2018-2019数学新学案同步必修二人教A版全国通用版讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2.4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2.4平面与平面平行的性质学习目标1。掌握平面与平面平行的性质,并会应用性质解决问题。2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．知识点平面与平面平行的性质观察长方体ABCD—A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？答案是的．思考2若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1,则m∥n吗？答案不一定，也可能异面．思考3过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？答案平行．梳理两平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β,α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言1．若平面α∥平面β,l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m。（×)2．夹在两平行平面的平行线段相等．（√)类型一面面平行的性质定理的应用eq\x(命题角度1由面面平行的性质定理求线段长）例1如图，平面α∥β，A,C∈α,B，D∈β，直线AB与CD交于点S,且AS＝3,BS＝9，CD＝34,求CS的长．考点平面与平面平行的性质题点与面面平行性质有关的计算证明设AB,CD共面γ,因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β,所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以eq\f(SC,SC＋CD）＝eq\f（SA，SB）,即eq\f（SC,SC＋34)＝eq\f（3，9）,所以SC＝17.反思与感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练1将例1改为：如图,平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α,β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F。已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3,求AB，BC，EF的长．考点平面与平面平行的性质题点与面面平行性质有关的计算解如图所示．连接AF，交β于点G,则点A,B，C，G共面．∵β∥α，平面ACF∩β＝BG,平面ACF∩γ＝CF，∴BG∥CF，∴△ABG∽△ACF，∴eq\f（AB,BC）＝eq\f（AG，GF），同理,有AD∥GE，eq\f（AG，GF）＝eq\f(DE，EF）,∴eq\f（AB,BC）＝eq\f(DE，EF)。又eq\f(AB,BC）＝eq\f（1，3)，∴AB＝eq\f(1,4）AC＝eq\f（15，4)cm，BC＝eq\f（3，4）AC＝eq\f（45，4)cm。∴EF＝3DE＝3×5＝15cm.eq\x（命题角度2利用面面平行证明线线平行)例2如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行,求证：四边形ABCD是平行四边形．考点平面与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明∵四边形A′B′C′D′是平行四边形,∴A′D′∥B′C′.∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C。同理AA′∥平面BB′C′C.∵A′D′⊂平面AA′D′D,AA′⊂平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′,∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC,∴AD∥BC。同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．反思与感悟（1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．（2)面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．跟踪训练2如图,在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA,PB，PC的中点，M是AB上一点,连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证:NF∥CM。考点平面与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明因为D，E分别是PA，PB的中点,所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC,同理DF∥平面ABC,且DE∩DF＝D,DE,DF⊂平面DEF,所以平面DEF∥平面ABC。又平面PCM∩平面DEF＝NF,平面PCM∩平面ABC＝CM,所以NF∥CM。类型二平行关系的综合应用例3如图,在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P,Q分别是BC，C1D1，AD1,BD的中点．(1）求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3）求证：EF∥平面BB1D1D.考点平行的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化（1)证明如图，连接AC，CD1.因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点,所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点,所以PQ∥CD1。又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1,所以PQ∥平面DCC1D1.(2)解由(1)易知PQ＝eq\f(1，2)D1C＝eq\f（\r(2）,2)a.(3）证明方法一取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1∥B1C1且FO1＝eq\f(1，2)B1C1.又BE∥B1C1且BE＝eq\f（1，2)B1C1，所以BE∥FO1，BE＝FO1。所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1，又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D,所以EF∥平面BB1D1D。方法二取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1,EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，FE1，EE1⊂平面EE1F,B1D1，BB1⊂平面BB1D1D，所以平面EE1F∥平面BB1D1D。又EF⊂平面EE1F,所以EF∥平面BB1D1D。反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练3如图所示,在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面,能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．考点平行的综合应用题点平行中的探索性问题解能．分别取AB，C1D1的中点M,N,连接A1M，MC,CN，NA1。∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，平面A1MCN∩平面A1B1C1D1＝A1N,平面ABCD∩平面A1MCN＝MC，∴A1N∥MC.同理A1M∥NC.∴四边形A1MCN是平行四边形．∵C1N＝eq\f(1，2）C1D1＝eq\f(1,2)A1B1＝A1P，C1N∥A1P,∴四边形A1PC1N是平行四边形,∴A1N∥PC1.同理A1M∥BP。又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，A1N，A1M⊂平面A1MCN，C1P，PB⊂平面PBC1，∴平面A1MCN∥平面PBC1.故过点A1与截面PBC1平行的截面是平面A1MCN.连接MN，作A1H⊥MN于点H.由题意,易得A1M＝A1N＝eq\r(5)，MN＝2eq\r（2）.∴四边形A1MCN是菱形，MH＝NH＝eq\r（2),∴A1H＝eq\r（3).故＝＝2×eq\f（1，2）×2eq\r(2)×eq\r（3)＝2eq\r（6）.1．已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是（)A．平行 B．相交C．异面 D．不确定考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案A解析由面面平行的性质定理易得．2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案D解析由于α∥β，a⊂α,M∈β，过M有且只有一条直线与α平行，故D项正确．3．如图,不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是()A．相似但不全等的三角形B．全等三角形C．面积相等的不全等三角形D．以上结论都不对考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案B解析由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′,则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.同理BC＝B′C′,AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.4．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,则四边形ABCD的形状一定是________．考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案平行四边形解析由夹在两平行平面间的平行线段相等可得．1．常用的面面平行的其他几个性质（1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．（2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图一、选择题1．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(）A．两两相互平行B．两两相交于同一点C．两两相交但不一定交于同一点D．两两相互平行或交于同一点考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案A解析可以想象四棱柱．由面面平行的性质定理可得．2．下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面,必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等．其中正确的命题的个数为(）A．1B．2C．3D．0考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案C解析根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.3．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（）A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案D解析充分性:A，B，C，D四点共面,由平面与平面平行的性质知AC∥BD。必要性显然成立．4。如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC,α分别交线段PA，PB，PC于A′,B′，C′,若PA′∶AA′＝2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5考点平面与平面平行的性质题点与面面平行性质有关的计算答案B解析∵平面α∥平面ABC,平面PAB与它们的交线分别为A′B′,AB,∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S△A′B′C′∶S△ABC＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（A′B′,AB）)）2＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（PA′，PA)））2＝eq\f(4，25）.5．α，β，γ为三个不重合的平面,a，b，c为三条不同的直线,则下列命题中不正确的是（）①eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（a∥c，b∥c）)⇒a∥b; ②eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(a∥γ,b∥γ))⇒a∥b;③eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（α∥c，β∥c））⇒α∥β; ④eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(α∥γ，β∥γ））⇒α∥β；⑤eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(α∥c,a∥c))⇒α∥a； ⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,a∥γ）)⇒a∥α。A．④⑥ B．②③⑥C．②③⑤⑥ D．②③考点平行的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案C解析由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B,M作正方体的截面，则这个截面的面积为（)A.eq\f（3\r（5)，2)B。eq\f（9,2)C.eq\f(9，8)D.eq\f(3\r(5）,8）考点平面与平面平行的性质题点与面面平行性质有关的计算答案B解析取AA1的中点N，连接MN，NB,MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN＝eq\f（1,2）BC1＝eq\r（2），MC1＝BN＝eq\r（5），∴梯形的高为eq\f(3，\r(2）），∴梯形的面积为eq\f（1，2)(eq\r（2）＋2eq\r(2）)×eq\f（3，\r（2）)＝eq\f（9，2）。7．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C（)A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动，都共面考点平行的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案D解析如图所示，A′，B′分别是A,B两点在α,β上运动后的两点，此时AB的中点C变成A′B′的中点C′，连接A′B,取A′B的中点E.连接CE，C′E,AA′，BB′，CC′,则CE∥AA′,又CE⊄α，AA′⊂α，∴CE∥α。又C′E∥BB′，C′E⊄β，BB′⊂β,∴C′E∥β。又∵α∥β，C′E⊄α，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E，C′E，CE⊂平面CC′E，∴平面CC′E∥平面α，∴CC′∥平面α。∴不论A,B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α，β平行的平面上．8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．不存在 B．有1条C．有2条 D．有无数条考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案D解析显然平面D1EF与平面ADD1A1相交,则在平面ADD1A1内与这两个平面的交线平行且不重合的直线有无数条，这些直线都与平面D1EF平行．二、填空题9。如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N,则eq\f（MN，AC）＝________.考点平面与平面平行的性质题点与面面平行性质有关的计算答案eq\f(1，2)解析∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C,EM∥B1A，又∵E为BB1的中点,∴M,N分别为BA，BC的中点，∴MN＝eq\f（1，2）AC,即eq\f（MN，AC）＝eq\f(1，2).10。如图所示，平面α∥平面β，△ABC,△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2,AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2,则△A′B′C′的面积为________．答案eq\f（4\r（3），9)解析AA′，BB′相交于O,所以AA′,BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，有AB∥A′B′，且eq\f(OA,OA′）＝eq\f（AB，A′B′）＝eq\f(3，2)，同理可得eq\f(OA,OA′）＝eq\f(AC，A′C′）＝eq\f(3,2)，eq\f（OA，OA′)＝eq\f（BC,B′C′)＝eq\f(3,2），所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，又△ABC的面积为eq\r（3)，所以△A′B′C′的面积为eq\f(4\r（3),9）。11．如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD∥BE，AC∥DG∥EF，且AB＝DE，DG＝2EF，则下列说法中正确的是________．（填序号)①BF∥平面ACGD；②CF∥平面ABED；③BC∥FG；④平面ABED∥平面CGF.考点平行的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案①解析∵EF∥DG，BE∥AD，BE∩EF＝E，AD∩DG＝D，∴平面BEF∥平面ADGC。∵BF⊂平面BEF，∴BF∥平面ACGD，故①正确；由于DG＝2EF，则四边形EFGD是梯形,GF的延长线必与直线DE相交，故④不正确；选项②③不能推出．12．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形,PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB,CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝_____。考点平面与平面平行的性质题点与面面平行性质有关的计算答案eq\f(\r（3),2）解析由ABCD是平行四边形,∴AB∥CD，且AB＝CD，又E，F分别是AB，CD的中点，∴AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，∴△AEH≌△FDH，∴EH＝DH。∵平面AGF∥平面PEC,又平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，∴GH∥PE，则G是PD的中点．∵PA＝PB＝AB＝2，∴PE＝2×sin60°＝eq\r（3），∴GH＝eq\f(1，2)PE＝eq\f(\r(3），2)。三、解答题13．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E。求证:EC∥A1D。考点平面与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D,所以BE∥平面AA1D。因为BC∥AD,AD⊂平面AA1D,BC⊄平面AA1D,所以BC∥平面AA1D。又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE