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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为()A. B. C. D.2.函数的部分图象大致是()A. B.C. D.3.已知单位向量,的夹角为,若向量,,且,则()A.2 B.2 C.4 D.64.复数(为虚数单位),则等于()A.3 B.C.2 D.5.将3个黑球3个白球和1个红球排成一排,各小球除了颜色以外其他属性均相同,则相同颜色的小球不相邻的排法共有()A.14种 B.15种 C.16种 D.18种6.设全集,集合,,则集合()A. B. C. D.7.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家,他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也.合成弦方之幂,开方除之,即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1,其中“正方形为朱方,正方形为青方”,则在五边形内随机取一个点,此点取自朱方的概率为()A. B. C. D.8.已知集合,,则=()A. B. C. D.9.已知集合,,则()A. B. C. D.10.我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在《数书九章》(1247)一书中提出“三斜求积术”,即:以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.其实质是根据三角形的三边长,,求三角形面积,即.若的面积,,,则等于()A. B. C.或 D.或11.已知等比数列满足,,等差数列中,为数列的前项和,则()A.36 B.72 C. D.12.等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A.-2 B.2 C.4 D.7二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,在菱形ABCD中,AB=3,,E,F分别为BC,CD上的点,,若线段EF上存在一点M,使得,则____________,____________.(本题第1空2分,第2空3分)14.已知函数,若函数恰有4个零点,则实数的取值范围是________.15.已知复数(为虚数单位),则的共轭复数是_____,_____.16.已知函数图象上一点处的切线方程为,则_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在三棱柱中,平面平面,侧面为平行四边形,侧面为正方形,,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的大小.18.(12分)已知函数.(1)当时,解关于的不等式;(2)若对任意,都存在,使得不等式成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知函数(1)当时,证明,在恒成立;(2)若在处取得极大值,求的取值范围.20.(12分)平面直角坐标系中,曲线:.直线经过点,且倾斜角为,以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程;(2)若直线与曲线相交于,两点,且,求实数的值.21.(12分)已知椭圆的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为,,为其右焦点,,且该椭圆的离心率为;(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点,交直线于点,直线与椭圆的另一个交点为,直线与直线交于点.若,求取值范围.22.(10分)已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为,所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的,所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.2.C【解析】
判断函数的性质,和特殊值的正负,以及值域,逐一排除选项.【详解】,函数是奇函数,排除,时,,时,,排除,当时,,时,,排除,符合条件,故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象,属于基础题型,一般根据选项判断函数的奇偶性,零点,特殊值的正负,以及单调性,极值点等排除选项.3.C【解析】
根据列方程,由此求得的值,进而求得.【详解】由于,所以,即,解得.所以所以.故选:C【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示,考查向量数量积的运算,考查向量模的求法,属于基础题.4.D【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,从而求得,然后直接利用复数模的公式求解.【详解】,所以,,故选:D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的乘除运算,复数的共轭复数,复数的模,属于基础题目.5.D【解析】
采取分类计数和分步计数相结合的方法,分两种情况具体讨论,一种是黑白依次相间,一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好,再插入红球.情况1:黑球和白球按照黑白相间排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此时将红球插入6个球组成的7个空中即可,因此共有2×7=14种;情况2:黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此时红球只能插入两个相同颜色的球之中,共4种.综上所述,共有14+4=18种.故选:D【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用,插空法的应用,属于基础题6.C【解析】∵集合,,∴点睛:本题是道易错题,看清所问问题求并集而不是交集.7.C【解析】
首先明确这是一个几何概型面积类型,然后求得总事件的面积和所研究事件的面积,代入概率公式求解.【详解】因为正方形为朱方,其面积为9,五边形的面积为,所以此点取自朱方的概率为.故选:C【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于基础题.8.C【解析】
计算,,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,意在考查学生的计算能力.9.B【解析】
求出集合,利用集合的基本运算即可得到结论.【详解】由,得,则集合,所以,.故选:B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,利用函数的性质求出集合是解决本题的关键,属于基础题.10.C【解析】
将,,,代入,解得,再分类讨论,利用余弦弦定理求,再用平方关系求解.【详解】已知,,,代入,得,即,解得,当时,由余弦弦定理得:,.当时,由余弦弦定理得:,.故选:C【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系,还考查了对数学史的理解能力,属于基础题.11.A【解析】
根据是与的等比中项,可求得,再利用等差数列求和公式即可得到.【详解】等比数列满足,,所以,又,所以,由等差数列的性质可得.故选:A【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质,考查等差数列的求和公式,考查学生的计算能力,是中档题.12.B【解析】
在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得,再由等差数列通项公式求得公差.【详解】在等差数列的前项和为,则则故选:B【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据题意,设,则,所以,解得,所以,从而有.14.【解析】
函数恰有4个零点,等价于函数与函数的图象有四个不同的交点,画出函数图象,利用数形结合思想进行求解即可.【详解】函数恰有4个零点,等价于函数与函数的图象有四个不同的交点,画出函数图象如下图所示:由图象可知:实数的取值范围是.故答案为:【点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题,考查了数形结合思想和转化思想.15.【解析】
直接利用复数的乘法运算化简,从而得到复数的共轭复数和的模.【详解】,则复数的共轭复数为,且.故答案为:;.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础的计算题.16.1【解析】
求出导函数,由切线方程得切线斜率和切点坐标,从而可求得.【详解】由题意,∵函数图象在点处的切线方程为,∴,解得,∴.故答案为:1.【点睛】本题考查导数的几何意义,求出导函数是解题基础,三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)连接,交与,连接,由,得出结论;(2)以为原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,利用夹角公式求出即可.【详解】(1)连接,交与,连接,在中,,又平面,平面,所以平面;(2)由平面平面,,为平面与平面的交线,故平面,故,又,所以平面,以为原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,,,,,,,设平面的法向量为,,,由,得,平面的法向量为,由,故二面角的大小为.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.18.(1);(2).【解析】
(1)分类讨论去绝对值号,然后解不等式即可.(2)因为对任意,都存在,使得不等式成立,等价于,根据绝对值不等式易求,根据二次函数易求,然后解不等式即可.【详解】解:(1)当时,,则当时,由得,,解得;当时,恒成立;当时,由得,,解得.所以的解集为(2)对任意,都存在,得成立,等价于.因为,所以,且|,①当时,①式等号成立,即.又因为,②当时,②式等号成立,即.所以,即即的取值范围为:.【点睛】知识:考查含两个绝对值号的不等式的解法;恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题;能力:分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力;中档题.19.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)根据,求导,令,用导数法求其最小值.设研究在处左正右负,求导,分,,三种情况讨论求解.【详解】(1)因为,所以,令,则,所以是的增函数,故,即.因为所以,①当时,,所以函数在上单调递增.若,则若,则所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是,所以在处取得极小值,不符合题意,②当时,所以函数在上单调递减.若,则若,则所以的单调递减区间是,单调递增区间是,所以在处取得极大值,符合题意.③当时,,使得,即,但当时,即所以函数在上单调递减,所以,即函数)在上单调递减,不符合题意综上所述,的取值范围是【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和极值,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.20.(Ⅰ)(t为参数);(Ⅱ)或或.【解析】
试题分析:本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,用,化简表达式,得到曲线的极坐标方程,由已知点和倾斜角得到直线的参数方程;第二问,直线方程与曲线方程联立,消参,解出的值.试题解析:(1)即,.(2),符合题意考点:本题主要考查:1.极坐标方程,参数方程与直角方程的相互转化;2.直线与抛物线的位置关系.21.(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】
(Ⅰ)由题意可得,的坐标,结合椭圆离心率,及隐含条件列式求得,的值,则椭圆方程可求;(Ⅱ)设直线,求得的坐标,再设直线,求出点的坐标,写出的方程,联立与,可求出的坐标,由,可得关于的函数式,由单调性可得取值范围.【详解】(Ⅰ),,,,,由,得,又,,解得:,,.椭圆的标准方程为;(Ⅱ)设直线,则与直线的交点,又,设直线,联立,消可得.解得,,联立,得,,直线,联立,解得,,,,,,,,函数在上单调递增,,.【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查运算求解能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
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