武汉大学20142015学年第一学期期末考试线性代数B期末试卷

武汉大学2014-2015学年第一学期期末考试线性代数B（A卷）解答xy000一、(8分)计算队列式Dn0xy00000xyy000x解依第一列张开xy00y00000xy00xy000原式x1n1y0xy008分00xy000x000xyxxn1n1xnn1ynn21yyn11二、(8分)设A22AB0，此中B是n阶矩阵B0,证明矩阵方程2AXBXC对随意n阶矩阵C都有独一的解矩阵X.解由A22AB知A0进而2ABA2知2AB0.4分x1c1故(2AB)x2c2有独一解,进而(2AB)Xc有独一解，xcnnX(2AB)1C.1,34,2,52,1,24分0(8分)设12,T,2T,3T，试求一组不全为的三、常数k1,k2,k3，使得k11k22k330。,)24212110解A(,121000012335201101因此有1230，即k11,k21,k318分x1x32x2四、（10分）问为什么值时，线性方程组4xx有解，并求出解的一般123326xx4x123形式。101101解A1时，方程组有解，此时412201232，当614230001101111A0121Xk2110分100000130530五、（1010111分）用初等变换求矩阵的秩，并写出行向量组的一个最大线性013222111031212没关组。305300001101111011解013220000秩(A)46分2111001313121200851(3,0,5,3,0),2(1,0,1,1,1),3(2,1,1,1,0),4(3,1,2,1,2)是其行向量组的一个最大线性没关组。4分A11六、（8分）设三阶方阵有一特点值是2,其相应的特点向量有2;另一特点值为其,223相应的特点向量有1,求A4.26由已知A1122312解222,A11，而42212222622312126A4A22A1222128分622220七、（10分）设A、B是两个三阶矩阵，知足关系：A2AB2B2A2BABI,100且AB110，I为三阶单位矩阵，求A.011解由所给关系得A2BABABI，即A2BEABI由AB0知:A1[(AB)1I2(AB)]6分103100B)10而(A110，I2(AB)2101110211000故A3004分31302八、（10分）用正交变换化二次型f3x122x223x232xx13为标准形，写出所用正交变换及f的标准形，并判断二次型的正定性。111TT1解122,34,e10,1,0,e2,0,,e3,0,6分112222x10y10221f化成标准形：2y22y24y2经正交变换x0y正定4分2112123x0y3223a11x1a1nxnb1九、（8分）证明:线性方程组ax对任何b1,b2,,bn都有解的充分必需axbn11nnnna11a1n条件是系数队列式不为0,即0an1ann111n证明必需性：（反证法）设0,则其行向量组n1nni(i1,,in)(i1,2,,n)必线性有关，不如设n能够由1,,n-1线性表出，即nk11kn-1n-1,此时若取bnk1b1k2b2kn-1bn-11则增广阵可化为：b1b1A11bn-1bn-1nn01即获得秩(A)秩(A),故方程组无解，这与已知矛盾，假定不建立.充分性：由克莱姆法例即可获得.8分十、（10分）已知线性空间R3的基1，2，3到基1，2，3的过渡矩阵为P，且1012210，1，2；P322123243010试求：(1)基1，2，3；(2)在基1,2,3与1,2,3下有同样坐标的全体向量。解（1）设A(1,2,3),B(1,2,3),则BAP，故651111，28，3－2；5分1081（2）设所求向量的坐标为x，则AxAPx，即A(PE)x0，由于A为可逆矩阵，得(PE)x0，由3121101(PE)312011T得xk(1，－1，1），431000k(1T5故23)k(2，1，3）分十一、（10分）设A为n阶矩阵，且A2A12E(1)证明秩r(A3E)r(A4E)n；(2)证明A可相像于对角阵；(3)求队列式|A4E|。证明(1)由于(A3E)(A4E)0r(A3E)r(A4E)n,且r(A3E)r(A4E)r(E)n因此r(A3E)r(A4E)n。5分(2)由于(A3E)(A4E)0，特点值的取值为3,4，3线性没关特点向量有nr(A3E)个4线性没关特点