信号与系统课件-第五章2讲滤波器

信号与系统同济大学汽车学院魏学哲5.4理想的低通滤波器一、理想的低通滤波器及其频率特性定义：一个理想的低通滤波器允许低于截止频率c的所有频率分量无失真地通过，而对高于c的所有频率分量能完全抑制。频率特性：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲01其中,t0为通过理想低通滤波器后的响应相对于激励的延迟时间信号与系统同济大学汽车学院魏学哲二、理想的低通滤波器的冲激响应信号与系统同济大学汽车学院魏学哲0(1)t信号与系统同济大学汽车学院魏学哲h(t)的波形：不同于(t)的波形，产生了严重的失真。这是因为理想低通滤波器是频带有限系统，而(t)的频带宽度是无限的，经理想低通滤波器加工，必然对信号波形产生影响：凡是高于c的频率分量都衰减为零。1、(t)在t=0时刻作用于系统，而系统响应h(t)在t=t0时刻才达到最大峰值，表明系统有延时作用；信号与系统同济大学汽车学院魏学哲2、h(t)比(t)的波形展宽了许多，表明(t)的高频分量被滤波器衰减掉了；3、冲激响应h(t)在t<0时，响应值已经存在，即系统的响应超前于激励，所以：理想低通滤波器是非因果系统，在物理上无法实现。实际的滤波器是它的逼近。信号与系统同济大学汽车学院魏学哲已知理想的低通滤波器的频率特性为输入阶跃信号的频谱为四、理想低通滤波器的阶跃响应信号与系统同济大学汽车学院魏学哲于是阶跃响应的傅立叶变换为所以：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲信号与系统同济大学汽车学院魏学哲代入上式令式中信号与系统同济大学汽车学院魏学哲Si(y)被称为正弦积分函数。画出g(t)的波形滤波器的作用使阶跃响应有了一个时间延迟；阶跃响应有一个上升时间；t<0时,g(t)0，也说明理想的低通滤波器是一个非因果系统。阶跃响应的上升时间与系统截止频率成反比；信号与系统同济大学汽车学院魏学哲利用低通滤波，从频域角度，相当于为激励的频谱开窗，在窗口内仅能看到一部分频率分量。利用矩形窗函数取信号频谱时，在时域的不连续点要出现上冲，理论研究表明，采用其他形式的窗函数有可能消除上冲。如选用升余弦类型的窗函数。理想低通对矩形脉冲的响应矩形脉冲的表示式为：其理想低通响应：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲理想低通滤波器不可以实现，但可逼近。LRC低通滤波电路如右图所示：若记5.5系统的物理可实现性和佩利-维纳准则信号与系统同济大学汽车学院魏学哲信号与系统同济大学汽车学院魏学哲信号与系统同济大学汽车学院魏学哲信号与系统同济大学汽车学院魏学哲系统可实现的准则：h(t)=0,t<01.在时域中满足因果条件：在理想低通滤波器的单位冲激响应中，取t>0的部分，即是物理可实现系统：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲H()物理可实现的必要条件是如果系统函数的幅度特性在某一限定的频带内为零,即则取对数后上式积分不收敛，则系统不可实现，因此理想低通、高通、带通滤波器均不可实现。2、频域准则（佩利-维纳准则）信号与系统同济大学汽车学院魏学哲对于高斯（钟型）函数利用佩利-维纳准则：系统不可实现信号与系统同济大学汽车学院魏学哲佩利-维纳准则要求可实现网络的幅度衰减不能过于迅速。对于由有理多项式构成的幅度特性，能够满足佩利-维纳准则。佩利-维纳准则仅从幅度特性提出要求，而在相位方面没有约束。假定将一物理可实现系统的冲激响应左移，成为非因果系统，则仍满足幅度要求，而实际成了非物理可实现系统。因此，佩利-维纳准则仅是必要条件。满足佩利-维纳准则，可找到适当的相位函数和幅度函数一起构成物理可实现系统。信号与系统同济大学汽车学院魏学哲5.6希尔伯特变换与系统函数的约束性系统可实现性的实质是具有因果性，由于因果性的限制，系统的实部和虚部或模与辐角将具备某种相互制约的特性，该特性以Hilbert变换的形式表现。对于因果系统：设h(t)的傅立叶变换可分为实部和虚部之和：运用傅立叶变换的频域卷积定理：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲信号与系统同济大学汽车学院魏学哲上式称为希尔伯特变换对，它说明具有因果性的系统的重要特性：实部被虚部唯一确定，反过来也一样。用类似的方法还可以研究可实现系统函数的模与相位之间的关系，可以证明：对于最小相移函数，模与相位之间也存在一定约束关系。若给定模，则相角被唯一确定，共同构成一个最小相移函数。信号与系统同济大学汽车学院魏学哲作业：5-15-25-45-9信号与系统同济大学汽车学院魏学哲