九年级上一元二次方程定义配方法练习题含答案

九年级上《一元二次方程定义配方法》练习题含答案一元二次方程的定义：方程两边差不多上整式，只含有一个未知数，同时未知数的最高次数为2___2_2一2的方程叫做一元二次方程。举例：x2x30；xx0；x2。22一兀二次万程的一样形式：axbxc0a0，其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数,2bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。举例：x2x30。一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也能够叫做一元二次方程的根。例题1(1)下列方程中，是一元二次方程的有。(填序号)TOC\o"1-5"\h\zG225__①x5;②xy30;③3x—x30;2小2„3„y2④x(x5)x2x;⑤」5x80;⑥工y0。x4(2)若关于x的方程(a—5)xa3+2x—1=0是一元二次方程，则a的值是。思路分析：(1)按照一元二次方程的定义进行判定：①③⑥是一元二次方程；②是二元一次方程；④通过化简二次项系数为0,不是一元二次方程；⑤分母中含有未知数，方程左边是分式而不是整式;(2)由一元二次方程的定义可得a32,因此a5；然而当a5时，原方程二次项系数为0,不是一元二次方程，故a5应舍去；当a5时，原方程为10x22x10,因此a5。答案：(1)①③⑥；(2)5点评：做概念辨析题要紧扣定义，关于一元二次方程要把握如此几个关键点：①方程两边差不多上整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。例题2把方程x(2x—1)=5(x+3)化成一样形式是,其中二次项是,一次项系数是,常数项是。思路分析：将方程左右展开，然后移项(把所有的项都移到等号的左边)，合并同类项即可：由x2x15x3得2x2x5x15,移项得2x2x5x150,合并同类项得22x6x150。TOC\o"1-5"\h\z答案：2x26x150；2x2；6；15点评：任何一个一元二次方程通过化简都能够得到ax2bxc0a0的形式，方程左边是含有未知数的二次式，项数有可能为三项、两项或一项，方程的右边一定为0。22例题3一兀一次万程m1xxm10有一个解为x=0,试求2m1的值。思路分析：方程的解确实是使方程左右两边相等的未知数的值，因此把x=0代入原方程得到一个关于m的方程，解此方程可得m的值。答案：解：把x=0代入m1x2xm210得m1020m210；即m210•1•m1当m1时，原方程的二次项系数为0,与题意不符，故舍去；当m1时，原方程为2x2x0,符合题意；故m1,现在2m11。点评：利用一元二次方程的解的定义，把问题转化成关于m的方程，解得m之后要注意检验m的值是否符合题意，注意合理取舍。【综合拓展】注意对元“和次”的明白得：元”是指未知数，一元确实是指一个未知数，二元确实是指两个未知数，以此类推；次”确实是指次数，因为只有整式才有次数的概念，因此不论是一元一次方程依旧现现在所学的一元二次方程均要求方程两边均为整式，因此一元一次方程确实是指只含有一个未知数同时未知数的次数是1的整式方程；一元二次方程是指只含有一个未知数同时未知数的次数为2的整式方程。【高频疑点】一元二次方程的一样形式是ax2bxc0a0,注意awo这一条件。.若方程a3x2J3ax1是关于x的一元二次方程，则a的取值范畴是；

.、一一，a21.关于x的方程a1xa1x50是一元二次方程，则a的值是。解一元二次方程：配方法1.解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的表达。.配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即2把一个万程转化成xnp(p>0的形式，如此解方程的方法叫做配方法。.配方法具体操作：(1)关于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就能够将其配成一个完全平方式，举例：解方程x22x30,(2)当二次项系数不为1时，第一把二次项系数化为1,方程两边除以二次项系数，然后再利用(1)的步骤完成配方。举例：解方程2x22x30。224.xnp(p>0的解法：关于方程xnp(p>0,它的左边是一个完全平方式，右边是非负数，利用平方根的定义，能够将那个方程进行降次，降为两个一元一次方程，即xnJp和xn,p,解两个一元一次方程即可。例题1例题1(1)用配方法解方程x22x52A.x162C.x29(2)下列方程中，一定有实数解的是(x210C.2x1230思路分析：(1)能够采纳验证法：将四40时，原方程应变形为()2x162D.x29)2B.-aa22D.2x10。项逐一化成一样形式，然后与原题中的方程进行对5,方程两边分别加上1,得比；也能够直截了当配方，由x22x50得x25,方程两边分别加上1,得22x2x151,即x16,故选B；(2)任何一个数的平方均为非负数，即关于方程2xnp当p>o时才有实数解。故选D。答案：(1)B;(2)D点评：配方法是一种代数式的恒等变形。例题2利用配方法解一元二次方程:2例题2利用配方法解一元二次方程:22(1)x76x；(2)x3x10。思路分析：关于二次项系数为1的一元二次方程，直截了当进行配方。答案：（1）x276x解：移项得x26x7,两边分别加9,得x26x979,2TOC\o"1-5"\h\z即x316x34或x34，X1,x27(2)x23x10解：移项得x23x1,9c99两边分别加9,x23x919,2一3即x3242一3即x3254if2点评：关于二次项系数为1的一元二次方程，第一将常数项移到方程的一边（通常移到右边）然后在方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，便可将方程的左边配成完全平方式，再利用平方根的定义将二次降为一次，求解。例题3利用配方法解一元二次方程：（1）2x25x20；（2）3x24x10思路分析：关于二次项系数不为1的一元二次方程，只要将二次项系数化为1,即在方程两边同时除以二次项系数，把方程转化成二次项系数为1的一元二次方程，从而求解。答案：解：（1）2x25x20移项，得2x25x2,二次项系数化为1,得x21,配方，得x2251625169162,X23—,434(2)_2■一3x4x10移项,得3x24x二次项系数化为1,配方，得x24x34913'点评:感悟转化的数学思想:二次方程的二次项系数不为1时，只要将二次项系数化为1,就能够把方程转化成二次项系数为1的【方法提炼】二次方程，从而求解。、・..、-■、2一•-2.1.配方法的依据是完全平方公式：a2abbab2.利用配方法解二次方程的一样步骤为:(1)化二次项系数为1:方程两边分别除以二次项系数;(2)移项：把二次项和一次项放在等号的一边（通常为左边）,把常数项放在等号的一边（通常为右边）(3)配方：方程两边分别加上一次项系数的一半的平方;(4)把方程左边写成完全平方的形式，右边为一非负数;(5)利用平方根的定义，把二次方程降为两个一次方程;(6)分别解两个一元一次方程即可。【综合拓展】一元二次方程xn2p,当p>0时，原方程有两个不相等的实数根,当p=0时，原方程有两个相等的实数根，当p<0时，原方程没有实数根。配方法在解数学题中的应用将一个代数式或一个代数式的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，这种方法称之为配方法。这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。配方法广泛应用于代数证明、求最值(最大值或最小值)、解方程、因式分解、代数式的求值、二次函数等。我们那个地点所讲的配方法要紧是指配常数项，当二次项系数为1时，为了把一个二次式配成一个完全平方的形式，只要加上一次项系数的一半的平方即可，值得注意的是由于配方法是一种恒等变形，因此加上一个数则需要再减去那个数，以保持恒等关系。例如，将代数式x22x3进行配方：x22x3x22x113x122。因此那个地点也能够将3拆为1+2。2例题1证明：彳弋数式2x12x20的值恒大于0。思路分析：对此代数式进行配方，将其化成a2b(b>0)的形式。答案：证明：2x212x2022x6x20TOC\o"1-5"\h\z2x26x99202x26x9182022x32•••不论x为何值，2x30,2因此2x322,2即2x12x20的值恒大于0。点评：若要证明一个代数式的值是一个正数，则设法将其化成a2b(b>0)的形式，同时代22数式ab有最小值，最小值为b,现在a=0,关于这道题，2x212x202x32,••.此代数式有最小值2,现在x=3。

若要证明一个代数式的值是一个负数，则设法将其化成a2b(b>0)的形式。例如：不管x为何实数，代数式—x2+4x—8的值恒小于4。例题2已知a2+b2—4a—2b+5=0,求ab的值。思路分析：对此方程左边进行配方，将其化为两个完全平方式的和的形式。答案：解：a2b24a2b5022a24ab22b5TOC\o"1-5"\h\za24a4b22b154122a2b1022a20,b10,22a20,b10,即a2,b1,ab2点评：此题利用了完全平方式的非负性求解，几个非负数的和为0,则这几个非负数皆为0。例题3方程x2+y2—4x+10y+16=0的整数解有个(一对x和y的值视为一个解)。思路分析：对方程左边进行配方，化成两个完全平方式的和的形式。答案：x2y24x10y160TOC\o"1-5"\h\zx2y24x10y1622x4xy10y1622_x4x4y10y251642522x2y513,一一一，，，22当x和y均为整数时，x2和y5也为整数，同时是完全平方数，x24时，则y59;把13拆成两个完全平方数的和为x24时，则y59;9时，则9时，则y54;TOC\o"1-5"\h\z22x24x29即2或2y59y54再将这两个方程组降为一次，x2x22x22xy53y53yx23x23xy52y52y22x22_,,或53y5323x2352y52每个方程组对应着一个解，因此此方程组有8个整数解。点评：利用配方法将一个二元二次方程转化为两个二元二次方程组，再利用平方根的定义将二元二次方程组降为二元一次方程组。【易错指津】配方时，当二次项系数为1时，配方所配的常数项是一次项系数的一半的平方，当二次项系数不为1时，第一将二次项系数化为1,若是解方程，则在方程两边除以二次项系数，若是对一个单独代数式进行配方，则提取二次项系数。【矫正训练】(1)解方程：一2x2+4x+8=0;(2)已知M=x2—8x+22,N=-x2+6x-3,贝UM、N的大小关系是什么；【技巧突破】配方并不总是配常数项。TOC\o"1-5"\h\z一一，1o1例如：(1)已知a—3,求代数式a2二的值。aa(2)已知aJ3J2,b屈J2,求代数式a2abb2的值。一元二次方程练习一定义练习.2.已知方程xbxa0有一个根是a(a0),则下列代数式的值恒为常数的是()A.abB.aC.abD.abb.指出下列方程中的一元二次方程：

212^2(1)x3x—0；(2)xx4x；x22x2x；(4)x4x60。.方程2x124x2的一样形式是,其中一次项系数是,二次项系数是,常数项是。.已知关于x的一元二次方程的一个根是1,写出一个符合条件的方程：—2.关于x的万程m1xm+1x3m10,当m时，是一元一次万程；当m时，是一元二次方程。.若方程a2x2后7x1是关于x的一元二次方程，则a的取值范畴是.若关于x的方程a2xa223x0是一元二次方程，求a的值。TOC\o"1-5"\h\z222__2配万法：1.x8x=x；x2x3x。222.若a的值使得x4xax21成立，则a的值为。2.将一兀二次万程x6x5化成xab的形式，则a,b。.把方程x2-8x-84=0化成(x+m)2=n的形式为()。(x—4)2=100(x—16)2(x—4)2=100(x—16)2=100C.(x—4)2=84D.(x—16)2=845.判定下列各题：(1)x2+—x——=(x+—)2+—3939(y+1)2())(2)x24x=(x—2)2+4)⑶52K6.用配方法解下列方程:(1)x(1)x26x4；2⑵x8x120。(3)2x2—x=0;(3)2x2—x=0;(4)-x2+2x-1=0o27.假如二次三项式x2—16x+m2是一个完全平方式，求m的值。应用：1.方程x2+y2+4x—2y+5=0的解是。TOC\o"1-5"\h\z2,已知（x2+y2）（x2+y2+2）—8=0,则x2+y2的值是（）。A.-4B.2C.—1或4D.2或—43.不管x取何值，代数式x2y22x4y7的值（）A,总不小于2B,总不小于1C,能够取任何实数D,可能为负数4,用配方法说明：一3x2+12x—16的值恒小于0.一一--2-2.当x,y取何值时，代数式x2y2x8y5有最大值，最大值是多少？.已知4ABC的三边分别为a、b、c,且a2+b2+c2=ab+bc+ac,则4ABC的形状为。7,设代数式2x2+4x—3=M，用配方法说明：不管x取何值时，M总不小于一定值，并求出该定值。8.阅读题：解方程x2—4|x|—12=0。解：（1）当xRO时，原方程为x2-4x-12=0,配方得（x-2）2=16,两边平方得x-2=±4,x1=6,x2=—2（不符合题意，舍去）；（2）当x<0时，原方程为x2+4x-12=0,配方得（x+2）2=16,两边开平方得x+2=±4,x1=-6,x2=2（不符合题意，舍去），，原方程的解为x1=6,x2=-6。参照上述例题解方程x2—2|x—1|—4=0。0,答案1.D解析：把xa代入方程得：a2aba0,，aab10,a0,.・ab10,..ab1,故选D。(3)x22x；(4)x24x60解析：依照一元二次方程的定义判定。24x8x10,—8;4;—1。2答案不唯独，如：xx0,符合题息即可。m1;m1解析：若关于x的方程m1x2m+1x3m10是一元一次方程，则关于x的二次项不存在，即m10,m1；若关于x的方程m1x2m+1x3m10是一元二次方程，则关于x的二次项存在，即m10,m1。a1且a2解析：被开方数为非负数且二次项系数不为0,a10,解得aa202解：由一兀二次方程的定义可得a22,a2,然而当a2时，原方程二次项系数为0,故将a2舍去；当a2时，原方程二次项系数不为0,是一元二次方程，，a2。1.16;4;1;4。2解析：x8x16=2.3解析：:x.2x4x2x4x・a3。3.3;14解析:4.A解析:5.(1)解析:(2)(3)6.(1)解析:(2)7.解:(2)解一元二次方程：配方法2x23x22x1124。3,用配方法得:x28x1684⑵X；(3)工(1)x2x24x122yx1(1)原式4x16,6xx24x3,100,故选Ao14,a3,b14。3A,原式6,x24xx24;8x_2(1)2xx116,x232y1713；(2)6x949,x160,21216,1x140,21二，七26,x213,4,x0。,13162,2xx24x2x4x+411+2,一

23,6,x6,x12.6,x22228.解：配万x16x64m64xm264，因为这是一个完全平方式，「648。应用答案：1.x2,y解析：由配方法可得：x24x4y22y120，•.x20,y10,•••