维度的研究。（一）研读教材，挖掘隐含的理解内容

教材是众多专家、名师的教学经验与智慧形成的范本。在教材中四年级线概念一课主要内容有：“线的图像，线的定义与特征及符号表达，线特征之间的区别与联系”，这些内容自然是理解的重点，但还有许多隐含的具有价值的内容需要教师去挖掘。

例如教材中关于射线的定义“把线段向一端无限延伸，就得到了一条射线。射线可以用端点与射线上的一个点来表示，如射线AB。”从中我们不难发现它蕴含着两个方面的理解。一是线的延伸性。线段向一个方向无限延伸得到射线，向两个方向无限延伸得到直线，而有限延伸得到另一条线段，延伸性是线概念都具备的特征，它们的区别在于延伸的方向与距离。二是线的符号表达。线命名的作用是什么？为什么选用两个字母进行命名？当这些问题解决后，学生便能理解符号表达的优势---交流便利，还有可能洞察蕴含的本质---两点确定一线。

（二）查阅文献，厘清概念的理解要义

许多概念在教学中常常连教师自己也讲不清楚，这时我们需要对相关概念进行百科检索，站在高位多视角思辨，有助于发生联想实现顿悟。

对于点的词条解释中，我们知晓了点是0维的对象，它没有长度、更没有大小，甚至它可以是任意的形状，例如线段端点可以用“丨”表达。更巧的是欧几里得与笛卡尔同时提出，点是用来占位置的。由此，我们联想到作图时，线段明明有许多的点却偏偏只画两个端点？究其本质是端点所占的位置决定了线段的方向、距离，决定了这条线段的唯一性。由此顿悟“在什么位置”是理解点最核心的要义。

对于线的词条解释中，都提到了运动的观点，笔者联想到在辨析线段AB与射线AB时，B点一会儿是端点，一会儿是线上的点，更何况端点也是线上的点。如果我们用运动的观点去解释，A点便是起点，在B点停下时其为终点，如果到达B点继续向一个方向运动，那B点便成为经过的点，以运动为媒介，实现生活经验与数学表达的对应，意义的解释就变得清晰明了。

（三）换位思考，了然学生的理解难点

数学理解是一种内部心智活动，小学生由于个体心智不成熟，往往会产生许多成人难以预料的理解困难。笔者前测访谈中发现有几处普遍性的理解错误。

1.端点意义缺失。画线段是本节课最基础的技能要求，不少学生在作业环节把黑板边画成了直线，经过访谈了解到学生眼中黑板边就是直直的，两端并没有明显的点，跟直线图示一致。其实生活中的事例、数学中的图形许多时候端点并不外显（三角形作图一般不画顶点），是我们用数学的眼光抽象出来的，因此端点数学表达的意义认知缺失，是学生无法达到形式化理解的主要障碍。

2.运动视角缺失。“端点把线段长度固定了，怎么可以延长呢？”不少学生看到射线的定义时冒出这样的观点。笔者反问：“那生活中有哪些线段呢”，学生列举的材料集中指向于“拉紧的线”与“直的物体”，这些材料都是不能拉伸长度。笔者追问“那跑步过程能看成线段吗？冲过终点还能继续跑吗”，学生一听就懂了。可见，在教学线段时教师提供的原型单一，特别是缺少运动成线的经验积淀，是造成线段无法延伸误解的主要原因。

3.理性思维缺失。学生在辨析“射线AB与射线BA”时常常发生错误，认为这两条线方向都是水平，都有两个点，长度也一样，所以是同一条线。学生的视角很有意思，他们认为是所见即真相，其直觉冲动与感性思维占据主导地位，在理解过程中普遍缺乏全面的、慎密的理性思考。

通过上述三个维度的