2023高考真题知识总结方法总结题型突破：15 立体几何中球的问题(学生版)

专题15立体几何中球的问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．B．C．D．2．(2022·全国乙理)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A．B．C．D．3．(2022·新高考Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3eq\r(3)，则该正四棱锥体积的取值范围是()A．[18，eq\f(81,4)]B．[eq\f(27,4)，eq\f(81,4)]C．[eq\f(27,4)，eq\f(64,3)]D．[18，27]【方法总结】如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．空间几何体的外接球与内切球十大模型1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．可参考：侯永青工作室《2022年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破》【题型突破】1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表面积为()A．7πB．14πC．eq\f(7,2)πD．eq\f(7\r(14)π,3)2．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则三棱锥B－ACD的外接球的表面积为()A．5πB．eq\f(20,3)πC．10πD．34π3．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，则球O的体积等于________.4．已知四面体P－ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB＝2，则球O的表面积为________．5．三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P－ABC的外接球的体积为()A．eq\f(27,2)πB．eq\f(27\r(3),2)πC．27eq\r(3)πD．27π6．已知正四面体ABCD的外接球的体积为8eq\r(6)π，则这个四面体的表面积为________．7．表面积为的正四面体的外接球的表面积为A．B．C．D．8．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝eq\r(6)，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．9．三棱锥中S－ABC，SA＝BC＝eq\r(13)，SB＝AC＝eq\r(5)，SC＝AB＝eq\r(10)．则三棱锥的外接球的表面积为______.10．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝eq\r(5)，则a＝________.11．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为()A．eq\f(28π,3)B．eq\f(\r(22)π,3)C．eq\f(4\r(3)π,3)D．eq\r(7)π12．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为eq\f(9,8)，底面周长为3，则这个球的体积为________.13．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面积为eq\f(3\r(3),4)，一个侧面的周长为6eq\r(3)，则正三棱柱ABC－A1B1C1外接球的表面积为()A．4πB．8πC．16πD．32π14．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为()A．eq\f(40π,3)B．eq\f(40\r(30)π,27)C．eq\f(320\r(30)π,27)D．20π15．已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A－EF－C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为()A．6πB．5πC．4πD．3π16．三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，若SA＝AB＝BC＝AC＝3，则该三棱锥外接球的表面积为()A．18πB．eq\f(21π,2)C．21πD．42π17．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB＝2，则球O的表面积为()A．4πB．12πC．16πD．32π18．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2eq\r(3)，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为()A．4πB．12πC．16πD．64π19．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝eq\r(3)，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A．eq\f(4π,3)B．eq\f(8\r(2)π,3)C．8πD．12π20．在三棱锥A－BCD中，AC＝CD＝eq\r(2)，AB＝AD＝BD＝BC＝1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．21．把边长为3的正方沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为A．B．C．D．22．在三棱锥A－BCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为________．23．已知如图所示的三棱锥D－ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝3，AC＝eq\r(3)，BC＝CD＝BD＝2eq\r(3)，则球O的表面积为()A．4πB．12πC．16πD．36π24．在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，若，三棱锥的各个顶点均在球上，则球的表面积为()．A．B．C．D．25．已知空间四边形，，，，，且平面平面，则该几何体的外接球的表面积为A．B．C．D．26．已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为________．27．在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为()A．B．eq\f(π,3)C．D．eq\f(4π,3)28．在三棱锥中，，，且，则该三棱锥外接球的表面积为A．B．C．D．29．已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥外接球的半径是A．2B．C．D．30．已知正四棱锥P－ABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为eq\r(2)，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为()A．eq\f(124π,3)B．eq\f(625π,81)C．eq\f(500π,81)D．eq\f(256π,9)31．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是A．B．C．D．32．已知三棱锥，，且、均为等边三角形，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积是________．33．已知边长为6的菱形中，，沿对角线折成二面角的大小为的四面体且，则四面体的外接球的表面积为________．34．在三棱锥中，顶点在底面的投影是的外心，，且面与底面所成的二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为________．35．直角三角形，，，将绕边旋转至位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为A．B．C．D．36．已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为()A．eq\r(2)B．2eq\r(2)C．eq\r(3)D．2eq\r(3)37．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB＝6，BC＝2eq\r(3)，且四棱锥O－ABCD的体积为8eq\r(3)，则R等于()A．4B．2eq\r(3)C．eq\f(4\r(7),9)D．eq\r(13)38．已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P－ABC的体积为eq\f(16,3)，则此三棱锥的外接球的表面积为()A．eq\f(16π,3)B．eq\f(40π,3)C．eq\f(64π,3)D．eq\f(80π,3)39．已知三棱锥的体积为，各顶点均在以为直径球面上，，则这个球的表面积为_____________．40．(2017·全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．41．三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为eq\f(500π,3)的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为()A．4B．6C．8D．1042．(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．144πD．256π43．已知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝eq\r(6)，AC＝2eq\r(3)．若三棱锥D－ABC体积的最大值为3，则球O的表面积为________．44．在三棱锥A－BCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，CD＝AC＝eq\r(3)，当三棱锥A－BCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．45．已知三棱锥D－ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝2，AC＝2eq\r(2)，若三棱锥D－ABC体积的最大值为2，则球O的表面积为()A．8πB．9πC．eq\f(25π,3)D．eq\f(121π,9)46．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝________.47．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的eq\f(7,8)时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于()A．eq\f(7π,6)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(2π,3)