数学物理方法第十一章PPT课件

1、1复习：复习：拉普拉斯方程拉普拉斯方程 分离变数结果分离变数结果球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系( )xcos( )sinmm 11( )/llrR rr l-阶连带阶连带勒让德方程勒让德方程cos( )sinmm ( )zzeZ ze 0 ( )R m-阶阶贝赛尔方程贝赛尔方程cos( )sinzZ zz 20 ( )R m-阶虚阶虚宗量贝赛尔方程宗量贝赛尔方程0 1 ( )Z zz01( )lnR ( )mmmR 0m0 u第1页/共40页222221(1)0d RdRmRx dxdxx贝塞耳方程：贝塞耳方程：虚宗量贝塞耳方程：虚宗量贝塞耳方程：22221(1)0d RdRmRx dxdx

2、x222() (1)0ddRrk rl lRdrdr球贝塞耳方程：球贝塞耳方程：(1) 阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程22222()0d RdRxxxRdxdx 整数整数201( )( 1)()! (1) 2kkkxJxkk 阶阶贝塞耳函数贝塞耳函数 另一个解另一个解 阶阶贝塞耳函数贝塞耳函数201( )( 1)()! (1) 2kkkxJxkk 通解：通解：12( )( )( )y xc Jxc Jxx 第2页/共40页310( )txxe tdt其中其中 - -函数函数定义为定义为它有它有递推关系递推关系：(1)( )xxx当当 x 为为 正整数正整数(1)!xx201( )( 1)()!()!

3、 2kmkmkxJxk mk(2) m 阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程(0) ()m 求和只能从求和只能从 开始开始。km21( )( 1)()! (1) 2kmkmk mxJxkmk 201( 1)()()! (1) 2lmmllxlml( )mJx201( 1)( 1)()!()! 2mlmllxl lm ( 1)( )mmJx 12( )( )( )mmy xc Jxc Jx不再是通解不再是通解( )mJx( )mJx与与相互不独立。相互不独立。klm 第3页/共40页4诺依曼函数诺依曼函数( )cos( )( )sinJxJxNx 阶贝塞耳方程的通解阶贝塞耳方程的通解又可以又可以写作写作12

4、( )( )( )mmy xc Jxc Nx12( )( )( )y xc Jxc Nxm 阶贝塞耳方程的通解阶贝塞耳方程的通解只能只能写作写作2( )lim( )(ln)( ).2mmmvmxNxNxC Jx为整数时为整数时0/0型型第一种和第二种第一种和第二种汉克尔函数汉克尔函数12HxJxiNxHxJxiNx ( )( )( )( )( )( )( )( )1212( )( )( )( )( )y xC HxC Hx 贝塞耳方程的通解贝塞耳方程的通解第一类柱函数：贝塞耳函数第一类柱函数：贝塞耳函数第二类柱函数：诺依曼函数第二类柱函数：诺依曼函数第三类柱函数：汉克尔函数第三类柱函数：汉克尔

5、函数 220( 1)( )! (1)kk mxmkJxkkm( )cos( )( )sinmmmJxmxJxNxmx( )( )( )mmmHxJxiNx第4页/共40页5246810-0.4-0.20.20.40.60.81图图05JJ0 x 01,0JJ 0,.(0)NN x142( )(/ )i xHex 242( )(/ )i xHex 24cos(/ )Jxx 24sin(/ )Nxx 0内解问题：只要零阶和正阶贝塞尔函数内解问题：只要零阶和正阶贝塞尔函数研究圆柱外部问题：两个线性独立特解都要保留研究圆柱外部问题：两个线性独立特解都要保留.J 第5页/共40页66010!2( )1,

6、( )( )mxmmJxJx 21124( )cos()mxJxxm 0 x x第6页/共40页77202(1)!20( )ln( )( )xmmmxNxNx 21124( )sin()mxNxxm 0 x x第7页/共40页822011112( )()()( )! ()kkkkJxddxdxdxkkx 221121112()( )! ()kkkkkxkk 121210111122()( )()! ()lllllxll 1kl 1 21 201111112()( )! ()llllxllx 1( )Jxx 1( )( )dx Jxx Jxdx诺依曼函数、汉克尔函数满足同样关系。诺依曼函数、汉克

7、尔函数满足同样关系。 写作写作( )Zx 1( )( )ZxZxddxxx 1( )( )dx Zxx Zxdx1/ZZxZ 1/ZZxZ 112ZZZ1120/ZZxZ 第8页/共40页9虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程 阶虚宗量贝塞耳方程阶虚宗量贝塞耳方程222220()d RdRxxxRdxdx ix222220()d RdRRdd 220112( )()()! ()kkkkixJkk 201()! (1) 2kkxikk 201( )()()! (1) 2kkxIxiJixkk 定义：定义：201( )()! (1) 2kkxJikk 201( )()()! (1) 2kkxIxi J

8、ixkk 通解：通解：12( )( )( )vvy xC IxC Ix第9页/共40页10m 阶虚宗量贝塞耳方程阶虚宗量贝塞耳方程22222()0d RdRmRdd 201( )()()! (1) 2mmkmmkxIxiJixkk ( )()( 1)()( 1)( )( )mmmmmmmmmmmIxi JixiJixii IxIx另一个独立解需要另外研究（含有对数项）另一个独立解需要另外研究（含有对数项）0 x. 0, 10mIIx.,0mII0 ax. 0,0mII123451234560II 图对于圆柱内部问题，如果柱侧有齐次边界条件，则对于圆柱内部问题，如果柱侧有齐次边界条件，则 00应

9、排除应排除第10页/共40页11柱坐标系下的解柱坐标系下的解cos( )sinmm ( )zzeZ ze 0 ( )R m-阶阶贝赛尔方程贝赛尔方程cos( )sinzZ zz 20 ( )R m-阶虚阶虚宗量贝赛尔方程宗量贝赛尔方程0 1 ( )Z zz01( )lnR ( )mmmR 0m0 ucos( )sinmm cos( )sinmm 拉普拉斯拉普拉斯方程方程0m第11页/共40页12柱面柱面上的齐次边界条件上的齐次边界条件aA. 柱面的第一类齐次边界条件柱面的第一类齐次边界条件：()0Ra 仅有贝塞耳函数具有这种性质仅有贝塞耳函数具有这种性质022222()0d RdRxxxmRd

10、xdx( )( )()mmRJxJ（m 已定已定）()mn 对于确定的对于确定的 m，贝塞耳函数有一系列贝塞耳函数有一系列零点零点：()mnx1,2,n 对于不同的对于不同的 n，有，有()()mmnnax 或或()()2()mmnnxa 这就是贝塞耳方程这就是贝塞耳方程( (另一种写法另一种写法) )的离散本征值的离散本征值20ddRmRRdd 第12页/共40页13B. 第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件：()0Ra 仅有贝塞耳函数具有这种性质，两个零点之间必有极值。仅有贝塞耳函数具有这种性质，两个零点之间必有极值。0 同样，同样，()mnx1,2,n 为贝塞耳函数的为贝塞耳函数的导数导

11、数的零点序列，本征值为的零点序列，本征值为()()2()mmnnxa m=0 的情况的情况: :0100( )( )ZxZxddxxx 即：即：(0)(1)01()()nnJxJx C. 第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件：()()0mmJaHJa()()2()mmnnxa 将是上述方程的解。将是上述方程的解。( )( )0R aHR a第13页/共40页14贝塞耳方程贝塞耳方程( (施图姆刘维尔本征值方程施图姆刘维尔本征值方程) )：20mnddRmRRdd 正交关系正交关系()()0()()0()ammmnmlJJdnl 对对三个不同三个不同的本征值序列成立的本征值序列成立三个不同三个不

12、同的本征值序列，有的本征值序列，有三个不同的模三个不同的模。() 2()20()ammnmnNJd 02()01( )xmmnJxxdx 022()01( )2xmmnJxdx 002220()()011( )( )( )2xxmmmmmnnxJxx Jx Jx dx222 ()0mmmx JxJxmJ或或222mmmmx Jx JxJm J同一个同一个方程的方程的三个不同的三个不同的施图姆刘维尔本征值问题。施图姆刘维尔本征值问题。权重权重第14页/共40页15002222200112xxmnmmmmmmmnnNx Jxx JxJm JJx dx()()()( )()( )002200()xx

13、mmmmmx JxJJdxmJ dJ00222002xxmmmmmx JxJJdxJ()0022222001122xxmnmmmmnnNxmJxxJx()()()()( )( )A. 第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件：0()()mmnJa 2() 2()2()2mmnmnaNJa 1/ZZxZ 由由2() 2()21()2mmnmnaNJa 002222001() 22xxmmmxJJ第15页/共40页16B. 第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件：()()0mmnJa 2() 222()1()( )2mnmmnmNaJx C. 第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件：()()()()()0

14、mmmmnnmnJaHJa22() 22()2()()21()()2mmnmnmmnnmaNaJaH （四）（四） 广义傅立叶级数广义傅立叶级数()1( )()mnmnnff J指定指定的的m，次序次序由由n给出给出。0()() 201( )()mnmnmnffJdN 权重权重 第16页/共40页17几个有用的公式：几个有用的公式：1,mmmmxJdxxJC 10,J dxJC 1,mmmmx Jdxx JC由递推公式由递推公式傅立叶傅立叶- -贝塞耳积分贝塞耳积分0 的情况的情况0( )( )()mfFJd 0( )( )()mFfJd 1( )( )JxJxddxxx )()(1xJxxJ

15、xdxd()1( )()mnmnnff J0201()()( )()mnmnmnffJdN 第17页/共40页18例例1利用递推公式求积分利用递推公式求积分1( )( )dx Jxx Jxdx00010( )( )xxx Jxx Jx dx00320100( )( )xxx Jx dxx d xJx003210102( )( )xxx Jxx Jx dx003210202( )( )xxx Jxx Jx320100202()()x Jxx Jx例例2)()0(010nnnJuu方程指定了为方程指定了为第一类边界条件第一类边界条件2(0) 2(0)2010()2nmnNJ0(0)002(0)20

16、102()()nnnuu JdJ x )()()()(20)0(0)0(0)0(002)0(02)0(12000nnnnnxdxxJxxJu(0)00(0)(0)2102( )()nxnnuJx xdxxJ x0012)0(1)0(0)()(2xnnxxJxJxu)(2)0(1)0(0nnxJxu第18页/共40页19)()(20)0(0)0(1)0(010nnnnxJxJxuu或者)()(210)0(0)0(1)0(1nnnnxJxJx单位1例40)(2f)(1f00u 0u轴对称0m cos()sinzmzemuJme1.02.(0)(0)01()()0nnJxJx 0L定解问题侧面绝热侧

17、面绝热0u有限值120( ),( )zz Lufuf11lnuz 1cossinmmmuzm 0m 第19页/共40页20)()0()0()0(0100znznnnnneBeAJzBAu)()()0(0101nnnnBAJAf)()()0()0()0(01002LnLnnnnneBeAJLBAf2( ) 22( )22(0)2000( )011()()()22mmnmnnmmnmNJxJ x0(0)02(0)200002( )()()nininxffJdJx 100fA 2000fLBALffB10200nnnBAf1LnLnnnneBeAf)0()0(2(0)(0)(0)12nnnLnnnL

18、Lf efAeeLLnLnnnnneefefB)0()0()0(21002002( )iiffd 20第20页/共40页21例例5方程如方程如P.179P.179，习题，习题5 5 （圆锥改为方锥）（圆锥改为方锥）dxSuxYuSdxxtt)()(xShl0)(12xttxuxxau0),(tlux0)0 ,(),()0 ,(xuxfxut1. 1. 分离变量分离变量XTu 0) ( 2xXXxTaXT2TXxXa TXx 0 22TakT0 222XxkxXXx0)( lX2. 2. 贝塞耳方程贝塞耳方程0 222XxkxXXx零阶贝塞耳方程零阶贝塞耳方程)(0kxJX 0)( lX01(

19、)()()0X lJklJ kl (0)nnxkl解为解为)(1kxJ的第一个零点为的第一个零点为00k0 0TtBAT00021第21页/共40页22(0)(0)(0)0001( , )cossin()nnnnnnxaxaxu x tAB tAtBt Jxlll3. 3. 初始条件定解初始条件定解(0)001()( )nnnxAA Jxf xl(0)(0)001()0nnnnxaxBBJxll0nB0202( )lAf x xdxl(0)02(0)2002() ( )()lnnnxAJx f x xdxlJxl(0)(0)001( , )cos()nnnnxaxu x tAAtJxll22第

20、22页/共40页23例600u00,uu 230tuau轴对称轴对称0uuv热传导问题热传导问题绝热绝热0u有限值有限值00, |0zz Lzuuu0m 0u0120( )( )tuuffz先将边界条件化为齐次，令先将边界条件化为齐次，令00,v 230tvav0v有限值有限值00,|0zz Lzvv120( )( )tvffz边界条件全是齐次的边界条件全是齐次的查查9.19.1节表节表满足边界条件的解满足边界条件的解220()sink a tvJze 22()k2323第23页/共40页24亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程输运方程输运方程球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系( )xcos( )sinmm

21、 011( )/llrR rr :l-阶连带阶连带勒让德方程勒让德方程cos( )sinmm ( )R :m-阶阶贝赛尔方程贝赛尔方程cos( )sinzZ zz 但但0 1 ( )Z zz01( )lnR ( )mmmR 0m230vk v :l阶球贝阶球贝赛尔方程赛尔方程(k 0)( )R r22()k0 则则但但则则230tuau22( )k a tT te2( )( )0v rk v r24第24页/共40页25220()sink a tvJze 22()k22222(0)(0)01()/2/nnpLx本征值本征值222(0 )2201()2(0)01001()2sinnpxa tLn

22、npnppxvA eJzL 00(0)102(0)20000202()()1()22 ( )sinnnpnxAfJdJxpzfzdzLL25第25页/共40页26母函数母函数3.5 例例5：在原点邻域上把在原点邻域上把展开展开11()2x zze1201 1() ()! 2 xzllexzzl1120111()(0)!2xnznexznz绝对收敛绝对收敛正幂项正幂项, (0)mzm负幂项负幂项, (0)hzh取取lnm取取 nlh11()2200210( 1)()()! ! 2( 1) +( 1)()!()! 2 (0) nx zmnmzmnlhhlhhlxezmn nxzl lhz( )mJ

23、x( )hJx11()2( )x zmzmmeJx z26第26页/共40页27积分表示与加法公式积分表示与加法公式11()2( )x zmzmmeJx zsin( )iximmmeJx eize cos( )ixmimmmei Jx e2 sin1( )2iximmJxed 11()()2()( )( )a bzmknzmknmknJab zeJa zJb z()( )( )mkm kkJabJa Jb27第27页/共40页28诺依曼函数诺依曼函数例例7空心园长柱体，热传导问题空心园长柱体，热传导问题1200,uUuU 220tuau0( )tuf0uUv边界条件齐次化，令120,0vv 2

24、20tvav00( )tvfU200()()a tvAJBNe代入边界条件代入边界条件01010202()()0()()0AJBNAJBN非零解非零解n本征值本征值01020201()()()()0nnnnJNJN 20100101()()()()na tnnnnnnvCNJJNe 本征函数本征函数( (完备完备) )28第28页/共40页29例例8 8声波发射问题：长园柱面，径向速度分布声波发射问题：长园柱面，径向速度分布00i tuv e 220ttuau0cosvt求声振动的速度势求声振动的速度势( ,)u t0(,)(,)t 汉克尔函数汉克尔函数波动方程在柱坐标系中分离变数形式的解波动

25、方程在柱坐标系中分离变数形式的解coscos()sinsinikatmikatmzeZmze柱函数柱函数22()k(/2/4)(1)(/2/4)(2)2()2()ikat mikatmikat mikatmHeeHee向外发散的波向外发散的波向内会聚的波向内会聚的波查表查表0()ikatZe 且且ka 柱函数柱函数0()Za 应取应取10( )()Hk 只取唯一值只取唯一值 ，无需叠加，无需叠加ka 29第29页/共40页3010( )()ituAHea 0100( )()AHva 若若022ak 即即02a 0022 lnAiva 002iAv 10002 ( )()itvuiHea 001

26、122222()ln()()ln()xNxCJxxNxCJxx P347, P347, 习题习题151500cosi tuve 220ttuau11( )()cosituAHea 002aAiv 0202aiAv 210012 ( )()cositvuiHeaa 30第30页/共40页31上下底齐次边界条件上下底齐次边界条件0 u拉普拉斯拉普拉斯方程方程22222()0d RdRxxxmRdxdx20 201( )()! (1) 2mkmkxIxkk x ( )( )( )lim2sinvvmvmIxIxKxv 0 x0( )1, ( )0 (0)mIxIxm(0) mK x1( )2xmIx

27、ex( )2xmKxex 如果所研究区域包含圆柱轴如果所研究区域包含圆柱轴0 只用只用( )mIx如果所研究区域伸向无限远如果所研究区域伸向无限远只用只用( )mKx 31第31页/共40页32例例1，求柱内稳定温度分布求柱内稳定温度分布000,kuqu 有限0u 000,zz Luuuu0uuv边界条件边界条件齐次化齐次化000,kvqv 有限0v 00,0zz Lvv20 对于对于0cos( , ) ()sinzvzIz 2222/pL本征值本征值0 对于对于1( )1, ( ) RZ zz 与上下底边界不相容，舍去与上下底边界不相容，舍去01( , )()sinpppp zvzA ILL

28、0001()sinppqppp zAILLLk 0022000002121sin1 ( 1) (/)() LppqLqLp zAdzppLkLIpLpkIL 32第32页/共40页33例例3，求柱壳外的静电势，求柱壳外的静电势00/,uu z Lu 有限00 ()u 100,zz Luuu1u00/u z L1u zuwL令令001,uuwzwL 有限00 ()w00,0zz Lww0 对于对于舍去舍去11( ), ( )ln RZ zz 20 对于对于00( )cos( , ) ( )sinIxzvzKxz 2222/pL本征值本征值x 01( , )()sinpppp zwzA KLL01

29、001()sinppuupp zA KzLLL 0101000002()12sin( 1)(/)(/) Lppuuuup zAzdzKpL LLLp KpL 33第33页/共40页34P362P362，习题，习题4 4 （ P346P346，习题，习题6 6 ）00u 0u0u有限000, zzzz Lqquukk0()zzeuJe1.1.02.(0)0()0nJx011lnuz 舍去(0)(0)(0)01(chsh)nnnnnnuAzBz J(0)(0)(0)000(0)(0)110102()()nnnnnnnnxqxB JJkxJ x(0)(0)(0)(0)(0)000(0)(0)1101

30、02(shch)()()nnnnnnnnnnnxqxALBL JJkxJ x(0)(0)(0)01chch()nnnnnnuCzDLzJ34第34页/共40页3500u 0u0u有限000, zzzz Lqquukk002qq Luzvkk0002qq Lvzkk 0v 0v有限00, 0zzzz Lvv0 对于对于11( , ) ln vzz 20 对于对于00( )cos( )sinIxzKxz cospzL本征函数本征函数x 01( , )()cospppp zvzA ILL0000012()cos(/)2Lpqq Lp zAzdzIpL LkkL 21nA35第35页/共40页36球坐标系亥姆霍兹方程分离变量球坐标系亥姆霍兹方程分离变量222()(1)0ddRrl lRk r Rdrdrl l 阶球贝塞耳方程（施图姆刘维尔型）阶球贝塞耳方程（施图姆刘维尔型）20 uk uxkr( )( )2R ry xx 2221 () 02x yxyxly阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程 12l l l 阶球贝塞耳方程的两个线性独立解（