第3章线性代数方程组直接解法

改进的平方根法(/*ModifiedSquareRootingMethod*/)当时令Step1Step2Step3时Stepn

分解的实际计算公式：forfor求解方程组等价方程组先求解方程组再求解方程组方程组求解的实际计算公式：例11：用改进的平方根法求解下列方程组：解：系数矩阵为Step1Step2Step3求解方程组求解方程组§4用直接法解大型带状方程组/*DirectMethodforSolvingLargeScaleBandSystems*/一、大型等带宽带状方程组的分解方法(等带宽/*EquidistantBandWidth*/带状方程组)给定方程组，如果满足：且时，则称为上半带宽为，下半带宽为的带状矩阵，称为带状方程组；如果，则称为的半带宽，称为等带宽方程组；为的总带宽。例如上半带宽为2，下半带宽为1总带宽为3半带宽为t的等带状矩阵的一般形式:（保带状结构定理）设为上半带宽为，下半带宽为的带状矩阵，且其顺序主子式，则有唯一的三角分解，其中是下半带宽为的单位下三角阵，是上半带宽为的上三角阵。证明可根据前面讲过的三角分解公式保带状结构定理说明：矩阵的三角分解中，和带外元素为零，因此不必计算，且不必参加求和运算for大型等带宽带状矩阵的分解公式：Step1Stepk计算U的k行计算L的k列大型等带宽带状矩阵的压缩存储方法：用二维数组存储带内元素，并要求：在数组中保持矩阵元素的列号不变

常用的一种方法：带内主对角元素按行存储因此，计算时需要确定带内元素在中的行号注意到为二维数组的中间行号所以，在中表示为

如果带状矩阵对称，按照方法只需存储对角线以下部分的带内元素，并保持矩阵元素的列号不变。此时，带内元素在中的行号

在中表示为二、三对角线性方程组的三对角算法（追赶法）三对角线性方程组其中根据保带状结构定理，系数矩阵可作如下三角分解：矩阵分解的计算公式：方程组求解的计算公式：

解方程组

解方程组“追”的过程“赶”的过程追赶法实现的条件设为前述三对角矩阵，且满足下列条件：

则非奇异，且定理表明：如果三对角矩阵为严格对角占优矩阵，则可以采用追赶法求解。证明：且有下面首先利用归纳法证明由矩阵的三角分解知：非奇异。三、大型变带宽对称正定方程组的改进的平方根解法(变带宽/*

VariableBandWidth

*/带状方程组)给定方程组，时，则称为变带宽矩阵，称为矩阵的第行半带宽（）。如果称为变带宽方程组，记矩阵的第行带内第一个非零元素的列号为例如：设对称正定，矩阵的第行半带宽为第行带内第一个非零元素的列号为由保带状结构定理，若，则或者仍然保持变带宽结构，且带外元素不必参与运算。修改后分解的计算公式：forfor其中求解方程组等价方程组其中方程组可以采用“列”形式回代求解先求解方程组再求解方程组修改后方程组求解的计算公式：for对称变带宽带状矩阵的压缩存储方法：例如：用一维数组按行来存储下三角部分带内元素一维数组中元素和矩阵元素的对应关系矩阵主元在数组中的位置：

对称变带宽矩阵使用一维数组存储的总存储量：矩阵下三角部分带内元素的表示形式：设元素在一维