2018-2019数学新学案同步必修二浙江专用版讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2.1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2。2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定学习目标1。通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理.2。掌握直线与平面平行的判定定理,并能初步利用定理解决问题．知识点直线与平面平行的判定定理思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内）和平面α有何位置关系?答案平行．思考2如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？答案由于直线a∥b，所以两条直线共面．直线a与平面α不相交．梳理线面平行的判定定理表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（a⊄α，b⊂α,a∥b)）⇒a∥α1．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α。(×）2．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．（×）3．两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行．(×)类型一线面平行判定定理的理解例1如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(）A．相交 B．b∥αC．b⊂α D．b∥α或b⊂α考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析由a∥b，且a∥α，知b∥α或b⊂α。反思与感悟用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件(1）直线a在平面α外，即a⊄α；（2）直线b在平面α内,即b⊂α；（3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．跟踪训练1下列说法正确的是（)A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅,直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误,a还可以与平面α相交或在平面α内．故选D.类型二直线与平面平行的证明eq\x(命题角度1以锥体为背景证明线面平行)例2如图,S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且eq\f（AM，SM)＝eq\f(DN，NB）。求证：MN∥平面SBC.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明连接AN并延长交BC于P,连接SP。因为AD∥BC，所以eq\f(DN,NB)＝eq\f(AN，NP)，又因为eq\f（AM，SM)＝eq\f（DN，NB)，所以eq\f（AM,SM)＝eq\f(AN，NP）,所以MN∥SP，又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC，所以MN∥平面SBC。引申探究本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC。证明连接AC，由平行四边形的性质可知AC必过BD的中点N，在△SAC中，M,N分别为SA，AC的中点,所以MN∥SC，又因为SC⊂平面SBC，MN⊄平面SBC，所以MN∥平面SBC.反思与感悟利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．跟踪训练2如图，四边形ABCD是平行四边形,P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明如图，取PD的中点G,连接GA,GN。∵G，N分别是△PDC的边PD,PC的中点，∴GN∥DC，GN＝eq\f(1,2）DC.∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，∴AM＝eq\f（1,2)DC,AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.又∵MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD。eq\x（命题角度2以柱体为背景证明线面平行）例3在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明解如图，取线段AB的中点为M,连接A1M,MC,A1C，AC1,设O为A1C，AC1的交点．由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE,则MD，OE分别为△ABC,△ACC1的中位线，所以MD∥AC且MD＝eq\f（1，2)AC，OE∥AC且OE＝eq\f（1，2)AC，因此MD∥OE且MD＝OE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO。因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.引申探究将本例改为在三棱柱ABC－A1B1C1中，若M为AB的中点，求证:BC1∥平面A1CM。证明如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又因为M是AB的中点，连接MF，所以BC1∥MF。因为MF⊂平面A1CM,BC1⊄平面A1CM，所以BC1∥平面A1CM.反思与感悟证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线．跟踪训练3如图,O是长方体ABCD－A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明如图，连接B1D1交A1C1于点O1，连接DO1，∵B1B∥D1D，B1B＝D1D,∴四边形B1BDD1为平行四边形,∴O1B1∥DO，O1B1＝DO,∴O1B1OD为平行四边形，∴B1O∥O1D，∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D.1．有以下四个说法，其中正确的说法是（）①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②若直线与平面内的任意一条直线不相交,则直线与平面平行；③若直线与平面内的无数条直线不相交,则直线与平面平行;④若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交．A．①②B．①②③C．①③④D．①②④考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析③中若直线在平面内，虽与平面内的无数条直线平行，但直线与平面不平行，故③不正确，①②④正确．2．若M,N分别是△ABC边AB，AC的中点，则MN与过直线BC的平面β的位置关系是（）A．MN∥βB．MN与β相交或MN⊂βC．MN∥β或MN⊂βD．MN∥β或MN与β相交或MN⊂β考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案C解析若平面β是△ABC所在的平面，则MN⊂β。若MN⊄β,则MN∥β。故选C。3.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E,F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有（)A．1个B．2个C．3个D．4个考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平行解析∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE,AC⊂平面ACE，∴A1C1∥平面ACE。5．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1,AA1＝eq\r（3)。若D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点,证明：DE∥平面AB1C1。考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明取AB1的中点H，连接EH，HC1。∵E为棱AB的中点，∴EH∥BB1且EH＝eq\f（1，2）BB1.又∵D为棱CC1的中点,∴DC1＝eq\f（1,2)CC1,又BB1∥CC1且BB1＝CC1,∴EH∥DC1且EH＝DC1，∴四边形EHC1D为平行四边形,∴DE∥HC1.又∵HC1⊂平面AB1C1,DE⊄平面AB1C1，∴DE∥平面AB1C1.1．判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．（2)判定定理法：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(3）排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的常用方法（1)利用三角形、梯形中位线的性质．(2)利用平行四边形的性质．（3)利用平行线分线段成比例定理.一、选择题1．能保证直线a与平面α平行的条件是（)A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α,a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．a⊄α，b⊂α,a∥b考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(）A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案B解析若在平面α内存在与直线l平行的直线,因l⊄α,故l∥α,这与题意矛盾．3．过直线l外两点,作与l平行的平面，则这样的平面（)A．不可能作出 B．只能作出一个C．能作出无数个 D．上述三种情况都存在考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析设直线外两点为A，B，若直线AB∥l，则过A,B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行;若直线AB与l相交，则过A，B没有平面与l平行．4。如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论:①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案C解析由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD,故①正确；PD⊂平面PCD，OM⊄平面PCD，∴OM∥平面PCD,故②正确；同理可得：OM∥平面PDA，故③正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故④，⑤不正确．故共有3个结论正确．5．直线a,b为异面直线,过直线a与直线b平行的平面（)A．有且只有一个 B．有无数多个C．有且只有一个或不存在 D．不存在考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案A解析在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面,可知它是唯一的．6．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的是()A．①③B．①④C．②③D．②④考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案B解析对于①，如图,连接BC交PN于点D，连接MD。由MD∥AB，AB⊄平面MNP，MD⊂平面MNP，得AB∥平面MNP。对于④，由AB∥NP，AB⊄平面MNP，NP⊂平面MNP，可得AB∥平面MNP.7．如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若eq\f(AE,CE)＝eq\f(BF,FC）＝eq\f(BG，GD)，则与平面EFGH平行的直线有()A．0条 B．1条C．2条 D．3条考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案C解析∵eq\f(AE，CE）＝eq\f（BF,FC),∴EF∥AB.又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，∴AB∥平面EFGH。同理，由eq\f(BF，FC）＝eq\f（BG，GD)，可证CD∥平面EFGH.∴与平面EFGH平行的直线有2条．8．如图,已知三棱柱ABC—A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点,且eq\f（AD,DA1)＝m，若AE∥平面DB1C，则m的值为()A。eq\f（1,2）B．1C。eq\f(3,2)D．2考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案B解析如图,取CB1的中点G，连接GE，DG,当m＝1时,AD＝GE＝eq\f（1，2)BB1且AD∥GE，∴四边形ADGE为平行四边形，则AE∥DG，又AE⊄平面DB1C,DG⊂平面DB1C,可得AE∥平面DB1C.二、填空题9．已知l，m是两条直线,α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案l⊄α10．三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上,且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平行解析如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC,∴EG∥平面SBC。11．如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M,N分别是BF,BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平行解析∵M，N分别是BF,BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE。又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE。三、解答题12．（2018届绍兴模拟)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M,N分别为A1C1，AB1的中点．（1)证明：MN∥平面BB1C1C；(2）若CM⊥MN,求三棱锥M—NAC的体积．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明(1）证明连接A1B，BC1，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，所以MN为△A1BC1的一条中位线,所以MN∥BC1，又MN⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.（2）解设点D，E分别为AB，AA1的中点，AA1＝a，连接ND,CD,则CM2＝a2＋1，MN2＝1＋eq\f（a2＋4,4）＝eq\f（a2＋8，4)，CN2＝eq\f（a2，4）＋5＝eq\f（a2＋20,4)，由CM⊥MN,得CM2＋MN2＝CN2，解得a＝eq\r(2)，又NE⊥平面AA1C1C，NE＝1，V三棱锥M—NAC＝V三棱锥N—AMC＝eq\f（1，3)S△AMC·NE＝eq\f(1,3)×eq\f(1，2）×2×eq\r(2）×1＝eq\f（\r(2）,3）。所以三棱锥M—NAC的体积为eq\f（\r（2)，3）.13．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面F