《电动力学》第2讲PPT课件

1、矢量分析与场论教师姓名： 宗福建单位： 山东大学物理学院2014年9月12日重庆大学 谢树艺 编 高等教育出版社 第1章 矢量分析 第2章 场论 场 数量场的方向和梯度 矢量场的通量及散度 矢量场的环量及旋度 几种重要的矢量场矢性函数( )( )( )( )( )xyzAA tA tA t iA t jA t k 矢性函数( )( )( )( )xyzA tA t iA t jA t k ( )( )( )( )xyzB tB t iB t jB t k ( )( )( )( )xyzC tC t iC t jC t k矢性函数( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

2、( )xxyyzzxxyyzzABA tB t iA tB tjA tB t kA BA t B tA t B tA t B t 矢性函数(,)(,)xxyzyzxxyzyzAAA AAAAABBB BBBBB 矢性函数物理意义：(,)xxyyzzABABABAB 矢性函数物理意义：(,)xxyyzzABABABAB 矢性函数物理意义：(,)xxyzyzBA BA AABB cosA BA B 矢性函数xyzxyzijkA BAAABBBA BBA 矢性函数大小为A、B矢量围成的平行四边形面积，方向垂直于该平面。sinA BA B 矢性函数标量，大小为矢量A、B、C围成的平行六面体的体积。()

3、()()CA BA B CB CA 矢性函数()()()CA BB C AA C B 矢性函数的极限和连续性000000000000lim ( ) ( )lim ( )lim( )lim ( )( )lim( )lim( )lim ( )( )lim( ) lim( )lim ( )( )lim( ) lim( )ttttttttttttttttttttttttu t A tu tA tA tB tA tB tA t B tA tB tA tB tA tB t 矢性函数的导数( )( )( )( )( )( )( )( )xyzxyzA tA t iA t jA t kA tA t iAt j

4、A t k 导矢在该处的切线上，其方向指向 t 增大的方向，导矢在几何上为一切向矢量。矢性函数的微分( )( )( )( )( )( )( )( )xyzxyzA tA t iA t jA t kdA tdA t idA t jdA t k 矢性函数的导数公式(1)0,()(2)(3),()dCCdtdddABABdtdtdtddAkA kdtdt 为常矢量（k为常量矢性函数的导数公式(4)(5)(6)ddud AuAAudtdtdtddBd AA BABdtdtdtddBd AA BABdtdtdt （矢性函数的导数公式(7)( ),( ),AA uuu td Ad A dudtdu dt

5、若而则有5()() ()A BAABBA B 例如：证明（ ）A BABA BABA BABA BAB ()A BBABABAtttt ()0()d A BdBd AdBABdtdtdtdtd A BdBd AABdtdtdt 矢性函数的积分( )( )( )( )( )( ) )( ) )( )xyzxyzA tA t iA t jA t kA t dtA t dt iA t dt jA t dt k 矢性函数的积分22112211( )( )( )( )( )( ) )( ) )( ) )xyzttxttttyzttA tA t iA t jA t kA t dtA t dt iA t d

6、t jA t dt k 场：如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定值，就说在这空间里确定了该物理量的场。数量场：如果这物理量是标量，就称这个场为数量场，如温度、密度等。矢量场：如果这物理量是矢量，就称这个场为矢量场，如力、速度等。数量场的等值线：比如地形图上的等高线，气象图上的等温线、等压线等。方向导数的定义 设M0为数量场 u=u(M) 中的一点，从M0出发引一条射线L，在L上点M0的临近取一动点M，记M0M的长度为，若当MM0时， 的极限存在，则称它为函数u(M)在点M0处沿L方向的方向导数。00()()u Mu MuM M32方向导数的定义 方向导数是函数u(M

7、)在一个点处沿某一方向对距离的变化率。 在直角坐标系中，u=u(x,y,z), Cos, Cos, Cos为L方向上的方向余弦，则coscoscoscoscoscoslijkuuuulxyz证明如下：0()()coscoscosuu Mu Muuuxyzxyzuuxuyuzxyzuuuulxyz 方向导数的定义coscoscoscoscoscos()lijkuuuulxyzuuuijk lxyz 定义梯度uuuGijkxyzuG ll 梯度在给定点处为一固定矢量。梯度在某一方向上的投影等于函数在该方向上的方向导数。梯度的方向就是函数方向导数最大的方向，其模也等于该最大变化率的数值。引入哈米顿(

8、Hamilton)算子( )ijkxyzgrad uu 哈米顿(Hamilton)算子NablaNabla is the symbol (). The name comes from the Greek word for a Hebrew harp, which had a similar shape. Related words also exist in Aramaic and Hebrew. The symbol was first used by William William RowanRowan HamiltonHamilton in the form of a sideways

9、wedge. Another, less-common name for the symbol is atled (delta spelled backwards), because the nabla is an inverted Greek letter delta. In actual Greek usage, the symbol is called xxx, which means upside-down delta.40哈米顿(Hamilton)算子NablaNabla is the symbol (). The name comes from the Greek word for

10、 a Hebrew harp, which had a similar shape. Related words also exist in Aramaic and Hebrew. The symbol was first used by William William RowanRowan HamiltonHamilton in the form of a sideways wedge. Another, less-common name for the symbol is atled (delta spelled backwards), because the nabla is an in

11、verted Greek letter delta. In actual Greek usage, the symbol is called xxx, which means upside-down delta.引入哈米顿(Hamilton)算子()ijkxyzuijkuxyzuuuijkxyz 引入哈米顿(Hamilton)算子() ()xyzxxxAijkA iA jA kxyzAAAxyz 引入哈米顿(Hamilton)算子() ()xyzxyzAijkA iA jA kxyzijkxyzAAA 2(1)0,()(2) (),()(3) ()(4) ()(5) ( )(6)( )( )c

12、ccuc u cuvuvuvu vv uuv uu vvvf ufuu 为常量为常量通量的定义： 设有矢量场A(M)，沿某一有向曲面S的曲面积分 叫做矢量场A(M)正向穿过曲面S的通量。()nssxyzsA dsA dSA dydzA dxdzA dxdy 散度的定义：0limsVyxzA dSdivAVAAAAxyz ()()()( )()sVdivAAABABuAuAu Ad AA uuduA dSA dV 480lim()sVssA dSAVA dSA dVVA dSV 环量的定义： 设有矢量场A(M)，沿某一有向曲线L的曲线积分()xyzA dlA dxA dyA dz 旋度的定义：0

13、limsA dlrotAsA ()lSrotAAA dlA dS 520lim()sSlA dlAsA dlA dSsA dls ()()()()( )()0()0cAcAABABuAuAuAA BBAABd AA uuduuA ()yxzxyzijkxyzgraduuijkuxyzAAAdivAAxyzijkrotAAxyzAAA uAA 是一个矢量性微分算子，因此它在计算时具有矢量性和微分性双重性质作用在一个数性或矢性函数上时，其方式仅有三种：，222222xyzxyzAAAAxyz 定义：拉普拉斯算子为了使用方便，引入(1) (),()(2)(),()(3)()(4) ()(5)()(6

14、)()cuc u cucAcA AcAcAuvuvABABABAB 为常量， 为数性函数为矢性函数(7)(),()(8)(),()(9) ()(10)(),()(11)()(12) ()()()()()ucu c cuucuc cuuvu vv uuAuAu A AuAuAuAA BABABBAB 为常矢量， 为数性函数为常矢量， 为数性函数为矢性函数A 2(13)()()()(14)()()()()()(15)()(16)()0(17)()0(18)()()A BBAABA BBAABBAABuuuuAAAA ,(19)(20)3(21)0(22)( )( )(23)( )( )rxiy j

15、zk rrrrrrrf ufuurf rfrr 若，则有：3,(24) ( ) 0(25)()0(26)(),()(27)(),()sVlSrxiy jzk rrf r rrrA dSA dVA dlA dS 若，则有：奥氏公式斯托克斯公式222222111()11()1()()11()rzzrzrzrrzeeerrzrrrrrzfffrfrrrzfffffeerzzrfrferrr 坐标：（r, ,z）222222222211sin111()(sin)sinsin111()(sin)sinsin11(sin)sinsinrrrreeerrrrrrrrrffr ffrrrrffffer 坐标：

16、（r, , ）()1()rrferfrferr ,xxxyxzxyxyyyzyxyzzxzyzzzABABABA BA BA BAABA BA BA BABBBA BA BA BAABBA 并矢：两个矢量 和 并列，他们之间不作任何运算，称为并矢。写为：把并矢看作一个量。一般来说：1112132122233132339100010001TTTTTTTTT张量：张量是具有 个分量的物理量，并矢是张量的一种特殊情况。称为单位张量。()()()xxyzxyzyzxxyzxyzyzxxyzyzAAA iA jA kAAAAABBB iB jB kBBBBBBA BAAABB 设则，(),()()xxyzyzxyxyzzxyxyzzBA BAAABBAABABBBABBABAAAB ()()11()()22xyxyzzxyxyzzAABABBBABBABAAABABABBAABBA ()()()()()()()()()()()()xxyxyzyzzxxyzyxyzzACAB CABBBCA B CACACABCCCABBBC A BAAB CA B CA C B