2018-2019数学新学案同步必修二浙江专用版讲义：第四章 圆与方程4.1.2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精4。1。2圆的一般方程学习目标1。掌握圆的一般方程及其特点。2。会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程．知识点圆的一般方程思考方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？答案对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得（x－1)2＋（y＋2)2＝4，表示以（1，－2）为圆心，2为半径的圆，对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方,得(x－1）2＋（y＋2）2＝－1，不表示任何图形．梳理方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(D，2），－\f(E，2)))D2＋E2－4F〉0表示以eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(D，2)，－\f(E，2）))为圆心，以eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F）为半径的圆1．圆的一般方程可以化为圆的标准方程．（√）2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(×）3．若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆,则E≠0。(√）类型一圆的一般方程的理解例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径

解由表示圆的条件,得（2m)2＋(－2）2－4(m2＋5m)〉0,解得m<eq\f(1,5）,即实数m的取值范围为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1，5）))。圆心坐标为(－m,1），半径为eq\r（1－5m）.反思与感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1）由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F〉0成立，则表示圆，否则不表示圆．（2）将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1(1）已知a∈R,方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为______．考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案（－2,－4)5解析由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，得a＝2或－1.当a＝2时,该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋eq\f（5,2)＝0，∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×eq\f(5，2）＜0，∴a＝2不符合题意．当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0,即(x＋2）2＋(y＋4）2＝25,∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(2）若点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案9π解析圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2），－1)），由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，∴－eq\f（k,2)＋1＋1＝0，得k＝4，∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为eq\f(1,2）eq\r(42＋22＋16)＝3，∴该圆的面积为9π.类型二求圆的一般方程例2已知A（2，2），B(5，3)，C（3，－1)．（1）求△ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a，2）在△ABC的外接圆上，求a的值．考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用解(1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,由题意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（22＋22＋2D＋2E＋F＝0，,52＋32＋5D＋3E＋F＝0，,32＋－12＋3D－E＋F＝0，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(D＝－8,，E＝－2，,F＝12。）)即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.（2）由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵点M(a，2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0,解得a＝2或6。引申探究若本例中将“点C（3，－1）"改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y＝－x对称”,其他条件不变,如何求圆C的方程?解∵kAB＝eq\f（3－2，5－2）＝eq\f(1,3)，AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(7,2),\f(5,2))）,∵AB的垂直平分线方程为y－eq\f（5，2)＝－3eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（7,2)）).联立eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝－x，，y－\f（5，2）＝－3\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(7,2）)),）)得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（13,2)，,y＝－\f(13,2)，）)即圆心C的坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（13,2），－\f(13，2））),r＝eq\r(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(13，2)－2）)2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(13，2）－2)）2）＝eq\f（\r(370)，2)，∴圆C的方程为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(13，2)））2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（y＋\f(13,2）))2＝eq\f（185，2).反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2已知一圆过P（4,－2)，Q（－1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为4eq\r(3)，求圆的方程．考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用解方法一（待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,将P,Q的坐标分别代入上式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＋20＝0，①，D－3E－F－10＝0.②))令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③由已知得|y1－y2｜＝4eq\r(3）,其中y1,y2是方程③的根，∴|y1－y2|2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④联立①②④解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，，E＝0，,F＝－12）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(D＝－10，，E＝－8，,F＝4。)）故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0。方法二(几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上,设其坐标为（a，a－1)．又圆C的半径长r＝｜CP｜＝eq\r（a－42＋a＋12）. (＊)由已知得圆C截y轴所得的线段长为4eq\r(3)，而圆心C到y轴的距离为|a|，∴r2＝a2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（4\r(3),2）））2，代入（＊）式整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1,a2＝5，∴r1＝eq\r(13）,r2＝eq\r（37).故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5）2＋(y－4）2＝37.类型三与圆有关的轨迹方程例3已知圆心为C的圆经过点A（1，1)和B（2，－2）,且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．（1)求圆C的方程；（2）线段PQ的端点P的坐标是（5,0），端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．考点与圆有关的轨迹问题题点求圆外一点与圆上一点的中点的轨迹问题解（1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则Deq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3,2),－\f(1，2))）。又kAB＝－3，所以km＝eq\f(1,3)，所以直线m的方程为x－3y－3＝0。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y－3＝0，，x－y＋1＝0）)得圆心C（－3，－2)，则半径r＝|CA|＝eq\r（－3－12＋－2－12）＝5，所以圆C的方程为(x＋3)2＋（y＋2)2＝25。(2)设点M（x,y），Q（x0，y0)．因为点P的坐标为(5,0）,所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（x0＋5,2)，,y＝\f（y0＋0,2)，）)即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x0＝2x－5，,y0＝2y.))又点Q（x0，y0）在圆C：(x＋3）2＋（y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3）2＋(y0＋2)2＝25,即（2x－5＋3）2＋(2y＋2）2＝25.整理得(x－1）2＋（y＋1)2＝eq\f(25，4)。即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为（x－1)2＋(y＋1)2＝eq\f(25,4）。

反思与感悟求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法:根据题目条件,建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．（2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程．（3)代入法：若动点P（x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1）而运动,把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得P点的轨迹方程．特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点．跟踪训练3等腰三角形的顶点是A（4，2），底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？考点与圆有关的轨迹问题题点求三角形顶点的轨迹方程解设另一端点C的坐标为(x,y)．依题意，得|AC|＝｜AB｜.由两点间距离公式，得eq\r(x－42＋y－22)＝eq\r(4－32＋2－52），整理得(x－4)2＋（y－2)2＝10，这是以点A（4，2）为圆心，以eq\r（10）为半径的圆，又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A，B，C三点不共线，即点B,C不能重合，且B，C不能为圆A的一条直径的两个端点．因为B，C不能重合,所以点C不能为(3，5)．又因为B,C不能为一条直径的两个端点，所以eq\f(x＋3,2）≠4，且eq\f(y＋5,2）≠2，即点C不能为(5,－1)．故端点C的轨迹方程是（x－4）2＋（y－2)2＝10(除去点（3,5)和(5,－1））,它的轨迹是以点A（4，2）为圆心，eq\r(10）为半径的圆，但除去(3，5)和（5，－1)两点。1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为(）A．8π B．4πC．2π D．π考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案C解析原方程可化为（x－1）2＋（y＋3）2＝2，∴半径r＝eq\r(2），∴圆的面积为S＝πr2＝2π。2．若点M(3，0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案C解析圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4，2)，则过点M(3，0）且过圆心（4，2）的弦最长．由k＝eq\f(2－0，4－3)＝2，可知C正确．3．若方程x2＋y2－axy－4y＋1＝0表示圆，则a等于（)A．－1 B．0C．1 D．2考点圆的一般方程题点二元二次方程表示圆的条件答案B4．若方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C（2，2）,半径为2的圆，则a，b,c的值依次为（)A．－2，4，4 B．－2，－4，4C．2,－4，4 D．2，－4，－4考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案A解析由方程得圆心坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－a，\f(b，2)))，半径为r＝eq\f（\r（4a2＋b2－4c)，2).由已知,得－a＝2，eq\f（b,2)＝2，eq\f(\r(4a2＋b2－4c)，2）＝2，解得a＝－2，b＝4，c＝4.5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆（x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．

考点与圆有关的轨迹问题题点有关点的轨迹的其他问题解设B点坐标是（x，y)，点A的坐标是（x0，y0），由于点C的坐标是（4，3)且点C是线段AB的中点，所以4＝eq\f(x0＋x,2)，3＝eq\f(y0＋y，2），于是有x0＝8－x,y0＝6－y. ①因为点A在圆（x＋1）2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1）2＋y2＝4，即（x0＋1)2＋yeq\o\al（2,0）＝4， ②把①代入②，得(8－x＋1)2＋（6－y）2＝4，整理,得(x－9)2＋(y－6）2＝4.所以点B的轨迹方程为(x－9）2＋(y－6）2＝4.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D2＋E2－4F〉0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件．求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．一、选择题1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为（)A．2B.eq\f(\r（2),2)C．1D。eq\r(2）考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案D解析因为圆心坐标为(1,－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝eq\f(|1＋2－1|，\r(2））＝eq\r(2）。2．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为（)A．以（a，b）为圆心的圆B．以（－a，－b)为圆心的圆C．点（a,b）D．点（－a，－b）考点与圆有关的轨迹问题题点有关点的轨迹的其他问题答案D解析原方程可化为（x＋a)2＋(y＋b)2＝0，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋a＝0，,y＋b＝0，））即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－a，，y＝－b.)）∴方程表示点（－a，－b)．3．当a为任意实数时,直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq\r（5)为半径的圆的方程为（)A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案C解析直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1）＋a（1＋x)＝0，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－y＋1＝0，，x＋1＝0，）)得C(－1，2）．∴圆的方程为(x＋1)2＋（y－2）2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.4．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r＞0)的圆，则该圆的圆心在(）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案D解析因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，又方程可化为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f（a，2)）)2＋(y－a）2＝－eq\f（3，4)a2－3a，故圆心坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(a，2），a）)，r2＝－eq\f（3,4）a2－3a。由r2＞0,即－eq\f(3，4)a2－3a＞0，解得－4＜a＜0，故该圆的圆心在第四象限．

5．若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是()A．m＞0 B．m＜eq\f（1，2)C．0＜m＜eq\f（1，2） D．0≤m≤eq\f(1,2)考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案C解析x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2）)）2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2）））2＝eq\f（1,2）－m,则eq\f（1，2）－m＞0，解得m＜eq\f(1,2).因为点(1，－1）在圆外,所以1＋1－1－1＋m＞0，即m＞0，所以0＜m＜eq\f(1，2).故选C.6．点P(4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．（x－2）2＋（y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1）2＝4C．(x＋4)2＋（y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1）2＝1考点与圆有关的轨迹问题题点求圆外一点与圆上一点的中点的轨迹问题答案A解析设圆上任一点坐标为（x0，y0)，xeq\o\al（2,0）＋yeq\o\al(2，0）＝4，连线中点坐标为(x，y)，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝x0＋4,,2y＝y0－2，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝2x－4，,y0＝2y＋2，)）代入xeq\o\al(2，0)＋yeq\o\al（2,0）＝4中，得（x－2)2＋(y＋1)2＝1.7．已知三点A(1,0)，B（0,eq\r（3））,C(2,eq\r（3）),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A。eq\f（5，3)B。eq\f（\r（21),3)C。eq\f（2\r（5）,3）D。eq\f（4，3)考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案B解析设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1＋D＋F＝0，,3＋\r(3）E＋F＝0,，4＋3＋2D＋\r（3）E＋F＝0，)）解得D＝－2,E＝－eq\f（4\r(3），3)，F＝1。即△ABC外接圆的方程为x2＋y2－2x－eq\f（4\r(3），3)y＋1＝0.∴圆心坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1,\f(2\r(3），3）)),∴圆心到原点的距离为eq\r（12＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2\r(3)，3）)）2)＝eq\f(\r(21)，3).8．已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(）A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝0考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案D解析设圆心C的坐标为（a，0)，a>0，∴d＝eq\f（|3a＋4|,5）＝2，∴a＝2，∴圆C的方程为（x－2)2＋y2＝4,即x2＋y2－4x＝0。二、填空题9．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0（a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________。考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的对称问题答案－2解析由题意知，直线l：x－y＋2＝0过圆心eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－1，－\f（a,2））），则－1＋eq\f(a，2)＋2＝0，得a＝－2。

10．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0,那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案(0，－1）解析因为r＝eq\f（1，2)eq\r（k2＋4－4k2)＝eq\f（1，2)eq\r（4－3k2)，所以当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大,圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0,即x2＋（y＋1）2＝1，圆心坐标为(0，－1)．11．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的对称问题答案(－∞，1)解析由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1，2),代入直线方程,得b＝4,所以圆的方程化为标准方程为（x＋1）2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5，由此得a－b＜1.12．已知点A（1，－2）,B(4，0），P(a，1），N(a＋1,1),当四边形PABN的周长最小时，过A，P,N三点的圆的圆心坐标为________________．考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的最值问题答案eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(3，－\f(9，8)）)解析因为AB,PN的长为定值,所以只需求|PA｜＋｜BN|的最小值．因为|PA|＋｜BN|＝eq\r(a－12＋［1－－2]2）＋eq\r(a－32＋1－02），其几何意义为动点（a，0）到两定点(1,3）和（3，－1)的距离之和，所以当这三点共线,即a＝eq\f（5，2）时，其和取得最小值．此时，线段PN的中垂线x＝3，与线段PA的中垂线y＋eq\f（1，2）＝－eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(7，4）)）的交点为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(3，－\f(9，8）))，即所求圆的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f（9，8）)）。三、解答题13．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq\r(2)，求圆的一般方程．考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用解圆心C的坐标为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（D，2），－\f（E，2）)），因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－eq\f(D,2)－eq\f(E，2)－1＝0，即D＋E＝－2. ①又r＝eq\f（\r(D2＋E2－12）,2)＝eq\r(2)，所以D2＋E2＝20。 ②由①②可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(D＝2，，E＝－4)）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(D＝－4，，E＝2.）)又圆心在第二象限，所以－eq\f(D，2)〈0，即D〉0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2,，E＝－4，)）所