变动性对流程绩效的影响

第六章变动性及对流程绩效的影响：排队问题供应与需求不匹配的一种形式就是排队了。本章目标排队有两种情况：期望需求超过期望供应，隐含利用率高于100％。根本原因是能力问题，变动性是第二位的。存在变动性时，隐含利用率低于100％，仍然存在排队。变动性是根本原因。本章目标本章案例An-ser服务公司呼叫中心本章目标预测排队时间并推导出服务质量的一些绩效指标通过选取合适的能力水平、重新设计服务系统和列出降低变动性的各种可能性来缩短排队时间的各种建议方法6.1启示举例：虚拟呼叫中心一个虚拟的呼叫中心（理想化）假定从7：00到8：00，只有一个员工，平均估计4分钟完成一个电话，60分钟有12个电话打。6.1启示举例：虚拟呼叫中心呼叫1呼叫2呼叫3呼叫4呼叫5呼叫6呼叫7呼叫8呼叫9呼叫10呼叫11呼叫127:007:107:207:307:407:508:00图6.1:有些奇怪的服务过程时间每5分钟一个电话，正好服务4分钟。每一个电话都不会等待。6.1启示举例：虚拟呼叫中心该呼叫中心的能力及利用率能力15个电话/小时利用率80％6.1启示举例：虚拟呼叫中心现实的情况，仍然考虑7：00到8：006.1启示举例：虚拟呼叫中心呼叫到达时间服务时间123456789101112079121822253036455155567652434223时间7:107:207:307:407:508:007:00呼叫1呼叫3呼叫5呼叫7呼叫9呼叫11呼叫2呼叫4呼叫6呼叫8呼叫10呼叫1201232分钟.3分钟.4分钟.5分钟.6分钟.7分钟.图6.2.:在一个呼叫中心收集的数据服务时间处理的数量7:007:107:207:307:407:50库存(等待的呼叫)5432108:00呼叫1呼叫2呼叫3呼叫4呼叫5呼叫6呼叫7呼叫8呼叫9呼叫10呼叫11呼叫127:007:107:207:307:407:508:00图6.3.:呼叫中心的详细分析等待时间服务时间时间6.1启启示举举例：虚虚拟呼叫叫中心分析上图图可以发发现：大多数客客户在接接受服务务之前要要等待，，尽管呼呼叫中心心有较大大的服务务能力。。一些客户户在接受受服务，，一些客客户在等等待，呼呼叫中心心不可能能提供保保持不变变的服务务质量尽管出现现较长的的队列，，但是仍仍有空闲闲时间6.1启启示举举例：虚虚拟呼叫叫中心排队原因因：需求临时时大于能能力6.2变变动性性的来源源和度量量为什么会会出现变变动性？？6.2变变动性性的来源源和度量量输入:随机到达(随机是必然的,而不是特例)进入质量混合产品资源:损坏/维护操作员缺席准备时间活动时间:内在变动缺少运营程序质量(废品/返工)路径:可变的路径专用机器缓冲处理图6.4.:变动性及其根源6.2变变动动性性的的来来源源和和度度量量变动动性性的的来来源源有有四四种种：：流程程单单位位流流入入的的变变动动性性，，服服务务机机构构变变动动性性的的最最大大来来源源是是市市场场本本身身。。活动动时时间间的的变变动动性性资源源的的随随机机可可得得性性流程程中中多多个个流流程程单单位位的的随随机机排排序序6.2变变动动性性的的来来源源和和度度量量变动动性性的的度度量量：：标准准差差变差差系系数数CV＝＝标标准准差差/均均值值用公公式式表表示示为为：：CV＝＝σσ/μμ6.3分分析析到到达达过过程程处理理变变动动性性需需要要对对需需求求的的精精确确表表达达，，决决定定了了客客户户到到达达时时间间的的精精确确分分布布。。假定定早早上上6：：00到到达达呼呼叫叫中中心心的的办办公公室室进进行行记记录录分分析析6.3分分析析到到达达过过程程间隔隔时时间间的的概概念念：：连连续续到到达达的的两两个个电电话话之之间间的的时时间间。。用IA表表示示IAi=ATi+1-ATi6.3分分析析现现到到达达过过程程呼叫到达时间,ATi12345676:00:296:00:526:02:166:02:506:05:146:05:506:06:28时间6:016:026:036:046:056:066:00呼叫1图6.5.:间隔时间的概念呼叫2呼叫3呼叫4呼叫5呼叫6呼叫7IA1IA2IA3IA4IA5IA6间隔时间IAi=ATi+1-ATi

00:2301:2400:3402:2400:3600:386.3分分析析到到达达过过程程有两两个个问问题题需需要要考考虑虑：：到达达过过程程是是否否平平稳稳（（教教材材用用静静态态））（特定定时时间间长长度度内内期期望望到到达达的的客客户户是是否否是是常常数数））。。到达达的的间间隔隔时时间间是是否否服服从从指指数数分分布布在概概率率论论和和统统计计学学中中，，指指数数分分布布（（Exponentialdistribution））是是一一种种连连续续概概率率分分布布。。指指数数分分布布可可以以用用来来表表示示独独立立随随机机事事件件发发生生的的时时间间间间隔隔，，比比如如旅旅客客进进机机场场的的时时间间间间隔隔6.3分分析析到到达达过过程程间隔隔时时间间为为15分分钟钟到到达达的的客客户户数数量量0204060801001201401600:152:003:455:307:159:0010:4512:3014:1516:0017:4519:3021:1523:00:时间每15分钟的客户数量0204060801001201401600:152:003:455:307:159:0010:4512:3014:1516:0017:4519:3021:1523:00图6.6:一天数据的周期性6.3分分析析到到达达过过程程平稳稳过过程程的的定定义义一种种重重要要的的随随机机过过程程。。其其主主要要统统计计特特性性不不随随时时间间推推移移而而改改变变。。在在自自动动控控制制、、信信息息论论、、无无线线电电技技术术中中均均有有应应用用。。6.3分分析析到到达达过过程程在数学学中，，平平稳稳过过程程（（Staionaryrandomprocess））或或者者严严格格平平稳稳过过程程（（Strictly-sensestaionary,SSS））是是在在固固定定时时间间和和位位置置的的概率率分分布布与所所有有时时间间和和位位置置的的概概率率分分布布相相同同的的随机机过过程程。这这样样，，数学学期期望望和方差差这些些参参数数也也不不随随时时间间和和位位置置变变化化。。6.3分分析析到到达达过过程程图6.6不不是是平平稳稳过过程程，，称称之之为为周周期期性性过过程程。。判别别平平稳稳过过程程的的方方法法：：1.对对所所有有到到达达时时间间排排序序，，从从小小到到大大排排序序2.绘绘图图3.在在最最左左下下方方和和最最右右上上方方之之间间添添加加一一条条直直线线吻合合则则为为静静态态过过程程，，否否则则过过程程不不是是静静态态的的。。6.3分分析析到到达达过过程程图6.7.:

06:00:007:00:008:00:009:00:0010:00:000100200300400500600700累计客户

6:00:007:00:008:00:009:00:0010:00:006:00:007:00:008:00:009:00:0010:00:00时间如果是静态时的期望到达实际累计到达静态到达过程的检验07:15:007:18:007:21:007:24:007:27:007:30:000102030405060707:15:007:18:007:21:007:24:007:27:007:30:00时间累计客户

非静静态态的的处处理理办办法法分分解解时时间间成成更更小小的的时时间间区区间间。。15分分钟钟，，静静态态6.3分分析析到到达达过过程程指数数时时间间间间隔隔指数数分分布布为为：：a为为上上面面定定义义过过的的平平均均间间隔隔到到达达时时间间满足足到到达达时时间间为为指指数数分分布布的的过过程程为为泊泊松松过过程程6.3分分析析到到达达过过程程图6.8.:指数分布函数(左)和直方图例(右)00.20.40.60.81Prob(间隔时间t}时间010203040506070809010000.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.2具有一定持续时间的呼叫数量持续时间t6.3分分析析到到达达过过程程泊松过过程的的定义义一种累累计随随机事事件发发生次次数的的最基基本的的独立立增量量过程程。例例如随随着时时间增增长累累计某某电话话交换换台收收到的的呼唤唤次数数,就就构成成一个个泊松松过程程。用用数学学语言言说,满足足下列列三条条件的的随机机过程程X={X(t),t≥≥0}叫做做泊松松过程程：6.3分分析到到达过过程①P(X(0)=0)=1。。②不不相交交区间间上增增量相相互独独立，，即对对一切切0≤≤t1<t2<…<tn,X(t1),X(t2)-X(t1),……,X(tn)-X(tn-1)相互互独立立。③③增量量X(t)-X(s)(t>s)的的概率率分布布为泊泊松分分布,即，，式中中Λ(t)为非非降非非负函函数。。若X还满满足④④X(t)-X(s)的的分布布仅依依赖于于t-s，，则称称X为为齐次次泊松松过程程；这这时ΛΛ(t)=λt，式式中常常数λλ>0称为为过程程的强强度，，因为为EX(t)=Λ(t)=λλt,λ等等于单单位时时间内内事件件的平平均发发生次次数。。6.3分分析到到达过过程如何判判别间间隔时时间是是否服服从指指数分分布：：1.计计算算间隔隔时间间2.按按照照递增增序列列排列列间隔隔到达达时间间3.画画出出分布布图（（x=a，，y=i/n））选取适适当的的参数数进行行拟合合6.3分分析到到达过过程00.20.40.60.810:00:000:00:090:00:170:00:260:00:350:00:430:00:520:01:000:01:09分布函数-(独立点)E图6.9:间隔到达时间的经验和指数分布00.20.40.60.810:00:000:00:090:00:170:00:260:00:350:00:430:00:520:01:000:01:09间隔时间-经验分布i(i)指数分布6.3分分析到到达过过程非指数数间隔隔时间间，到到达时时间不不呈指指数分分布。。用变差差系数数来描描述CAa=间隔隔到达达时间间的标标准差差/间间隔到到达时时间的的均值值6.3分分析到到达过过程分析到到达过过程小小结静态到达?图6.10:如何分析一个需求/到达的过程是否把到达过程的时间区间分割得更小是指数分布间隔到达时间?否计算a:;平均间隔时间CVa=1第6章,第7章的结论适用计算a:平均间隔到达时间CVa=间隔到达时间的标准方差/a第6章的结论适用第7章的结论不适用,需要仿真或者更复杂的模型6.4服服务时时间变变动性性呼叫的的到达达时间间很难难预测测，服服务时时间也也难以以预测测，服服务过过程有有相当当大的的变动动性。。6.4服服务时时间变变动性性服务时时间难难以预预测A100090080070060050040030020010008006004002000Std.Dev=141.46Mean=127.2N=2061.00图6.11:呼叫中心的服务时间呼叫持续时间[秒]频率6.5预预测单单资源源的平平均等等待时时间变动性性的基基础上上，预预测流流程绩绩效度度量。。本章局局限在在一个个最基基本的的流程程，考考虑只只有一一个资资源和和具有有无限限缓冲冲的流流程。。（呼叫叫中心心）流程单单位到到达系系统的的需求求模式式呈现现变动动性，，a为为平均均间隔隔到达达时间间，平平均服服务时时间为为p。。6.4服服务时时间变变动性性2.521.510.500:0023:00一天中的时间呼叫持续时间

[秒]图6.12:平均呼叫时间长度:工作日与周末周末平均工作日平均6.4服服务时时间变变动性性服务时时间的的变动动性用用变差差系数数来描描述CVp=活动动时间间的标标准差差/活活动时时间的的均值值6.5预预测单单资源源的平平均等等待时时间流入流出进入系统离开系统开始服务图6.13.:单队列和单服务器的简单过程6.5预预测单单资源源的平平均等等待时时间需求约约束流程的的利用用率为为利用率率＝单单位时时间产产出/能力力=（（1/a））/（（1/p））=p/a<100%6.5预预测单单资源源的平平均等等待时时间考虑流流程时时间和和等待待时间间流入流出等待的库存Iq进入系统离开系统开始服务等待时间Tq服务时间p流程时间T=Tq+p服务中的库存Ip图6.14.:单队列和单服务器的简单过程6.5预预测单单资源源的平平均等等待时时间考虑流流程时时间流程时时间＝＝排队队时间间＋活活动时时间T=Tq+p6.5预预测单单资源源的平平均等等待时时间考虑库库存用I表表示中中库存存，Iq表表示队队列中中的库库存，，Ip表示示正在在接受受服务务的库库存I：总总库存存I＝Iq+Ip6.5预预测单单资源源的平平均等等待时时间在时间间和库库存的的计算算中，，队列列中的的库存存和时时间很很难计计算队列中中等待待时间间的计计算用用公式式表示示为：：6.5预预测单单资源源的平平均等等待时时间在理解解上式式时应应该注注意：：1.等待时时间被表述为为活动时间的的倍数.活动动时间还要影影响利用率，，因此等待时时间不与活动动时间呈线性性关系.2.利用率率要小于100％，否则则队列将无限限长，此时是是由能力不足足引起的而非非变动性3.变差系系数不影响活活动时间和利利用率，等待待时间随着变变动性的增长长而增加6.5预测测单资源的平平均等待时间间在An-ser呼叫中心心的例子中，，凌晨2：00的平均活活动时间为90秒，有3个呼叫在15分钟内到到达，可以依依次计算T，，I，Tp，，Iq，Ip等绩效指标标。CVp=活动时间的的标准差/活活动时间的均均值=120/90=1.333a为平均间隔隔到达时间=15/3=5分钟=300秒利用率＝单位位时间产出/能力=（1/a）/（（1/p）=p/a=90秒/300秒=0.3CVA=1Iq=53.57秒，，T=53.57秒+90秒=143.57秒秒6.5预测测单资源的平平均等待时间间在上述结果中中可以看到当当到达人数足足够多时，队队列达到稳定定状态在一小段时间间内观察到的的平均等待时时间与计算出出来的会不一一致，但是当当观察时间足足够长时，二二者相等I=R*T=（1/a）*T=1/300*143.57=0.4796.6预测测多资源的平平均等待时间间现在考虑一个个更复杂的系系统，即是由由一个排队区区域和多个相相同的资源展展开的工序组组成的流程的的等待时间模模型.6.6预测测多资源的平平均等待时间间流入流出进入系统离开开始服务图6.15.:单队列多个平行资源的流程6.6预测测多资源的平平均等待时间间有m个资源的的利用率为：：利用率＝单位位时间的产出出/能力＝（（1/间隔到到达时间）/（资源数/活动时间））＝（1/a））/（m/p）＝p/(a×m)我们仍然考虑虑利用率小于于100％的的情况6.6预测测多资源的平平均等待时间间流程时间流程时间＝排排队时间＋活活动时间T=Tq+p其中Tq为6.6预测测多资源的平平均等待时间间注意上式只是是一个近似表表达式，当m＝1时就是是前面的单资资源的公式，，尤其是当u/m比值很很大时。相关的绩效指指标的计算总总结见下图6.6预测测多资源的平平均等待时间间流入流出等待的库存Iq进入系统离开开始服务等待时间Tq服务时间p流时间T=Tq+p服务中的库存Ip图6.16.:关键绩效指标的总结系统的库存I=Iq+Ip6.6预测测多资源的平平均等待时间间单个资源的Ip为M个资源的排排队库存为6.6预测测多资源的平平均等待时间间在An-ser呼叫中心心，有10个个客户服务代代表，时间段段为8：00到8：15可以计算平均均等待时间相关计算总结结见p1366.7排队队问题中的服服务水平客户不关心平平均排队时间间和满足其总总需求的总时时间，他们只只关心自己在在流程中经历历的等待时间间从管理角度看看，我们不仅仅要分析平均均等待时间，，还要研究等等待时间大于于某个特定目目标等待时间间的可能性。。6.7排队队问题中的服服务水平服务水平：客客户等待时间间小于目标等等待时间的概概率：如TWT＝2分钟，服务务水平为95％的含义6.7排队队问题中的服服务水平An-ser呼叫中心等等待时间的经经验分布没有标准的方方法规定什么么样的服务水水平适合一个个给定的服务务运作，如德德国铁路6.7排队队问题中的服服务水平00.20.40.60.81050100150200图6.17:在Anser

呼叫中心等待时间的经验分布等待时间[秒]等待X秒或更短时间的客户没有马上得到服务客户的等待时间根本没有等待就得到服务的客户6.8经济济应用：制定定员工工作计计划管理问题An-ser呼叫中心在在一天中任意意一个时间点点需要多少个个客户服务代代表在岗提供供服务客户服务代表表越多，客户户等待时间越越短客户服务代表表越多，支付付的工资出版版越多6.8经济济应用：制定定员工工作计计划权衡时应该考考虑下面两个个成本等待成本，体体现在800免费电话增增加的线路支支出和客户的的不满意（线线路支出来源源于实际通话话实际也来自自于待机等待待时间）服务成本，来来自于可得的的客户服务代代表人数6.8经济济应用：制定定员工工作计计划需考虑的其他他成本：与消费者打电电话到呼叫中中心无法进入入等待队列（（忙音）相关关的成本与消费者在等等待服务时被被挂断的成本本6.8经济济应用：制定定员工工作计计划无法接入的电话(忙音)放弃等待的电话接入等待中的电话销售代表处理电话被应答的电话I接进的电话呼叫中心财务结果丢失顾客丢失良好印象持有成本(线路费用)丢失良好意愿丢失顾客(放弃等待)收入资本成本图6.18:等待的经济后果6.8经济济应用：制定定员工工作计计划在决定一个特特定时间区间间安排客户服服务代表时，，要明确响应应时间，有两两种即管理者者想要获得平平均等待时间间，或者是设设定服务水平平下面考虑的例例子是响应时时间为10秒秒钟,具体结结果见表6.26.8经济济应用：制定定员工工作计计划下面考虑相关关成本，客户户代表的平均均工资为10美元/小时时，800电电话的变动成成本为0.05美元/分分钟6.8经济济应用：制定定员工工作计计划直接劳动力成成本直接劳动力成成本＝单位时时间的总工资资/单位时间间产出考虑客户代表表数量m时，，直接劳动力力成本应为：：直接劳动力成成本＝(m*16.67美分/分钟钟)/(1/a)6.8经济济应用：制定定员工工作计计划亦可将a*m替换成p/u直接劳动力成成本＝(p*16.67美分/分钟钟)/ap/u近似表表示了空闲时时间。当人数是12个是的直接接劳动力成本本为37美分分/分钟具体结果见表表6.36.8经济济应用：制定定员工工作计计划但是上述分析析仅限于企业业内部的绩效效度量，没有有考虑客户等等待的成本，，应用时应小小心。因此在决定合合适的员工水水平是，应该该考虑可接受受的服务水平平，依次确定定员工计划针对An-ser呼叫中中心，以15分钟为单位位，给出员工工计划6.8经济济应用：制定定员工工作计计划图6.19:一天中的员工计划和呼叫电话客户服务代表的数量17161514131211109876543210204060801001201401600:152:003:455:307:159:0010:4512:3014:1516:0017:4519:3021:1523:00N0204060801001201401600:152:003:455:307:159:0010:4512:3014:1516:0017:4519:3021:1523:00时间每15分钟的客户数量6.8经济济应用：制定定员工工作计计划对于非平稳过过程，须将时时间分成多个个小的时段，，使之近似满满足平稳过程程时间段应该足足够大：我们有充足的的数据来为间间隔时间到达达率进行估计计；在一个时间段段里，队列要要有足够的时时间达到稳定定状态合理的员工计计划还要考虑虑操作人员的的停工，工作作时间的长短短等。6.9混同同效果：规模模经济混同的定义：：将多个单独独的系统合并并成只有一个个等待区域和和累计相当服服务器的系统统。（pooling））6.9混同同效果：规模模经济独立资源2x(m=1)混同的资源(m=2)图6.20.:混同的概念6.9混同同效果：规模模经济考虑两个小型型饰品店：都都具有到达间间隔时间a为为4分钟的到到达率，变差差系数为1，，可以计算出出利用率u和和等待时间T6.9混同同效果：规模模经济考虑将两个食食品店混同，，可以计算出出利用率u和和等待时间T6.9混同同效果：规模模经济混同效果的原原因：混同相相同的资源平平衡了服务器器的负荷，从从而可以获得得更短的等待待时间。图6.21:混同如何降低等待时间0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0060%65%m=1m=2m=5m=1070%75%80%85%90%95%等待时间

Tq[秒]利用率u6.9混同同效果：规模模经济混同系统比单单独的系统具具有更好的服服务，可以混混同相同的分分支机构或者者工作小组来来获取好处：：可以利用混同同来缩短客户户等待时间而而不需要额外外的工作人员员可以降低工作作人员数量而而维持相同的的响应性将两个呼叫中中心混同见表表6.2和6.46.9混同同效果：规模模经济在下列情况下下混同效果有有限：混同的系统不不是真正独立立，如超市排排队工作人员要具具备更广泛的的技能客户的价值因因人而异，如如律师混同会引入额额外的准备由于增加流程程的变动性，，混同不同的的客户群体会会导致损失。。6.10排排队中的优先先规则与服务时间相相关的优先规规